不定方程 y3=x2+1250的全部整數(shù)解

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等專科學(xué)校數(shù)理系,江蘇泰州225300)

1 引言及主要結(jié)論

關(guān)于不定方程 y3=x2+k(其中k為給定的整數(shù))已有不少研究工作[1].1621年,Bachet就注意到不定方程

有整數(shù)解(x,y)=(±5,3).他還指出了如何利用這組解求出 (1)的其它有理數(shù)解的方法.但是Bachet的方法無(wú)法求出 (1)的全部整數(shù)解.后來(lái),Kummer創(chuàng)立代數(shù)數(shù)論后,利用代數(shù)整數(shù)環(huán) Z[ -2]的唯一分解性,證明了 (1)僅有整數(shù)解(x,y)=(±5,3),這一問(wèn)題才算告一段落.

本文利用初等方法證明了以下:

定理 不定方程

僅有整數(shù)解(x,y)=(±9,11).

2 關(guān)鍵性引理

引理1 不定方程

僅有整數(shù)解(a,b)=(±3,1).

證明 由 (3)可知,b|25,故b只可能取±1,±5,±25.經(jīng)驗(yàn)算后有

類似可證

引理2 不定方程

僅有整數(shù)解(a,b)=(±3,-1).

引理3 不定方程

滿足條件 (x,y)=1的一切整數(shù)解為

這里(a,2b)=1.

證明 可參見文獻(xiàn) [2]～ [8].

3 定理證明

設(shè) (x,y)=d＞1,若2∣d,則2∣y,2∣x.這時(shí)有4∣y3,4∣x2.但4?1250,故2?d,即d為奇數(shù).而 x,y不可能一奇一偶,故 x,y均為奇數(shù).又 d∣1250,故5∣ d,從而5∣ y,5∣ x.令y=5y1,x=5 x1,代入 (2)有

由 (5)知,5∣x21,從而5∣x1.令x1=5 x2,代入 (5)得

由 (6)知,5∣y31,從而5∣y1.令y1=5 y2,代入 (6)得

由引理3知

若3a2b-2b3=25,則由引理1知,a=±3,b=1,這時(shí)有 x=±9,y=11.

若3a2b-2b3=-25,則由引理2知,a=±3,b=-1,這時(shí)也有 x=±9,y=11.

綜上,定理得證.

[1] 柯召,孫琦.談?wù)劜欢ǚ匠?[M].上海：上海教育出版社,1980：45-61

[2] 李偉.不定方程 y3=x2+2的初等解法 [J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1997,1(34)：16-19

[3] 管訓(xùn)貴.關(guān)于不定方程z2+2(2 xy)2=(x2-y2+2 xy)2[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2009,25(1)：14-15

[4] 管訓(xùn)貴.不定方程 x2-py2=z2的正整數(shù)解 [J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2009,25(5)：5-7

[5] 管訓(xùn)貴.關(guān)于不定方程 x2+(p-1)y2=pz2[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2010,26(1)：12-14

[6] 管訓(xùn)貴.關(guān)于不定方程4 x2-py2=1[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,29(1)：46-48

[7] 管訓(xùn)貴.關(guān)于Diophantine方程 y2=px(x2+2)[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,6(1)：1-2

[8] 管訓(xùn)貴.關(guān)于Diophantine方程 y2=p x(x2+2)的一點(diǎn)注記 [J].阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,28(1)：45-46