定時截尾試驗中故障數為零裝備的平均無故障間隔時間評估方法研究

郭榮化，吳玉生，陳慶榮

(中國華陰兵器試驗中心，陜西 華陰714200)

0 引言

定時截尾可靠性試驗，就是當試驗進行到預定的試驗時間t 時，就終止試驗，然后根據試驗中被試裝備發(fā)生的故障個數，對裝備作出“接收”或“拒收”的判定，同時對裝備的可靠性作出評估。由于定時截尾試驗具有很強的計劃性和可操作性，是目前可靠性工作者最樂意選擇的使用方法。

但隨著武器裝備設計不斷優(yōu)化，元器件水平逐步提高，在定時截尾可靠性試驗中，當試驗結束時，出現零個關聯(lián)故障的概率也在逐漸地提高。針對這種情況如何做出正確的試驗結論，目前在國標、國軍標的資料中，都未有明確提出具體的實施意見。

1 相關評估標準缺陷

《GJB899—90 可靠性鑒定和驗收試驗》中(A-8)式，給出了基于指數分布的極大似然估計法推導而來的平均無故障間隔時間(MTBF)觀測值點估計^θ 的計算方法

式中:t 為設備的總試驗時間;r 為責任故障。

同時在(A-11)式給出了定時截尾試驗中接收時MTBF 的置信下限系數θl公式和置信上限系數θu的計算方法

上述公式在無故障發(fā)生時均無法應用，因為無故障發(fā)生時r 為0，根據點估計評估公式得出MTBF的估計值為無窮大;同樣在自由度m 為0 時χ2分布也不存在。

但在GB5080.4—85《設備可靠性試驗可靠性測定試驗的點估計和區(qū)間估計方法(指數分布)》中5.1.1 條規(guī)定，在指數分布場合，若到測定點沒有觀察到失效數據，推薦用下述公式計算失效率^λ

因為產品的平均壽命與產品的故障率互為倒數關系，即可用總試驗時間的3 倍作為平均壽命(MTBF)估計。上述規(guī)定也只是一個經驗的辦法，國標中沒有給出推導過程和相關依據，取3 倍試驗時間作為MTBF 估計值的做法至今也尚未在其他文獻和資料查找到充分理論證明。

近年來，統(tǒng)計學家對無失效情況進行了相應研究，如文獻［1-2］提出配分布曲線法;文獻［3-13］采用Bayes 或多層修正Bayes 法;文獻［14］給出了指數分布情況下的修正似然函數法;文獻［15-16］采用公式和權系數給出一種類似經驗法;文獻［17-18］采用再抽樣方法，利用Monte-Carlo 方法進行了隨機模擬和參數估計;文獻［19-20］采用最大期望(EM)算法，并與極大似然估計及修正極大似然估計進行了比較;文獻［21］采用信息測度方法建立壽命檢驗方法等。關于無失效數據的若干研究進展情況，見參考文獻［22］。上述諸多研究中，以對Bayes 方法研究居多，而且主要方向為采用分層Bayes 方法以及不同先驗分布的情況下各種估計，這些方法理論性較強，側重于在無失效情況下的數學推導和理論證明，由于各種方法引起估計結果的差別沒有統(tǒng)一的判定依據，無法形成在無失效情況下可靠性鑒定試驗相應的操作方法，難以在實際可靠性試驗中進行實施和評估。此外，文獻［23］通過定義最大置信下限和正則置信下限概念，推導出無故障情況下計算最優(yōu)置信下限的普遍公式，但是由于其推導過程理論性很強，不便于一般工程人員理解和接受。

針對上述問題，本文根據指數分布的累積分布函數性質，利用一次試驗中小概率事件是不會發(fā)生的原理，進行反證法論證，推導出無故障情況下MTBF 的驗證值確定方法，彌補了依據GJB899 中公式無法確定MTBF 驗證值的不足。由于本文提供的推導方法避開了較為復雜數學推導，并給出具有較為明確的工程物理背景的各個估計方案，在進行可靠性鑒定試驗設計時，通過雙方協(xié)商，可提前選取合適的參數估計方案，使本文提供的方法具有很強的可操作性和工程應用價值。

2 驗證區(qū)間推導

可靠性鑒定試驗中若產品壽命服從指數分布，產品累積分布函數可表示為

式中:ti為可靠性試驗中第i 個故障發(fā)生的時間;θ為平均無故障間隔時間MTBF 值。

設從一批產品中取n 個進行定時截尾試驗，到規(guī)定的時間并未發(fā)現產品故障，產品的工作時間為

假定題設樣本E 的發(fā)生概率為P(E)時，則有下式成立

式中，tΣ為到規(guī)定的截止時間所累積的相關試驗時間。

通過(2)式可知，若θ 減小時，P(E)隨之減小，即P(E)隨θ 具有單調遞減性。假設MTBF 下限值θl是已知，在產品的MTBF 設計值是合理的基礎上，那么θ 應以一個較大的概率大于MTBF 下限值θl，即MTBF 下限θl大于θ 的概率是個小概率，根據P(E)的單調性，如果存在θ≤θl，則發(fā)生P(El)事件的概率也必為一個小概率α 事件

即有

所以滿足上式的MTBF 置信下限θl計算公式為

上述公式結果，與文獻［23］推導出來的指數分布下零故障最優(yōu)置信下限可靠性評估公式使一致的，其區(qū)別在于文獻［23］在θ 已知情況，假設θl是變化的，然后推導出最優(yōu)的θl;本文假設θl已知，在θ減少至θl后，試驗中出現無故障發(fā)生的事件將是一個小概率事件，從而獲得置信下限θl計算公式。雖然推導過程不一樣，但是公式意義都是一樣的，文獻［23］定義正則性的一個物理意義可以簡要表述為:無故障情況下置信下限不會小于有故障情況下的置信下限。本文的小概率推導過程中一個物理意義可簡要表述為:產品MTBF 取在置信下限情況下無故障發(fā)生的概率小于區(qū)間估計中任何一個MTBF值時的無故障發(fā)生概率。

3 點估計方案

在前節(jié)驗證區(qū)間的推導中，得到了MTBF 的驗證下限，根據(5)式控制置信水平變動，在某一風險范圍附近，存在一個置信水平α'的θ'l等于MTBF 的值，故此，我們可以將此時的估計下限作為MTBF 的點估計，即得到下式

由上述推導的(6)式，可以計算在不同置信度α'下，MTBF 的這個置信下限θ'l值，即^θ 關于總試驗時間tΣ的倍數關系，這個關系可以用來獲得合理的MTBF 點估計，獲得的計算方案見表1.

表1 無故障發(fā)生時MTBF 點估計計算方案簡表Tab.1 The calculation scheme of the point estimation of MTBF of zero-failure

上述計算方案主要是在產品壽命服從指數分布情況下，解決在采用定時截尾試驗中無故障發(fā)生時進行MTBF 真值估計問題，彌補在試驗中接收的判決故障數位零發(fā)生時MTBF 無法估計的難題。上述計算方案理論上可以適用于包括GJB899—90《可靠性鑒定和驗收試驗》中給出的標準定時截尾試驗1～17 號方案和短時高風險19～21 號方案，尤其適用于接收的判決故障數較少的方案中，比如GJB899的標準定時截尾試驗方案17，短時高風險方案20和方案21，因為這些方案接收的判決故障數分別為2/2/0，在實際試驗過程中無故障情況的出現概率也較高。

表1提供的無故障發(fā)生時MTBF 點估計計算方案簡表給出了在定時截尾試驗中，零故障時的MTBF 點估計值和置信度之間的關系，選取不同的置信度將會得到不同的MTBF 估計值，其中置信度選取主要依據產品本身的技術狀態(tài)。下面針對不同工程應用環(huán)境對各個方案的選取進行說明。

如果進行可靠性鑒定試驗的武器裝備采用較多高新技術，作戰(zhàn)使用中需要極高的可靠性，或者定時截尾試驗選用的短時高風險、鑒別比又較大的試驗方案，在進行MTBF 的點估計的計算時，訂購方可以選擇風險更小的保守方案1、2、3，讓生產方承擔較大的風險。其中，方案2 計算MTBF 點估計值結果等于r 為1 時的MTBF 估計值，即認為如果繼續(xù)進行可靠性試驗，會立即出現1 個故障。

如果進行可靠性鑒定試驗的武器裝備屬于成熟產品，或者基于可靠性鑒定試驗前的數據有理由相信武器裝備的可靠性較高，可以選擇方案5、6、7 等。其中方案7 與GB5080.4—85 推薦的計算結果是一致的，此方案訂購方承擔風險要高于生產方。

例如，某新型電子偵察裝備，選用GJB899 標準定時試驗方案中17 號方案(雙方名義風險均為20%，判決故障的接收數Ac≤2，判決故障的拒收數Rc≥3)進行可靠性鑒定試驗，試驗結束后沒有出現故障，總試驗時間t=24(臺時)，該如何給出試驗結果?

因為產品試驗過程中零個故障，根據17 號方案試驗結束后故障數小于3 個，可以做出接收產品為合格的判定，在對其進行MTBF 估值時，采用GJB899 提供的公式=t/r 將無法計算，因考慮其作戰(zhàn)過程中任務可靠較高，又為新型電子偵察裝備，其以前可靠性水平掌握較少，故可選取文中表1提供較為保守的3 號方案，MTBF 的估計值計算結果為28.8 h.

4 結論

在可靠性鑒定試驗中，產品在有故障下的數據處理已有一套成熟的方法，但是對無故障情況下的處理還處于研究探討階段，常用的極大似然估計法也隨之失效，本文經過推導和分析解決了下述兩個問題:

1)獲得了無故障時可靠性鑒定試驗中的MTBF置信下限公式。

2)提供了無故障情況下，MTBF 的點估計計算方法，并給出了幾種典型的方案和應用環(huán)境分析。

本文研究的內容對GJB899 中在無故障發(fā)生時MTBF 的驗證值難以確定作了較好的補充，根據可靠性試驗方案設計，在可靠性試驗進行前可以根據產品技術狀態(tài)和工程背景，雙方協(xié)商選取文中提供的某一方案，以此確定如果在可靠性試驗中無故障時的MTBF 驗證值計算方法，避免了在試驗完成后對MTBF 估計可能產生的分歧，本文研究的內容和提供的方案對可靠性鑒定試驗具有很強的指導性和可操作性，具備很強的工程應用和推廣價值。

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