不同加載方式的斜齒輪接觸分析

尹長城

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 汽車工程系，湖北 十堰 442002）

不同加載方式的斜齒輪接觸分析

尹長城

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 汽車工程系，湖北 十堰 442002）

以一對相互嚙合的漸開線斜齒輪為研究對象，通過APDL語言生成參數(shù)化幾何模型，研究映射網(wǎng)格劃分方式并建立了斜齒輪接觸的有限元模型，基于非線性接觸算法在不同加載方式下對齒輪嚙合齒面的接觸應(yīng)力進(jìn)行了分析，將仿真與赫茲計算結(jié)果進(jìn)行了比較，討論了不同加載方式對接觸應(yīng)力的影響。

有限元；斜齒輪；接觸應(yīng)力；不同加載方式

接觸是在工程實際中經(jīng)常遇到的課題。當(dāng)2個固體的表面接觸時區(qū)別為協(xié)調(diào)接觸和非協(xié)調(diào)接觸，當(dāng)2個物體具有相似外形，相當(dāng)接近的接觸在一起，稱這類接觸是協(xié)調(diào)的，制動蹄及摩擦襯片與制動鼓的接觸是協(xié)調(diào)接觸［1］的例子。具有不相似外形的物體接觸稱為非協(xié)調(diào)的，例如齒輪接觸。非協(xié)調(diào)接觸通常接觸面很小，也就是說，即使承受輕載作用，接觸應(yīng)力也很大，所以齒輪接觸應(yīng)力的分析計算受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［2-5］。本文以一對相互嚙合的斜齒輪為對象，利用有限元法計算齒輪齒面的接觸應(yīng)力，著重討論不同加載方式的實現(xiàn)，最后將赫茲應(yīng)力理論解與有限元數(shù)值解對比。

1 齒輪有限元網(wǎng)格模型的建立

表1 一對斜齒輪建模參數(shù)

在ANSYS中對斜齒輪副進(jìn)行有限元接觸分析，首先建立齒輪的有限元網(wǎng)格模型，根據(jù)表1所示斜齒輪嚙合模型參數(shù)，利用APDL語言根據(jù)漸開線曲線方程和齒根過渡曲線方程以及嚙合位置的旋轉(zhuǎn)角度編制程序，繪制齒輪二維幾何模型（圖1）。

圖1 二維齒輪的幾何模型

大小齒輪的材料是40Cr，其彈性模量E為211GPa，泊松比μ為0.277。為得到合理的有限元模型，首先對二維齒輪進(jìn)行映射網(wǎng)格劃分，由于映射網(wǎng)格對模型要求比較苛刻，平面面積一般要求4條邊，而二維齒輪模型的幾何形狀不符合映射網(wǎng)格劃分的規(guī)則，需要把面分割成若干小的四邊形，然后進(jìn)行映射網(wǎng)格劃分，部分輪齒面切割成簡單的四邊形如圖2所示。在此基礎(chǔ)上，將2維映射網(wǎng)格沿螺旋線拉伸成三維有限元網(wǎng)格模型，如圖3～4所示。三維實體單元選擇8節(jié)點(diǎn)6面體單元（SOLID185）。斜齒輪副有限元模型節(jié)點(diǎn)數(shù)103739，單元數(shù)85540。

圖2 將齒輪面切割成四邊形

圖3 三維斜齒輪有限元網(wǎng)格模型

圖4 部分齒映射網(wǎng)格

2 建立接觸對

ANSYS程序支持面面接觸單元，目標(biāo)面一般是較剛表面，該表面在三維問題中用TARGE170單元來模擬，一般情況下，小齒輪比大齒輪更容易疲勞破壞，所以在制造過程中小齒輪表面剛度比大齒輪表面剛度大，所以此處的目標(biāo)面為小齒輪齒面。接觸面用CONTA174單元來模擬，接觸面是大齒輪接觸的齒面。本文共設(shè)置2個接觸對，不同接觸對應(yīng)當(dāng)通過不同的實常數(shù)設(shè)置來定義，但1個的接觸對共享1個實常數(shù)。此處應(yīng)該注意的是，齒輪接觸為非協(xié)調(diào)接觸，就是接觸可能發(fā)生在模型變形過程中。一旦接觸表面通過目標(biāo)單元和接觸單元被定義，它將跟蹤變形的運(yùn)動過程，一定要確保有接觸存在的地方一定有節(jié)點(diǎn)存在。接觸問題一般要求設(shè)置接觸面的接觸剛度，在網(wǎng)格滿足精度的情況下，接觸剛度越大，接觸穿透就越小，精度就越高。但大的接觸剛度值會造成收斂困難［6］，不但影響求解效率而且導(dǎo)致總體剛度矩陣變壞。ANSYS接觸剛度系數(shù)一般在0.01～10內(nèi)變化，為確定合適的接觸剛度系數(shù)，應(yīng)該從較低值開始，不斷增大進(jìn)行多次試算，直到接觸應(yīng)力變化較小為止。本文斜齒輪接觸問題較為理想的接觸剛度系數(shù)為3。

3 不同加載方式的接觸應(yīng)力結(jié)果

小齒輪在柱坐標(biāo)下周向受到的驅(qū)動扭矩T為60 N·m，約束小齒輪內(nèi)圈所有節(jié)點(diǎn)徑向和軸向的自由度。此外對大齒輪內(nèi)圈所有節(jié)點(diǎn)施加全約束。SOLID185單元只有3個方向平移自由度，并不具備轉(zhuǎn)動自由度，所以不能在節(jié)點(diǎn)上施加扭矩，為了實現(xiàn)加載，本文采用3種不同的加載方式，并討論各種方法的差異。

3.1 利用切向力施加扭矩

在節(jié)點(diǎn)上施加切向力是把小齒輪的驅(qū)動扭矩轉(zhuǎn)化成沿其內(nèi)徑的切向力，切向力均勻分布在小齒輪內(nèi)圈節(jié)點(diǎn)上，其值為驅(qū)動扭矩除以節(jié)點(diǎn)處的半徑和節(jié)點(diǎn)數(shù)目，小齒輪內(nèi)表面半徑為22.7mm，內(nèi)表面共2156個節(jié)點(diǎn)，故所施加切向力值為

針對小齒輪在柱坐標(biāo)的周向施加切向載荷，加載后模型如圖5所示。計算后的接觸應(yīng)力圖如圖6所示，顯示2個接觸面的接觸應(yīng)力的結(jié)果。其中最大接觸應(yīng)力為378.1 MPa。

圖5 切向力加載

圖6 切向力加載方式接觸應(yīng)力圖

3.2 利用表面效應(yīng)單元施加扭矩

表面效應(yīng)單元類似一層皮膚，覆蓋在實體單元表面，主要功能是模擬表面層特性和施加各種表面載荷，表面效應(yīng)單元是一種小剛度或無剛度效應(yīng)的輔助單元，可以用來模擬結(jié)構(gòu)覆蓋層的許多特性。本文選擇三維結(jié)構(gòu)表面效應(yīng)單元SURF154實現(xiàn)表面切向壓力的施加。該單元具有3個平移自由度，只需要直接將小齒輪內(nèi)表面的節(jié)點(diǎn)形成單元，并不增加模型的節(jié)點(diǎn)數(shù)，僅僅增加單元數(shù)目。利用單元的面號來控制不同的壓力方向。壓力載荷方向按照單元坐標(biāo)系或局部坐標(biāo)系施加在單元面上，若為小齒輪內(nèi)表面施加切向壓力，需建立局部柱坐標(biāo)或?qū)卧鴺?biāo)系轉(zhuǎn)換到柱坐標(biāo)系下。所施加的切向壓力值等于驅(qū)動扭矩除以小齒輪內(nèi)表面面積和節(jié)點(diǎn)處的半徑。即

利用表面效應(yīng)單元加載后的模型，如圖7所示，經(jīng)計算，接觸應(yīng)力如圖8所示。其中最大接觸應(yīng)力為384MPa。

圖7 利用表面效應(yīng)單元加載

圖8 表面效應(yīng)單元加載方式接觸應(yīng)力圖

3.3 利用剛性區(qū)施加扭矩

剛性區(qū)是通過約束方程，將作用在主節(jié)點(diǎn)上的載荷自動傳遞到剛性區(qū)的其他從節(jié)點(diǎn)上。約束方程是描述多個不同的或相同的自由度之間的線性協(xié)調(diào)關(guān)系，可以連接不同類型單元之間的網(wǎng)格，連接具有不同自由度的單元。本文在小齒輪的幾何中心點(diǎn)定義一個質(zhì)量單元作為主節(jié)點(diǎn)，主節(jié)點(diǎn)上具有6個自由度，小齒輪內(nèi)表面的節(jié)點(diǎn)是從節(jié)點(diǎn)，通過主節(jié)點(diǎn)與每個從節(jié)點(diǎn)之間建立UX、UY、UZ3個約束方程，建立剛性區(qū)。在主節(jié)點(diǎn)上施加MZ為60000 N·mm的扭矩，約束其它5個自由度，約束大齒輪內(nèi)表面節(jié)點(diǎn)所有的平移自由度。剛性區(qū)施加扭矩示意圖如圖9所示，計算得到接觸應(yīng)力云圖如圖10所示，最大接觸應(yīng)力為371.2MPa。

4 斜齒輪接觸理論赫茲應(yīng)力計算

2個斜齒輪接觸時，最初是在一條線上，在微小的載荷作用下，最初的接觸線附近發(fā)生變形，致使它們在一個有限的區(qū)域上接觸。這個區(qū)域比起兩齒輪的尺寸來說是比較微小的。所以每個齒輪被看作是一個彈性半空間體，而且齒輪接觸過程表面連續(xù)、小應(yīng)變，當(dāng)齒輪間的摩擦系數(shù)為零時，這些假設(shè)完全符合赫茲理論的假定［7］，故可用赫茲接觸壓力公式近似計算齒輪接觸的接觸應(yīng)力［8］。

圖9 利用剛性區(qū)加載示意圖

圖10 剛性區(qū)加載方式接觸應(yīng)力圖

稱為彈性影響系數(shù)，式中E1，E2，μ1，μ2分別為斜齒輪副的彈性模量和泊松比，代入材料參數(shù)計算得

所以端面重合度經(jīng)計算得εα=1.515；式（1）中b為齒寬；T為小齒輪所受扭矩；d1為小齒輪分度圓直徑；K為載荷系數(shù)，為使理論解與有限元解對比，而斜齒輪副模型屬靜力分析，故載荷系數(shù)取為1；u為大小齒輪齒數(shù)比，將本文各物理量數(shù)據(jù)代入式（1），計算得斜齒輪副的最大接觸應(yīng)力為

5 結(jié)果討論

不同加載方式的最大接觸應(yīng)力值以及它們與理論解的比值如表2所示，理論解是利用赫茲理論將齒輪接觸問題與2個圓柱體接觸等效而推導(dǎo)出的公式，并且在公式中采用大量的修正系數(shù)，具有較大的誤差，有限元的計算誤差主要包括離散化誤差和計算機(jī)的截斷和舍入誤差，如果能創(chuàng)建精細(xì)的有限元模型，網(wǎng)格密度和網(wǎng)格排列達(dá)到接觸計算的要求，有限元解的精度將高于傳統(tǒng)赫茲理論解。3種加載方式最大接觸應(yīng)力值都比理論解低，并且理論解沒有考慮載荷系數(shù)（大于1）的影響。所以本文中理論校核是偏安全的。

表2 不同加載方式最大接觸應(yīng)力與理論解比較

切向力加載是將扭矩轉(zhuǎn)化為切向力均勻的施加在節(jié)點(diǎn)上，并不需要載荷移置，有限元概念直觀清楚。利用剛性區(qū)加載在有限元各種軟件中最為常用，這種扇輻式剛性連接還有其他不同的應(yīng)用，可在主節(jié)點(diǎn)上允許轉(zhuǎn)動但限制平移，如果齒輪模型初始有間隙沒有消除時，可在主節(jié)點(diǎn)施加一個小的轉(zhuǎn)動作為第1個載荷步來消除剛體位移，接著使用一個空的載荷步把轉(zhuǎn)角控制轉(zhuǎn)為力矩控制，刪除上步施加的轉(zhuǎn)角后施加力矩進(jìn)行求解，最后再施加用戶需要的扭矩。剛性區(qū)方法使從節(jié)點(diǎn)的自由度從屬主節(jié)點(diǎn)的自由度，這種方法通過約束方程使整個有限元模型的自由度降低。此外剛性區(qū)方法只適合小變

形，而且剛性區(qū)是虛構(gòu)的，可能產(chǎn)生不可預(yù)料的反作用力和節(jié)點(diǎn)載荷，導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)。表面效應(yīng)單元加載是施加一個所使用單元不能接受的表面載荷，表面載荷一般是面力，施加在單元中需要節(jié)點(diǎn)移置，也就是說節(jié)點(diǎn)載荷是按照形函數(shù)原則將面力轉(zhuǎn)化而來，不一定像切向力那樣受力均勻。表面效應(yīng)單元實現(xiàn)扭矩加載要求加載切向壓力面是6面體單元，否則單元坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成柱坐標(biāo)后，單元坐標(biāo)系的周向并不沿表面的圓周方向。此外表面效應(yīng)單元是支持大變形大應(yīng)變的。

6 結(jié)論

本文實現(xiàn)了斜齒輪接觸問題的3種加載方式，分別為切向力加載、表面效應(yīng)單元加載、剛性區(qū)加載。其中切向力加載受力均勻，載荷加在節(jié)點(diǎn)處，最為直觀，概念清楚。剛性區(qū)加載應(yīng)用廣泛，應(yīng)用剛性區(qū)處要求必須是小變形，該法建立的約束方程使整體自由度降低，表面效應(yīng)單元支持大變形大應(yīng)變，但一般對網(wǎng)格有嚴(yán)格要求。

利用有限元法能有效的計算齒輪接觸問題，求解方法和加載方式多樣化，比傳統(tǒng)赫茲理論計算更真實、更精確。

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Contact Analysis of Helical Gears Based on Different Loading Ways

Yin Changcheng
（Dept.of Automotive Engineering,Hubei Automotive Industries Institute,Shiyan 442002,China）

Taking a pair of meshing involute helical gears as the research object，the parameter geometrical model was generated by APDL.According to the mapping mesh algorithm,the finite element model was established for the helical gear contact.The simulation analysis of contact stress on engagement surface was carried out based on the nonlinear contact algorithm and different loading ways.The new method was compared with the traditional Hertz theory.The influence of the different loading ways on contact stress was discussed.

finite element;helical gear;contact stress;different loading ways

TP39

A

1008-5483（2011）02-0028-04

2011-05-23

湖北省教育廳優(yōu)秀中青年課題（Q20082301）

尹長城（1976-），男，吉林大安人，碩士，從事汽車結(jié)構(gòu)有限元分析研究。