非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道的分岔與混沌分析

唐 冶，方 勃，張業(yè)偉，李慶芬

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

輸液管道的振動(dòng)問(wèn)題不僅有較高的理論研究基礎(chǔ)，而且還有廣闊的工程應(yīng)用背景。輸液管道的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為作為振動(dòng)的前沿問(wèn)題，很多學(xué)者對(duì)此作了較為深入的研究，他們根據(jù)輸液管道系統(tǒng)存在的大量非線(xiàn)性現(xiàn)象，采用不同分析方法，得到了很多此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。Holmes［1］利用Lyapunov直接法研究了兩端固支的輸液管道在自激作用下全局動(dòng)態(tài)行為，研究結(jié)果表明其運(yùn)動(dòng)軌線(xiàn)不存在極限環(huán)，即該類(lèi)管道的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)不會(huì)發(fā)生顫振。Paidoussis等［2，3］人研究了帶非線(xiàn)性彈簧運(yùn)動(dòng)約束懸臂輸液管道的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為，他們得到了輸液管道系統(tǒng)通過(guò)倍周期分岔轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)的規(guī)律。Tang和Dowell［4］通過(guò)對(duì)輸液管道施加強(qiáng)非線(xiàn)性力來(lái)研究其混沌特性，得到了使系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的力臨界值與流速密切相關(guān)。金基鐸［5］用理論分析的方法詳細(xì)研究了受約束懸臂輸液管道系統(tǒng)可能發(fā)生的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)分岔現(xiàn)象，在動(dòng)態(tài)失穩(wěn)區(qū)域內(nèi)存在管道的概周期運(yùn)動(dòng)和由于概周期運(yùn)動(dòng)環(huán)面破裂而導(dǎo)致混沌的現(xiàn)象。倪樵［6］運(yùn)用微分求積法研究了在諧激勵(lì)作用下輸流曲管的混沌振動(dòng)，結(jié)果表明在不同流速和激勵(lì)頻率的參數(shù)區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)將可能發(fā)生包括混沌振動(dòng)在內(nèi)的多種運(yùn)動(dòng)形式。包日東［7］采用非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)分析方法，研究?jī)啥艘话阒С休斄鞴艿老到y(tǒng)在自激、參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性。

本文研究了左端具有非線(xiàn)性彈簧支承和中間懸臂的輸液管道系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為。在文獻(xiàn)［8］基礎(chǔ)上，建立了非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道的運(yùn)動(dòng)微分方程，以在線(xiàn)性彈簧支承條件下懸臂梁的固有頻率和振型函數(shù)作為近似，利用李茲-伽遼金方法對(duì)此方程在模態(tài)空間內(nèi)展開(kāi)，得到關(guān)于時(shí)間的二階常微分方程組，引入狀態(tài)變量將其改寫(xiě)成一階狀態(tài)方程組。再應(yīng)用分岔圖、相圖和功率譜圖研究非線(xiàn)性振動(dòng)的數(shù)值仿真方法，研究該類(lèi)管道系統(tǒng)在自激勵(lì)、參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題，重點(diǎn)揭示系統(tǒng)在流體的平均流速和流體與管道質(zhì)量比變化時(shí)可能出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)以及對(duì)應(yīng)的參數(shù)條件，為今后分析和研究非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和振動(dòng)控制提供理論依據(jù)。

1 輸液管道系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1 非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道的理論模型Fig.1 The theoretical model of cantilever pipeline conveying fluid with nonlinear spring support

如圖1所示長(zhǎng)度為l的非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道，左端是非線(xiàn)性彈簧支承，中間是固定支承，流體從左端流入右端流出，考慮Kelvin-Voigt粘彈性管材、管內(nèi)流體壓力效應(yīng)和管截面的軸向作用，由達(dá)朗伯原理和牛頓力學(xué)原理，此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程［9，10］:

式中，y為管道軸線(xiàn)偏離平衡位置的位移，x為管道橫截面處的位置，EI為管道的抗彎剛度，a為管材粘彈性系數(shù)，M為單位長(zhǎng)度流體的質(zhì)量，m為單位長(zhǎng)度管道的質(zhì)量，U為管道內(nèi)流體的流速，P為流體的壓強(qiáng)，t為時(shí)間，l為管道長(zhǎng)度，A為管道的橫截面積，g為重力加速度。

輸液管道左端所受非線(xiàn)性彈簧支承約束對(duì)管道的反作用力可表示:

式中δ()表示Dirac delta函數(shù)，K1與K2分別是彈簧的線(xiàn)性和非線(xiàn)性的剛度系數(shù)。

在工程實(shí)際中，與輸液管道系統(tǒng)相連接的支承基礎(chǔ)在某種外力的作用必然會(huì)引起自身的振動(dòng)，這種振動(dòng)必定會(huì)作用于管道系統(tǒng)。所以對(duì)管道系統(tǒng)施加一個(gè)運(yùn)動(dòng)方向垂直于管道軸線(xiàn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng):

式中，D為激勵(lì)振幅，w為激勵(lì)頻率。

考慮式(2)和式(3)，得到修正后的非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程:

引入下列無(wú)量綱參數(shù):

將上面各式代入方程(4)中，得到無(wú)量綱化的非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程:

設(shè)無(wú)量綱化的脈動(dòng)流速表達(dá)形式:

式中，u為流體平均流速，μ為流速脈動(dòng)幅值，κ為流速脈動(dòng)頻率。

設(shè)無(wú)量綱化的脈動(dòng)壓強(qiáng)表達(dá)形式:

式中，p為流體平均壓強(qiáng)，ρ為壓強(qiáng)脈動(dòng)幅值，?為壓強(qiáng)脈動(dòng)頻率。

將式(6)和式(7)代入式(5)，可得到無(wú)量綱化的非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道系統(tǒng)在脈動(dòng)流速、脈動(dòng)壓強(qiáng)和基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(自激勵(lì)、參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì))聯(lián)合激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)微分方程:

2 梁系統(tǒng)的頻率方程和振型函數(shù)

本文是以在線(xiàn)性彈簧支承條件下懸臂梁的固有頻率和振型函數(shù)作為輸液管道系統(tǒng)的近似固有頻率和振型函數(shù)，因此如圖2所示設(shè)xj(j=1，2)表示梁橫截面位置坐標(biāo)，其中0＜x1＜xb，0 ＜x2＜l-xb，Xj(xj)(j=1，2)表示相應(yīng)位置坐標(biāo)處梁橫向變形位移。線(xiàn)性彈簧支承懸臂梁系統(tǒng)的振型函數(shù)［8］:

圖2 線(xiàn)性彈簧支承懸臂梁的理論模型Fig.2 The theoretical model of cantilever beam with linear spring support

式中，β 為系統(tǒng)的特征值，aj，bj，cj，dj(j=1，2)為積分常數(shù)。

線(xiàn)性彈簧支承懸臂梁系統(tǒng)的邊界條件［8］:

將邊界條件分別代入式(9)中，有方程組:

由積分常數(shù)aj，bj，cj，dj(j=1，2)有非零解，經(jīng)無(wú)量綱處理得線(xiàn)性彈簧支承懸臂梁系統(tǒng)的頻率方程［8］:

方程(11)是關(guān)于未知量β的超越方程，用數(shù)值方法如兩分法可得到系統(tǒng)的各階特征值βi。將式(10)代入式(9)中，經(jīng)過(guò)整理和化簡(jiǎn)后，可得到線(xiàn)性彈簧支承懸臂梁系統(tǒng)振型函數(shù)的具體表達(dá)式:

其中:

3 輸液管道系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的離散化

為便于求解輸液管道系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，利用李茲-伽遼金方法將無(wú)量綱化的高階偏微分方程式(8)進(jìn)行離散化處理并降階為低次的常微分方程組。為此，采用Galerkin二階展開(kāi)式:

將式(13)、(14)代入式(8)中，得:

重力只影響振動(dòng)的平衡位置，對(duì)振動(dòng)的其他特性無(wú)影響［9］，令 Γ =Π =0，將式(15)兩端左乘 Φ =[ φ1φ2]T，然后在區(qū)間［0，1］上進(jìn)行積分，利用振型函數(shù)的正交性［8］和三角函數(shù)的正交性以及δ函數(shù)的性質(zhì)，經(jīng)過(guò)復(fù)雜的計(jì)算整理得:

式中:

其中:

通過(guò)引入狀態(tài)變量將式(16)改寫(xiě)成一階狀態(tài)方程組形式。

令:Z=［x1，x2，x3，x4］T=［q1，q2，q3，q4］T，則式(16)可進(jìn)一步化為:

其中:

4 數(shù)值仿真

在仿真分析中，系統(tǒng)參數(shù)為:

對(duì)方程組(17)采用四階Runge-Kutta法進(jìn)行迭代計(jì)算，初始條件取Z1(0)=Z2(0)=-0.001，Z3(0)=Z4(0)=0。

本文分析輸液管道系統(tǒng)在流體平均流速參數(shù)區(qū)域內(nèi)的分岔過(guò)程。在繪制分岔圖過(guò)程中使用的觸發(fā)條件是輸液管道在中點(diǎn)ξ=0.5位置處的速度趨于零，即:

滿(mǎn)足式(18)時(shí)在分岔圖中記錄下此參數(shù)激勵(lì)時(shí)管道中點(diǎn)ξ=0.5位置處位移的近似值:

4.1 流體平均流速的影響

以流體平均流速u(mài)為控制參數(shù)(Mr=0.8)，繪制分岔圖(如圖3所示)。從分岔圖中可以大體上看到非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的分岔路徑。但是還不能顯示某些具體的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。因此本文作相圖(如圖4所示)和功率譜圖(如圖5所示)來(lái)分析系統(tǒng)的的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。圖4與圖5中的(a)，(b)，(c)，(d)，(e)，(f)分別對(duì)應(yīng)于控制參數(shù)u=5.45，u=5.81，u=6.06，u=6.55，u=7.04，u=7.11。

圖3 流體平均流速參數(shù)區(qū)域的分岔圖(Mr=0.8)Fig.3 The bifurcation diagram for parameters with average velocity of fluid(Mr=0.8)

本文利用功率譜曲線(xiàn)圖來(lái)鑒別混沌和周期運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，功率譜曲線(xiàn)僅有一些狹窄的譜尖點(diǎn);當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為混沌時(shí)，功率譜曲線(xiàn)表現(xiàn)為明顯的寬頻性質(zhì)，并且出現(xiàn)了噪聲背景。因此從圖5的功率譜曲線(xiàn)圖以及圖3的分岔圖和圖4的相圖可以看出，非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道系統(tǒng)對(duì)于流體平均流速的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，當(dāng)流體平均流速較小時(shí)，輸液管道系統(tǒng)的響應(yīng)首先表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)。隨著流體平均流速的增大，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)系列倍周期分岔，使系統(tǒng)的響應(yīng)通向混沌運(yùn)動(dòng)，隨著流體平均流速的進(jìn)一步增大，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)系列倍周期倒分岔轉(zhuǎn)化為周期運(yùn)動(dòng)。

4.2 流體與管道質(zhì)量比對(duì)分岔圖的影響

取流體與管道質(zhì)量比參數(shù)分別為:

以流體平均流速u(mài)為控制參數(shù)，繪制分岔圖(如圖6、圖7、圖8 所示)。

從圖6可以看出，非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道系統(tǒng)開(kāi)始發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的臨界流體平均流速為u=7.34;從圖7可以看出，輸液管道系統(tǒng)開(kāi)始發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的臨界流體平均流速為u=6.61;從圖3可以看出，輸液管道系統(tǒng)開(kāi)始發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的臨界流體平均流速為u=6.08;從圖8可以看出，輸液管道系統(tǒng)開(kāi)始發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的臨界流體平均流速為u=5.79。因此可以得到隨著流體與管道質(zhì)量比的增大，非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道系統(tǒng)開(kāi)始出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的臨界流體平均流速值減小。

5 結(jié)論

對(duì)非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道系統(tǒng)在自激勵(lì)、參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)聯(lián)合作用下的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究，得到了流體平均流速和流體與管道質(zhì)量比變化對(duì)輸液管道系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)影響。當(dāng)流體的平均流速較小時(shí)，輸液管道系統(tǒng)的響應(yīng)首先表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)，隨著流體平均流速的增大，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)系列倍周期分岔，使系統(tǒng)的響應(yīng)通向混沌運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過(guò)系列倍周期倒分岔轉(zhuǎn)化為周期運(yùn)動(dòng)。另外，隨著流體與管道質(zhì)量比的增大，輸液管道系統(tǒng)開(kāi)始出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的臨界流體平均流速值減小，所以通過(guò)改變質(zhì)量比參數(shù)可以控制輸液管道系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)。為今后分析和研究非線(xiàn)性彈簧支承懸臂輸液管道系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和振動(dòng)控制提供理論依據(jù)。

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