基于穩(wěn)定性CICC 設(shè)計(jì)模型

蔣華偉 李國平 趙玉娟 武松濤

（1.河南工業(yè)大學(xué)信息學(xué)院 鄭州 450001 2.中國科學(xué)院等離子體物理研究所 合肥 230031）

1 引言

CICC（管內(nèi)電纜導(dǎo)體）是在Hoenig 等人提出的內(nèi)冷超導(dǎo)體（ICSs）和 CIC 概念基礎(chǔ)上演變而 來[1]。經(jīng)過多年研究、發(fā)展和改進(jìn)的CICC 因具有良好冷卻、高電壓絕緣、大電流、低損耗、多級(jí)變位股絞纜等優(yōu)點(diǎn)而為中國大科學(xué)工程EAST、韓國KSTAR 以及國際熱核聚變?cè)囼?yàn)反應(yīng)堆ITER[2]等超導(dǎo)磁體的首選導(dǎo)體。

CICC 的結(jié)構(gòu)決定其間的熱交換是一個(gè)復(fù)雜的過程，加上CICC 運(yùn)行在大電流和快變磁場中，其穩(wěn)定性還受到能量裕度和AC 損耗等的制約，這使得工程上CICC 的絞纜成為一個(gè)精細(xì)復(fù)雜、多次嘗試和改進(jìn)、工作量巨大的煩瑣過程。如果采用數(shù)值仿真設(shè)計(jì)，則會(huì)使工作量相應(yīng)地減輕，周期縮短。

目前針對(duì)CICC 所開展的數(shù)值模擬研究工作主要集中在穩(wěn)定性、損耗等方面。其中關(guān)于CICC 導(dǎo)體穩(wěn)定性工作，如文獻(xiàn)[3]針對(duì)熱傳導(dǎo)和沿導(dǎo)體長度方向上的失超傳播等問題，提出數(shù)值分析方法。文獻(xiàn)[4]中提出子纜包繞及中心冷卻的CICC 導(dǎo)體3D絞纜數(shù)值模擬模型，它可以輸出股線的空間結(jié)構(gòu)、每級(jí)子纜的面積等。文獻(xiàn)[5]針對(duì)KSTAR 上的導(dǎo)體，探索了瞬時(shí)熱傳遞和暫態(tài)溫度裕度補(bǔ)償特性；在給定運(yùn)行條件下，對(duì)能量裕度、質(zhì)量流分布及CICC中氦流對(duì)入口位置、壓力等質(zhì)量流衰減和溫升峰值的依賴性進(jìn)行研究。

在導(dǎo)體損耗方面進(jìn)行的研究工作有：文獻(xiàn)[6]對(duì)NbTi 超導(dǎo)CICC 的AC 損耗與股線內(nèi)接觸電阻進(jìn)行了研究，獲得AC 損耗和接觸電阻的對(duì)應(yīng)關(guān)系。文獻(xiàn)[7]使用實(shí)驗(yàn)分析的方法，研究了處于交變脈沖環(huán)境中多股絞制的超導(dǎo)電纜的電磁問題，用數(shù)值方法評(píng)價(jià)了AC 損耗。另外在文獻(xiàn)[8]中提出一種通過調(diào)節(jié)導(dǎo)體中子纜紐絞方向和節(jié)距的方法，來解決導(dǎo)體不能同時(shí)獲得低損耗和高穩(wěn)定性的難題。

這些研究多基于理論實(shí)驗(yàn)方法獲得CICC 的穩(wěn)定性與磁場、電流密度、溫度和質(zhì)量流等的關(guān)系，以及尋找CICC 導(dǎo)體結(jié)構(gòu)對(duì)AC 損耗影響的因素，為 CICC 的穩(wěn)定性運(yùn)行作了大量有意義的探索工作。但沒有涉及基于給定運(yùn)行條件對(duì)CICC 導(dǎo)體結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)研究，雖然文獻(xiàn)[3]中L.Bottura 等進(jìn)行了導(dǎo)體數(shù)值分析，但主要是對(duì)CICC 的失超傳播進(jìn)行模擬，不是導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬設(shè)計(jì)。為此，本文在上述研究工作基礎(chǔ)上，提出了基于穩(wěn)定性、質(zhì)量流和AC 損耗機(jī)理的CICC 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)數(shù)值仿真模型，并嘗試完成導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的模擬設(shè)計(jì)研究。

2 CICC 數(shù)值模擬理論

2.1 CICC 穩(wěn)定性裕度

運(yùn)行在復(fù)雜變化電磁場環(huán)境中的 CICC，其穩(wěn)定性不僅受運(yùn)行條件、空隙率、子纜的扭距、股線及子纜結(jié)構(gòu)等影響，而且受液氦流速和質(zhì)量流的約束，另外CICC 的穩(wěn)定性還與銅超比和股線表面鍍層（高阻層）等密切相關(guān)。因此，對(duì)CICC 穩(wěn)定性的研究是導(dǎo)體設(shè)計(jì)的核心和關(guān)鍵。

由于CICC 的穩(wěn)定性是受某一溫度范圍內(nèi)液氦焓差的限制，這樣可對(duì)該溫度區(qū)間內(nèi)液氦的熱容進(jìn)行積分得到焓差的值。數(shù)學(xué)描述如下：

式中，AHe和Ast是液氦和超導(dǎo)體的面積；Tcs、Top是分流溫度和運(yùn)行溫度；CHe是液氦的熱容。

根據(jù)能量平衡并結(jié)合在整個(gè)干擾區(qū)間內(nèi)液氦和股線的情況，可以粗略地估計(jì)出在好冷卻區(qū)間、過渡區(qū)間和差冷卻區(qū)間的穩(wěn)定性裕度。

在好冷卻區(qū)，運(yùn)行電流小于下極限電流，溫度能夠上升到分流溫度，由于液氦的熱容遠(yuǎn)大于超導(dǎo)股線的（超導(dǎo)股線的貢獻(xiàn)可忽略不計(jì)，近似為零），可用的最大液氦熱沉為

式中，ACu是銅的面積；Cst是超導(dǎo)股線的熱容。

在過渡區(qū)間，運(yùn)行電流處在下、上極限電流之間，液氦的溫度僅可以上升到恢復(fù)溫度Trec。

在差冷卻區(qū)間，運(yùn)行電流大于上極限電流，沒有可利用的液氦焓差，由于超導(dǎo)股線的熱容非常小，導(dǎo)體可利用的焓差近似為零，所以有

2.2 CICC 穩(wěn)定與質(zhì)量流

在對(duì)ITER 的導(dǎo)體進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究和分析時(shí)，發(fā)現(xiàn)液氦的有用焓值（穩(wěn)定性）與質(zhì)量流的關(guān)系如圖1 所示（內(nèi)部溫度：4.5K，最大輸出溫度：6K），這說明了CICC 導(dǎo)體的穩(wěn)定性與質(zhì)量流之間存在一定的相關(guān)性。

圖1 焓值與質(zhì)量流的關(guān)系 Fig.1 Relationship between enthalpy and mass flow rate

實(shí)際中穩(wěn)定性與質(zhì)量流關(guān)系的資料是通過試驗(yàn)等提供的曲線圖，由這些圖不僅得不出CICC 穩(wěn)定性與氦流量之間的準(zhǔn)確關(guān)系，甚至也難以獲得曲線上每一點(diǎn)真正對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，用程序進(jìn)行導(dǎo)體穩(wěn)定性研究及導(dǎo)體結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬設(shè)計(jì)時(shí)，由于不知道穩(wěn)定性裕度和質(zhì)量流之間的確定關(guān)系，就無法進(jìn)行精確的計(jì)算，因此需要對(duì)它們進(jìn)行量化，用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述它們之間的定量關(guān)系。

為此采用圖像處理和最小二乘法相結(jié)合的方法來量化它們之間的關(guān)系[9]。首先對(duì)圖像進(jìn)行處理，然后利用最小二乘法對(duì)二值化的圖像曲線進(jìn)行擬合，最后獲得CICC 穩(wěn)定性裕度與迫流氦流量之間的量化關(guān)系，這樣就可以為后面的CICC 數(shù)值模擬設(shè)計(jì)提供經(jīng)驗(yàn)計(jì)算模型。

3 CICC 結(jié)構(gòu)數(shù)值仿真設(shè)計(jì)模型

3.1 CICC 設(shè)計(jì)的基本思路

由三根超導(dǎo)股線構(gòu)成的一級(jí)子纜的情況，已經(jīng)進(jìn)行過數(shù)值仿真研究[10]。本次的情況是給定運(yùn)行電流、溫度、背景場及預(yù)定的穩(wěn)定性裕度、溫度裕度、導(dǎo)體的空隙率等參數(shù)，但不知是否含有純銅股線。其設(shè)計(jì)的基本思路是：在給定運(yùn)行條件下，根據(jù)空隙率、穩(wěn)定性裕度、溫度裕度等，結(jié)合stekly 參數(shù)小于1 的情況，利用導(dǎo)體中銅的面積和濕邊周長（考慮穩(wěn)定性裕度）和電纜空間電流密度（優(yōu)化銅組分），以及超導(dǎo)材料的臨界電流密度（溫度裕度），獲得關(guān)于超導(dǎo)股線根數(shù)、超導(dǎo)股線直徑和銅超比等參數(shù)的矩陣方程，由此模擬獲得CICC 導(dǎo)體結(jié)構(gòu)。

在構(gòu)造仿真計(jì)算模型中采用了以下假定條件：

（1）一級(jí)子纜采用3 根股線絞纜（可以包括銅股線；一般全為超導(dǎo)股，通過銅超比來調(diào)節(jié)）。

（2）為獲得合理的電流密度，給定導(dǎo)體運(yùn)行在過渡區(qū)間，即運(yùn)行電流大于下極限電流小于上極限電流。并設(shè)定stekly 參數(shù)小于1，即導(dǎo)體產(chǎn)生的焦耳熱小于被液氦帶走的能量。

（3）若有純銅股線則可處理成三種情況：在計(jì)算起穩(wěn)定作用的銅面積以及濕邊周長時(shí)都包括純銅股線的作用；僅在計(jì)算起穩(wěn)定作用的銅面積時(shí)考慮銅股線的作用；僅在計(jì)算濕邊周長時(shí)考慮銅股線的作用。在模擬程序中對(duì)此分別進(jìn)行處理。

在絞纜中，模擬程序還對(duì)導(dǎo)體進(jìn)行了如下處理：若子纜間內(nèi)切圓的直徑大于前一級(jí)子纜的直徑，則用相應(yīng)的純銅股線來填充，以增強(qiáng)CICC 導(dǎo)體的結(jié)構(gòu)和運(yùn)行穩(wěn)定性。

3.2 導(dǎo)體設(shè)計(jì)穩(wěn)定性裕度算法模型

根據(jù)導(dǎo)體運(yùn)行在過渡區(qū)[10](Ilim,low＜Iop＜Ilim,up)，由穩(wěn)定性裕度和stekly 參數(shù) α 可得

式中，Nsc、dsc分別代表CICC 中超導(dǎo)股線的根數(shù)和直徑；RCu為銅超比；Iop是運(yùn)行電流；ρCu為銅的電阻率；Kp是計(jì)算濕邊周長因子；h 為液氦的熱傳遞系數(shù)；Tc是臨界溫度。

3.3 導(dǎo)體設(shè)計(jì)空間電流與溫度裕度算法模型

根據(jù)電纜空間極限電流密度[10]，由上極限電流密度與過渡區(qū)極限電流密度可得

式中 式中，ΔEtr為過渡區(qū)的穩(wěn)定性裕度；Jc表示臨界電流密度；fv為導(dǎo)體空隙率。

根據(jù)溫度裕度和臨界電流[10]可以得到

式中，ΔTcs代表CICC 的溫度裕度。

3.4 導(dǎo)體數(shù)值仿真設(shè)計(jì)模型

由上面的推導(dǎo)可得式（5）～式（7）三個(gè)方程。很顯然，上述包含三個(gè)未知量Nsc、dsc、RCu的方程是不難求解的?？墒?，當(dāng)把式（7）代入到式（5）時(shí)會(huì)得到類似于式（6）的方程。這說明在空間電流密度上對(duì)CICC 銅組分的優(yōu)化不是孤立的問題，是與穩(wěn)定性裕度、溫度裕度及臨界電流有著必然的聯(lián)系。這樣就只剩下兩個(gè)方程，因此無法唯一確定上面三個(gè)未知量。鑒于此，可以把RCu、dsc表示成Nsc的函數(shù)，逐步嘗試用由一、二、三、四等層的結(jié)構(gòu)來確定超導(dǎo)股數(shù)Nsc，再求出符合實(shí)際要求的RCu及

dsc。

由式（7）得到RCu表達(dá)式為

然后把式（8）代入式（5）得到關(guān)于dsc的方程

根據(jù)不同的CICC 結(jié)構(gòu)來確定Nsc，結(jié)合運(yùn)行電流和臨界溫度等條件，來獲得合理的股線直徑dsc，最后由式（9）求得RCu。

根據(jù)上面的數(shù)學(xué)模型，項(xiàng)目組獨(dú)立研發(fā)了CICC結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的模擬程序。在CICC 數(shù)值仿真時(shí)，對(duì)不同結(jié)構(gòu)下的Nsc，調(diào)用求解dsc三次方程的子程序計(jì)算dsc，并判定合理的股線直徑dsc，然后計(jì)算出相應(yīng)的銅超比RCu。模擬運(yùn)行結(jié)果如圖2 所示。

圖2 數(shù)值仿真得到的CICC 結(jié)構(gòu) Fig.2 CICC configuration by simulation design

4 CICC 交流損耗

通過上面數(shù)值模擬設(shè)計(jì)所獲得的CICC 導(dǎo)體結(jié)構(gòu)，能否滿足實(shí)際運(yùn)行條件，還要考慮AC 損耗等因素對(duì)穩(wěn)定性的影響。因?yàn)镃ICC 運(yùn)行在復(fù)雜電磁場和其他惡劣環(huán)境中，會(huì)產(chǎn)生包括磁滯損耗、耦合損耗和渦流損耗在內(nèi)的交流損耗[11]擾動(dòng)，一旦導(dǎo)體的穩(wěn)定裕度不滿足擾動(dòng)條件，就會(huì)產(chǎn)生局部的正常區(qū)，若該種趨勢得不到遏制就會(huì)發(fā)生失超傳播，最后導(dǎo)致CICC 的整體失超。

CICC 的磁滯損耗可用洛倫茲力做功來表示，對(duì)導(dǎo)體所處變化磁場中的磁化曲線進(jìn)行積分即可。具體由Poynting 矢量S=E×H 對(duì)電流或場積分，或由導(dǎo)體的電流密度和電場點(diǎn)積Jc·E 進(jìn)行積分計(jì)算獲得，單位體積上縱向磁滯損耗的經(jīng)驗(yàn)公式為

式中，de為超導(dǎo)絲的有效直徑；B˙為磁場變化率。

對(duì)處于交變磁場中的 CICC，在銅基體中由于產(chǎn)生耦合電流而形成耦合損耗。CICC 是由多股、多級(jí)子纜扭絞而成的超導(dǎo)電纜，各級(jí)子纜的扭距長度和橫向電阻率也存在差異，因此，關(guān)鍵是如何根據(jù)這些參數(shù)來計(jì)算CICC 導(dǎo)體的耦合損耗時(shí)間常數(shù)和耦合損耗。

當(dāng)外場的變化速率不大時(shí)，計(jì)算損耗時(shí)可以不考慮屏蔽效應(yīng)，這樣其表達(dá)式為

式中，θ 為耦合損耗時(shí)間常數(shù)；μ0是真空磁導(dǎo)率；Bn為橫向磁場的大小。

對(duì)線圈勵(lì)磁、等離子體放電或破滅等極端情況，CICC 的超導(dǎo)細(xì)絲大都處于飽和狀態(tài)，則需考慮飽和系數(shù)。因此，耦合損耗功率可采用如下方法。

式中，ρet是銅基體中的有效橫向電阻率；Ls為股線長度。

對(duì)耦合損耗功率在磁場變化時(shí)間范圍內(nèi)積分，就可以獲得耦合損耗

由耦合損耗和磁滯損耗可獲得CICC 在給定運(yùn)行條件下的交流損耗。經(jīng)模擬程序計(jì)算可以獲得數(shù)值仿真設(shè)計(jì)中 CICC 導(dǎo)體耦合損耗時(shí)間常數(shù)θ 為41.25ms，交流損耗Ec為78.27mJ/cm3（具體比較見表）。

5 結(jié)果比較與分析

為了對(duì)比數(shù)值模擬設(shè)計(jì)結(jié)果，在中科院等離子體所獲得了目前國際上正在進(jìn)展中聚變裝置磁體上CICC 導(dǎo)體的最新數(shù)據(jù)，特別是根據(jù)印度SST—1 的CICC 結(jié)構(gòu)制作了導(dǎo)體模型，進(jìn)行了CICC 導(dǎo)體試驗(yàn)和數(shù)據(jù)驗(yàn)證。最后從數(shù)據(jù)庫中調(diào)出相應(yīng)運(yùn)行條件下的模擬設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，將其與印度SST—1 的工程設(shè)計(jì)值比較見下表。

表 數(shù)值仿真設(shè)計(jì)結(jié)果與工程設(shè)計(jì)值比較 Tab. Comparison between simulation results with that of and engineering design

由上表可知，數(shù)值仿真給出的CICC 結(jié)構(gòu)與工程設(shè)計(jì)結(jié)果吻合得很好。但在設(shè)計(jì)參數(shù)上存在一定的差異：如在數(shù)值仿真中，由于絞纜系數(shù)不同導(dǎo)致ACu的不同；Ic的不同主要因?yàn)镮c計(jì)算方法不同所致（數(shù)值仿真采用Ic=AscJc；工程上是由經(jīng)驗(yàn)給定某一運(yùn)行條件下單股超導(dǎo)線的臨界電流計(jì)算而來）；穩(wěn)定性裕度ΔE 不同主要是因?yàn)锳Cu不同；交流損耗的差異主要由耦合損耗時(shí)間常數(shù)所致。

針對(duì)這種問題，在本程序中根據(jù)導(dǎo)體一級(jí)子纜結(jié)構(gòu)、股線直徑以及電纜層（級(jí)）數(shù)，擬采用合適的濕邊周長系數(shù)等來彌補(bǔ)計(jì)算誤差。同時(shí)，根據(jù)一級(jí)子纜結(jié)構(gòu)，并結(jié)合參考文獻(xiàn)[10]的有關(guān)結(jié)果，來選取相應(yīng)的液氦熱傳遞系數(shù)加以修正。

由對(duì)比分析還可得出：在給定的運(yùn)行條件下，由程序得到的 CICC 結(jié)構(gòu)，經(jīng)模擬計(jì)算獲得損耗Ec=78.27mJ/cm3，小于工程設(shè)計(jì)值85.12mJ/cm3，說明模擬獲得的導(dǎo)體其擾動(dòng)小于工程設(shè)計(jì)結(jié)果；數(shù)值仿真程序所得到的導(dǎo)體穩(wěn)定性裕度ΔE=115.1mJ/cm3，它大于工程設(shè)計(jì)值100.3mJ/cm3，說明數(shù)值模擬得到導(dǎo)體相對(duì)更穩(wěn)定；同時(shí)數(shù)值仿真設(shè)計(jì)中交流損耗小于工程設(shè)計(jì)和仿真獲得的穩(wěn)定性裕度值，這說明模擬設(shè)計(jì)的CICC 導(dǎo)體是可以在該條件下較好地穩(wěn)定運(yùn)行，因而數(shù)值仿真的結(jié)果是基本合理和可靠的。

6 結(jié)論

本文提出 CICC 結(jié)構(gòu)數(shù)值仿真設(shè)計(jì)的基本思路，并給出一級(jí)子纜采用3 根股線、CICC 運(yùn)行于過渡區(qū)間以及純銅線起不同作用的假定條件，推導(dǎo)和構(gòu)建了數(shù)值仿真設(shè)計(jì)的算法模型；并對(duì)導(dǎo)體的交流損耗進(jìn)行了理論研究和模擬計(jì)算。為工程上快速準(zhǔn)確設(shè)計(jì)導(dǎo)體開辟了新的思路和方法。

通過仿真得出CICC 結(jié)構(gòu)，并對(duì)數(shù)值仿真設(shè)計(jì)結(jié)果與工程設(shè)計(jì)值進(jìn)行了比較，由導(dǎo)體的損耗值不大于穩(wěn)定性裕度可知CICC 是可穩(wěn)定運(yùn)行在給定工況下；另外還分析了模擬設(shè)計(jì)與工程值產(chǎn)生差異的原因，提出了改進(jìn)方法。這為磁體系統(tǒng)中CICC 的設(shè)計(jì)提供了參考。

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