考慮土體強(qiáng)度非線性的地震主動(dòng)土壓力分析

彭曉鋼 王寰宇 李有志

1. 深圳市天?。瘓F(tuán)）股份有限公司 廣東 深圳 518034；2. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410075

巖土體主要由土骨架、孔隙水和空氣組成，由于自身組成復(fù)雜，導(dǎo)致其在試驗(yàn)中表現(xiàn)出來(lái)的強(qiáng)度特征相對(duì)復(fù)雜。在常規(guī)的三軸試驗(yàn)中，可以發(fā)現(xiàn)巖土體所處的應(yīng)力狀態(tài)也直接影響抗剪強(qiáng)度指標(biāo)。其中，隨著圍壓的增大，內(nèi)摩擦角減小而黏聚力增大。

因此，在不同的應(yīng)力條件下，巖土體的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)表現(xiàn)出較大的差距。另一個(gè)角度，巖土體材料因固有特性，其所處的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)強(qiáng)度具有較大的影響，非線性特征較為明顯。

對(duì)于巖土體所表現(xiàn)出來(lái)的非線性特征，解決方案通常為采用非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則來(lái)描述強(qiáng)度特性。而非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則主要有以下2類：

1）以Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則為代表的采用法向應(yīng)力和剪切應(yīng)力形式描述的強(qiáng)度準(zhǔn)則。

2）以Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則為代表的采用主應(yīng)力形式描述的強(qiáng)度準(zhǔn)則。

盡管在參數(shù)的含義上，以上2類強(qiáng)度準(zhǔn)則存在一定的差別，但是其數(shù)學(xué)表達(dá)式通常為冪指數(shù)形式。本節(jié)將著重介紹Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則及其參數(shù)選取的方法。

在實(shí)際抗震設(shè)計(jì)中，PGA（峰值加速度）常用來(lái)描述地震動(dòng)，即以靜力計(jì)算為基礎(chǔ)，將地震的作用簡(jiǎn)化為一個(gè)慣性力系附加在研究對(duì)象上，這就是最常見(jiàn)的擬靜力法。擬靜力法憑借簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用在巖土工程穩(wěn)定性分析中[1-4]，不足的是該方法忽略了地震波的空間變化和時(shí)變特性。因此，擬靜力法給出的解往往相對(duì)保守。

目前，加速度時(shí)程分析是比較可靠的方法之一[5-6]。但是該方法過(guò)于復(fù)雜，在數(shù)值模擬中應(yīng)用較多，難以在理論分析中進(jìn)行拓展[7-9]。

地震波是由多種波疊加而成的復(fù)雜波，無(wú)法用函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫。在此背景下，通過(guò)考慮振幅和相位等其他參數(shù)隨著地震波在傳播過(guò)程中變化的特征，提出了擬動(dòng)力法。在現(xiàn)有研究中，該方法主要用于基于極限平衡法的側(cè)向土壓力計(jì)算[10]。

該方法中所采用的加速度分布形式可以是符合實(shí)際情況的任何形式。但為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，在大多數(shù)研究中，都采用正弦加速度且沒(méi)有考慮初始相位差[11]。關(guān)于擋土墻主動(dòng)土壓力，已經(jīng)有很多學(xué)者開(kāi)展過(guò)研究[12-13]，本文主要基于極限分析上限定理，建立對(duì)數(shù)螺旋線破壞機(jī)構(gòu)，并計(jì)算內(nèi)外力功率，建立功能平衡方程，求解最優(yōu)上限解。研究結(jié)果可為工程設(shè)計(jì)與施工提供參考。

1 基本原理

1.1 廣義切線技術(shù)

非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則有多種形式，但對(duì)土體材料而言，非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則通常表示成如下冪指數(shù)形式：

式中：c0——土體初始黏聚力；

σt——土體的抗拉強(qiáng)度；

σn、τ——極限破壞面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力；

m——非線性系數(shù)。

為便于計(jì)算，針對(duì)非線性Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則，提出了一種切線技術(shù)，用以分析巖土工程中的穩(wěn)定性問(wèn)題。Yang[14]表示，該切線的上限解為真實(shí)極限荷載的一個(gè)嚴(yán)格上限值，拓展了廣義切線技術(shù)在極限分析方法中的應(yīng)用。對(duì)于強(qiáng)度包絡(luò)線上的任意一點(diǎn)，切線方程為：

式中：ct、φt——等效的黏聚力和內(nèi)摩擦角。

根據(jù)幾何關(guān)系和公式（1），可將土體等效內(nèi)摩擦角正切值和等效黏聚力寫成如下等式：

在實(shí)際計(jì)算時(shí)，需要通過(guò)窮舉算法優(yōu)化φt得到最不利的切線，使目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)上限解。

1.2 擬動(dòng)力法

在考慮地震作用時(shí)，橫波和縱波的速度可以分別表示為VP＝[2G（1-v）/ρ（1-2v）]0.5和Vs＝（G/ρ）0.5，其中G是剪切模量，v是泊松比，ρ為土體密度。對(duì)于大多數(shù)土體而言，其泊松比v＝0.3，此時(shí)VP/Vs＝1.87。

本文忽略橫波和縱波之間的周期差異，認(rèn)為橫波和縱波周期相同。加速度采用正弦波進(jìn)行輸入，作用在回填的同一高度位置上時(shí)，水平加速度和垂直加速度之間通常存在相位差。

同時(shí)，需要指出的是，在地震期間，隨著地震波接近回填土表面，地震動(dòng)將被放大。因此，引入加速度幅值放大系數(shù)加以考慮。

水平加速度和垂直加速度分別為正弦波，kh、kv分別為水平地震系數(shù)和垂直地震系數(shù)。因此，時(shí)間為t時(shí)，yi處的地震加速度根據(jù)擬動(dòng)力法可以寫成如下表達(dá)式：

式中：Vs、Vp——橫波和縱波的波速；

f ——土體放大系數(shù)；

t0——回填土底部水平加速度與垂直加速度之間的初始時(shí)間差。

2 主動(dòng)土壓力能耗分析

2.1 重力功率計(jì)算

根據(jù)極限分析上限法的要求，通常根據(jù)速度相容場(chǎng)去描述破壞機(jī)構(gòu)，在軟土中，常采用旋轉(zhuǎn)模式的破壞機(jī)構(gòu)。同時(shí)，為滿足相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則的要求，速度間斷面上任意一點(diǎn)的切線方向與其速度方向的夾角為材料的內(nèi)摩擦角φ。據(jù)此，破壞面方程在極坐標(biāo)中可以表示成以下函數(shù)：

式中：r0、θ0——初始半徑和初始角度。

如圖1所示，初始參數(shù)：墻高為H，墻背與水平面夾角為β，墻后填土重度為γ，摩擦角為φ，黏聚力為c。圖1中L為A、B兩點(diǎn)的距離，通常有如下關(guān)系式：

圖1 擋土墻破壞模型示意

本文考慮的外荷載包括土體自重、地震慣性力、坡頂附加均布荷載以及擋墻的主動(dòng)土壓力。在計(jì)算重力功率時(shí)，采用疊加法計(jì)算，先分別求出塊體OBC、塊體OAC、塊體OAB的重力功率值W1、W2、W3，再通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)加減，可得ABC的重力功率為：W1－W2－W3。塊體OBC的重力功率可以通過(guò)以下公式進(jìn)行積分：

同理，塊體OAC和OAB的功率也可算出，通過(guò)疊加可得到總的重力做功功率：

f1，f2，f3為無(wú)量綱函數(shù)，具體如下：

2.2 地震力功率計(jì)算

由于擬動(dòng)力法考慮了加速度隨時(shí)間和空間變化的特性，故上述積分方法不再適用于計(jì)算地震力功率，需要采用水平分層的方法進(jìn)行計(jì)算。在此，提出了一個(gè)無(wú)限小的梯形單元QiQi+1Pi+1Pi來(lái)適應(yīng)這種變化。以圖2所示的微元為例來(lái)說(shuō)明獲得慣性力功率的方法。

圖2 梯形單元慣性力計(jì)算示意

首先，在高度為hi和hi＋d h處分別有2條虛擬水平線，分別求出其與對(duì)數(shù)螺旋面、墻面的交點(diǎn)，分別為Pi（xi, yi）、Qi（x′i, y′i）、Pi+1（xi+1, yi+1）、Qi（x′i+1, y′i+1），通過(guò)幾何關(guān)系可以推導(dǎo)出其坐標(biāo)值，其中滑移面上Pi點(diǎn)的橫坐標(biāo)需滿足以下方程：

為計(jì)算各微元的慣性力引起的功率，必須確定該微元的面積及其重心。根據(jù)梯形元素的幾何特性，給出重心坐標(biāo)Ci（xci, yci）和該微元的面積Si，因此，可以推算出該微元慣性力的功率并且可以通過(guò)對(duì)每個(gè)微元求和來(lái)計(jì)算整個(gè)破壞機(jī)構(gòu)的慣性力功率：

其中，θci是相對(duì)于旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度。

當(dāng)?shù)卣鸩ㄋ仝吔跓o(wú)窮大時(shí)，擬動(dòng)力法則退化為擬靜力法，由于加速度系數(shù)kv、kh在任意空間位置、任意時(shí)間下均為一常數(shù)，可以采用與重力功率同樣的計(jì)算方法進(jìn)行求解。

2.3 附加荷載功率計(jì)算

本文墻后填土作用有均勻分布荷載，如圖2所示，破壞機(jī)構(gòu)范圍之外的荷載不予考慮。為考慮附加載荷在地震影響下的慣性效應(yīng)，水平和垂直慣性力都作用在回填土表面上。在這種情況下，可以獲得附加荷載引起的功率為：

無(wú)量綱函數(shù) f4、f5如下：

2.4 主動(dòng)土壓力功率計(jì)算

在計(jì)算主動(dòng)土壓力引起的功率時(shí)，應(yīng)事先確定合力的作用點(diǎn)和方向。現(xiàn)有的大量研究表明土壓力合力的作用點(diǎn)位于墻高的1/3處，并且采用墻-土的摩擦角來(lái)描述力的方向。對(duì)土壓力合力分別進(jìn)行正交分解得到其水平分量和垂直分量：

其中，δ是墻-土的摩擦角，進(jìn)而可以求出主動(dòng)土壓力的功率如下：

無(wú)量綱函數(shù) f6如下：

其次，墻-土接觸面的附著力也是外力功率的一部分，單位長(zhǎng)度的附著力為cttanδ/tanφt，其功率由下式計(jì)算可得：

無(wú)量綱函數(shù)f7如下：

2.5 內(nèi)能耗散率計(jì)算

破壞機(jī)構(gòu)為剛性塊，內(nèi)部能量將僅沿著破壞面發(fā)生耗散?；谀芰亢纳⒙适羌羟辛退俣鹊狞c(diǎn)積的定義，可對(duì)速度間斷面進(jìn)行徑向微分，每個(gè)徑向微分長(zhǎng)度為rdθ/cosφt，黏聚力為ct，速度間斷面在該處的切向速度為ωrcosφt?？偟膬?nèi)部能量耗散率可以沿著速度間斷面進(jìn)行積分求得：

無(wú)量綱函數(shù)f8如下：

2.6 目標(biāo)函數(shù)求解

地震主動(dòng)土壓力的上限解可以通過(guò)將由外力完成的功率等于總內(nèi)部能量耗散率來(lái)得出。其功率平衡方程為：

因此，地震主動(dòng)土壓力的表達(dá)式可以寫為：

基于不同的破壞機(jī)構(gòu)產(chǎn)生不同土壓力結(jié)果的事實(shí)，且破壞機(jī)構(gòu)取決于旋轉(zhuǎn)中心的位置，初始相位差和切線法中優(yōu)化變量φt均會(huì)對(duì)結(jié)果造成影響。因此，主動(dòng)土壓力系數(shù)可以表示為上述4個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)Pa＝f（θ0, θh, t , φt）。最終結(jié)果將通過(guò)優(yōu)化獲得。

為確保破壞機(jī)構(gòu)有效，優(yōu)化過(guò)程必須滿足下面的約束條件：

3 研究結(jié)果與分析

3.1 初始黏聚力對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

初始黏聚力作為非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則中重要的強(qiáng)度參數(shù)，其力學(xué)含義是指破壞面在無(wú)任何正應(yīng)力下材料的抗剪強(qiáng)度。為研究其對(duì)主動(dòng)土壓力的影響，通過(guò)計(jì)算，得到當(dāng)非線性系數(shù)m＝1.2～2.0時(shí)，主動(dòng)土壓力Pa隨初始黏聚力c0變化的規(guī)律，如圖3所示。

圖3 初始黏聚力對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

從圖3可以看出，初始黏聚力對(duì)主動(dòng)土壓力有較大的影響。隨著初始黏聚力的增加，主動(dòng)土壓力逐漸降低，且其變化趨勢(shì)近似為線性。這與我們現(xiàn)有的認(rèn)知是一致的，即黏聚力的增加有利于墻后填土的穩(wěn)定。從圖3中還可以看出，隨著非線性系數(shù)m從1.2變化到2.0，主動(dòng)土壓力逐漸增大，但其增大的速度隨著m的增大而逐漸變緩。

3.2 單軸抗拉強(qiáng)度對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

為研究單軸抗拉強(qiáng)度對(duì)主動(dòng)土壓力的影響，通過(guò)計(jì)算得到當(dāng)非線性系數(shù)m＝1.2～2.0時(shí)，主動(dòng)土壓力Pa隨單軸抗拉強(qiáng)度σt變化規(guī)律如圖4所示。

圖4 單軸抗拉強(qiáng)度對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

從圖4可以看出，單軸抗拉強(qiáng)度對(duì)主動(dòng)土壓力影響顯著。當(dāng)非線性系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，主動(dòng)土壓力隨單軸抗拉強(qiáng)度的變化趨勢(shì)略有不同。但總體來(lái)說(shuō)，隨著單軸抗拉強(qiáng)度的增加，主動(dòng)土壓力是逐漸增大的。所以實(shí)際上，土體的單軸抗拉強(qiáng)度不利于墻后填土的穩(wěn)定。這一點(diǎn)也能從計(jì)算邊坡安全系數(shù)來(lái)研究其穩(wěn)定性看出來(lái)，更高單軸抗拉強(qiáng)度會(huì)得到更低的安全系數(shù)。

3.3 水平地震系數(shù)對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

水平地震系數(shù)作為考慮地震效應(yīng)最重要的參數(shù)之一，在研究其他擬動(dòng)力法參數(shù)的影響之前首先需要明確其對(duì)主動(dòng)土壓力的影響。通過(guò)計(jì)算得到當(dāng)附加荷載時(shí)，主動(dòng)土壓力隨水平地震系數(shù)變化的規(guī)律，如圖5所示。

圖5 水平地震系數(shù)對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

從圖5中可以看出，當(dāng)水平地震系數(shù)從0變化到0.2時(shí)，主動(dòng)土壓力增大約1.8倍。隨著水平地震系數(shù)的增大，主動(dòng)土壓力逐漸變大，且其增大速率略微增大。隨著附加荷載的增大，主動(dòng)土壓力也呈現(xiàn)出線性增大的特征。上述2個(gè)特征可以為活躍地震帶區(qū)域的高路堤支護(hù)提供一定的參考。

3.4 地震周期對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

對(duì)于擬動(dòng)力法中的眾多參數(shù)，地震波周期是其中較為重要的參數(shù)。為研究其對(duì)主動(dòng)土壓力的影響，通過(guò)計(jì)算得到當(dāng)水平地震系數(shù)kh＝0.05～0.25時(shí)，主動(dòng)土壓力Pa隨地震周期T變化的規(guī)律，如圖6所示。

圖6 地震波周期對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

從圖6可以看出，當(dāng)?shù)卣鸩ㄖ芷赥＜0.20 s時(shí)，隨著其數(shù)值的增大，主動(dòng)土壓力逐漸增大；而當(dāng)T＞0.20 s后，隨著地震波周期的增大，主動(dòng)土壓力趨于穩(wěn)定。這是因?yàn)閴筇钔恋膸缀纬叽缬邢?，?dāng)?shù)卣鸩ㄖ芷谠龃蟮侥骋粩?shù)值之后，地震波的波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于墻后填土的高度，因此在墻后填土范圍可以視為地震加速度不再隨所處高度而變化，若此時(shí)不考慮土體放大系數(shù)的影響，則擬動(dòng)力法退回為擬靜力法。這也可以看出擬動(dòng)力法是能夠包含擬靜力法的，因此其適用性更廣。

3.5 波速對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

壓縮波和剪切波的動(dòng)態(tài)特性對(duì)主動(dòng)土壓力產(chǎn)生較大影響。如前所述，對(duì)于大多數(shù)土壤材料，當(dāng)泊松比為0.3時(shí)，剪切波波速與壓縮波波速之比為常數(shù)1.87。因此，在本文中只討論了壓縮波波速的影響。為研究其對(duì)主動(dòng)土壓力的影響，通過(guò)計(jì)算得到當(dāng)水平地震系數(shù)kh＝0.05～0.25時(shí)，主動(dòng)土壓力Pa隨壓縮波波速Vs變化的規(guī)律，如圖7所示。

圖7 壓縮波波速對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

從圖7可以看出，剛開(kāi)始隨著壓縮波波速的增大，主動(dòng)土壓力逐漸增大，之后便穩(wěn)定為一數(shù)值基本保持不變。同樣的，作為波長(zhǎng)的另一個(gè)決定因素，當(dāng)波速增大到某一數(shù)值之后，地震波的波長(zhǎng)將遠(yuǎn)大于墻后填土的高度，因此在墻后填土范圍可以視為地震加速度不再隨所處高度而變化，其結(jié)果逐漸趨近于擬靜力法得到的結(jié)果。

3.6 初始相位差對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

當(dāng)同時(shí)考慮壓縮波與剪切波時(shí)，兩者傳遞到墻后填土底部具備一定的時(shí)間差，在本文中稱其為初始相位差。為研究其對(duì)主動(dòng)土壓力的影響，通過(guò)計(jì)算，得到當(dāng)水平地震系數(shù)kh＝0.05～0.25時(shí)，主動(dòng)土壓力Pa隨初始相位差t0變化的規(guī)律，如圖8所示。

圖8 初始相位差對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

從圖8可以看出，剛開(kāi)始隨著初始相位差的增大，主動(dòng)土壓力逐漸減小，之后便隨著初始相位差的增大而增大。同時(shí)，當(dāng)初始相位差t0＝0和t0＝T時(shí)，二者計(jì)算得到的主動(dòng)土壓力數(shù)值相同，也就表現(xiàn)出明顯的周期性，這與我們采用的正弦分布形式的地震波相吻合。

3.7 土體放大系數(shù)對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

對(duì)于隨著地震波接近回填土表面，振動(dòng)將被放大這一現(xiàn)象，引入了土體放大系數(shù)這一參數(shù)。為研究其對(duì)主動(dòng)土壓力的影響，通過(guò)計(jì)算得到當(dāng)水平地震系數(shù)kh＝0.05～0.25時(shí)，主動(dòng)土壓力Pa隨土體放大系數(shù) f 變化的規(guī)律，如圖9所示。

圖9 土體放大系數(shù)對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

從圖9可以看出，隨著土體放大系數(shù)的增大，主動(dòng)土壓力逐漸增大。對(duì)于kh＝0.05，當(dāng) f 從1.0增大到2.0，主動(dòng)土壓力的數(shù)值增大約1.08倍；而對(duì)于kh＝0.25，當(dāng) f 從1.0增大到2.0，主動(dòng)土壓力的數(shù)值增大約1.53倍。因此，在高水平地震加速度系數(shù)情況下，土體放大系數(shù)的影響更為顯著，在實(shí)際工程中應(yīng)該予以重視。

3.8 垂直地震系數(shù)對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

在已有的一些研究中，均發(fā)現(xiàn)垂直地震系數(shù)對(duì)土工構(gòu)筑物穩(wěn)定性影響較小這一結(jié)論。本文也對(duì)其進(jìn)行了研究。通過(guò)計(jì)算得到當(dāng)水平地震系kh＝0.05～0.25時(shí)，主動(dòng)土壓力Pa隨垂直地震系數(shù)kv與水平地震系數(shù)kh的比值μν變化的規(guī)律，如圖10所示。

圖10 垂直地震系數(shù)對(duì)主動(dòng)土壓力的影響

從圖10可以看出，隨著垂直地震系數(shù)的增大，主動(dòng)土壓力略微增大。在不同的水平地震系數(shù)條件下，μν＝1.0與μν＝0得到的主動(dòng)土壓力相差均不超過(guò)10%。因此與其他學(xué)者得到的結(jié)論一致，即垂直地震系數(shù)對(duì)土工構(gòu)筑物的穩(wěn)定性影響較小，在實(shí)際工程中，可以不考慮垂直地震系數(shù)的影響。

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究的主要目的是基于塑性理論，建立一種用于計(jì)算在非線性條件下主動(dòng)土壓力的新方法。在對(duì)于考慮地震的效應(yīng)中，以正弦形式的地震系數(shù)來(lái)計(jì)算慣性力，也就是擬動(dòng)力法。在基于極限分析的上限定理，利用一種水平計(jì)算單元分別計(jì)算外力功率和內(nèi)能耗散率并推導(dǎo)出了主動(dòng)土壓力的解析解。通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，得出了以下結(jié)論：

1）線性條件下，即m＝1.0時(shí)，本文的計(jì)算結(jié)果與Chen等[15]的研究吻合良好，從而證明了所提出方法的正確性。

2）土體本身具備較強(qiáng)的非線性特征，采用非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則來(lái)描述其強(qiáng)度特性將得到更為精確的解析解。而對(duì)于非線性Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則中的3個(gè)參數(shù)，其中初始黏聚力的增大有利于墻后填土的穩(wěn)定，較大值將得到較小的主動(dòng)土壓力值。而非線性系數(shù)和單軸抗拉強(qiáng)度的增大均不利于墻后填土的穩(wěn)定，較大值將得到較大的主動(dòng)土壓力值。

3）對(duì)于擬動(dòng)力法相關(guān)參數(shù)，水平地震系數(shù)、地震波周期、壓縮波波速、土體放大系數(shù)、垂直地震系數(shù)的增大均導(dǎo)致主動(dòng)土壓力的增大，而對(duì)于初始相位差則表現(xiàn)出明顯的周期特征。