自適應(yīng)濾波器的新型變步長(zhǎng)算法及其應(yīng)用

王新

(河南理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南焦作 454003)

自適應(yīng)濾波器的新型變步長(zhǎng)算法及其應(yīng)用

王新

(河南理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南焦作 454003)

針對(duì)變步長(zhǎng)算法的選取對(duì)自適應(yīng)濾波器的性能有重大的影響，而常見(jiàn)變步長(zhǎng)算法的步長(zhǎng)與誤差或輸入信號(hào)有關(guān)，在自適應(yīng)調(diào)節(jié)過(guò)程中步長(zhǎng)存在較大的波動(dòng)，影響自適應(yīng)濾波器的濾波效果等問(wèn)題，通過(guò)分析和比較常見(jiàn)的變步長(zhǎng)算法，提出一種新型變步長(zhǎng)算法。該算法先將誤差信號(hào)取絕對(duì)值，然后再求其均值，以該均值決定步長(zhǎng)的變化，克服步長(zhǎng)波動(dòng)的不足。采用新型變步長(zhǎng)算法的自適應(yīng)濾波器，不僅具有較快的收斂速度，而且可以獲取較小的均方誤差。最后，將基于新型變步長(zhǎng)算法的自適應(yīng)濾波器應(yīng)用于籠型異步電動(dòng)機(jī)的斷條故障診斷中。實(shí)驗(yàn)證明，新型變步長(zhǎng)算法可以增強(qiáng)斷條故障的特征，有利于信號(hào)特征的提取。

自適應(yīng)濾波器;變步長(zhǎng)算法;轉(zhuǎn)子斷條;故障檢測(cè)

0 引言

自適應(yīng)濾波器以其優(yōu)良的濾波效果，應(yīng)用廣泛。自適應(yīng)濾波器的常用算法是最小均方算法。該算法具有方法簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、易于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理等優(yōu)點(diǎn)。由于均方誤差與自適應(yīng)步長(zhǎng)成正比，然而步長(zhǎng)減小，收斂時(shí)間增大。因此，在最小均方算法的權(quán)系數(shù)遞推中常采用變步長(zhǎng)代替固定步長(zhǎng)，即變步長(zhǎng)最小均方算法。這樣，當(dāng)權(quán)系數(shù)遠(yuǎn)離于最佳權(quán)系數(shù)，使用較大的步長(zhǎng)，加速收斂速度;當(dāng)權(quán)系數(shù)接近于最佳權(quán)系數(shù)時(shí)，使用較小的步長(zhǎng)，獲取較小的均方誤差。在變步長(zhǎng)最小均方算法中，變步長(zhǎng)算法的選取十分關(guān)鍵，它對(duì)自適應(yīng)濾波器的濾波效果有重大的影響［1］。目前，文獻(xiàn)［2－3］提出的變步長(zhǎng)算法應(yīng)用較廣泛。在自適應(yīng)濾波器中，參考輸入信號(hào)x(k)是幅值固定的余弦信號(hào)，誤差ε(k)在自適應(yīng)調(diào)節(jié)過(guò)程中是衰減振蕩的，而當(dāng)自適應(yīng)調(diào)節(jié)過(guò)程趨于穩(wěn)定時(shí)，ε(k)近似為幅值固定的交變信號(hào)。如果實(shí)際輸入信號(hào)d(k)只含2個(gè)頻率分量，那么自適應(yīng)調(diào)節(jié)過(guò)程趨于穩(wěn)定時(shí)，ε(k)近似為正弦信號(hào)。由于文獻(xiàn)［2－3］中步長(zhǎng)變化算法的步長(zhǎng)μ(k)與ε(k)或x(k)有關(guān)。所以，在自適應(yīng)調(diào)節(jié)過(guò)程中，盡管步長(zhǎng)μ(k)是衰減的，但是它存在較大的波動(dòng)，這對(duì)自適應(yīng)濾波器的濾波效果有較大的影響。

為此，本文針對(duì)自適應(yīng)調(diào)節(jié)過(guò)程中ε(k)和x(k)的變化規(guī)律，提出了一種新型變步長(zhǎng)算法，它可以克服上述方法步長(zhǎng)μ(k)上下波動(dòng)的不足，不僅具有較快的收斂速度，而且當(dāng)權(quán)系數(shù)接近最佳權(quán)系數(shù)時(shí)，具有較小的步長(zhǎng)，獲取較小的均方誤差。最后，本文將新型變步長(zhǎng)算法應(yīng)用于籠型異步電動(dòng)機(jī)的斷條故障診斷中，驗(yàn)證了新型變步長(zhǎng)算法良好的效果。

1 自適應(yīng)濾波器的工作原理

自適應(yīng)濾波器的工作原理如圖1所示。圖中，d(t)為原始輸入信號(hào)，x(t)為參考輸入信號(hào)，其中x(t)=Ccos(ω0t)，式中C為參考信號(hào)的幅值，ω0為待陷波的干擾正弦波的頻率。d(k)、x1(k)、x2(k)分別為d(t)、x1(t)、x2(t)在kT時(shí)刻(T為采樣周期)的采樣值，w1(k)、w2(k)為權(quán)值采樣值，ε(k)=d(k)－y(k)，其中y(k)為濾波器輸出。

圖1 自適應(yīng)濾波器的原理Fig.1 The principle chart of the adaptive filter

由圖1可知，誤差為

權(quán)的修正過(guò)程為

對(duì)于上述自適應(yīng)濾波器，可以求得其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

對(duì)于慢自適應(yīng)過(guò)程而言，式(4)中μC2很小，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為

由于通常μC2很小，所以極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

上述自適應(yīng)濾波器的帶寬為

可見(jiàn)，自適應(yīng)濾波器的帶寬BW與步長(zhǎng)μ成正比。因此，步長(zhǎng)μ越小，越有利于克服頻率為ω0信號(hào)的影響［1，4－5］。

為了兼顧自適應(yīng)濾波器的收斂速度和濾波效果，自適應(yīng)濾波器通常采用變步長(zhǎng)取代固定步長(zhǎng)。此時(shí)，權(quán)的修正過(guò)程為

2 常見(jiàn)的變步長(zhǎng)算法

本文稱(chēng)之為變步長(zhǎng)算法1。

文獻(xiàn)［3］提出的步長(zhǎng)變化算法為

本文稱(chēng)之為變步長(zhǎng)算法2。式(11)和(12)中，α、β、m均為待定的正數(shù)。實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)取α=50，β=0.3，m=1時(shí)，可以取得較好的效果?？梢钥闯觯儾介L(zhǎng)算法1、2中，μ(k)與ε(k)或x(k)成一種非線性關(guān)系，這將增加算法的復(fù)雜度，不利于實(shí)時(shí)運(yùn)算。

為了便于比較不同算法的濾波效果，模擬籠型異步電動(dòng)機(jī)的斷條故障信號(hào)的特點(diǎn)構(gòu)造信號(hào)為

式中:ω0=100π rad/s;ω1=96π rad/s;A 為斷條故障特征分量的幅值，通常情況下A=0～0.05，這里取A=0.02。同時(shí)，為了分析方便取C=1。文獻(xiàn)［2］提出的步長(zhǎng)變化算法為

3 新型的變步長(zhǎng)算法

針對(duì)自適應(yīng)調(diào)節(jié)過(guò)程ε(k)或x(k)是交變的特點(diǎn)，提出了一種新型的變步長(zhǎng)算法，其表達(dá)式為

本文稱(chēng)之為變步長(zhǎng)算法3。式中:kP1、kP2均為待定的正數(shù);M為正整數(shù)。因此，kP1、kP2的選取應(yīng)滿足以下要求:根據(jù)初始誤差|ε(k)|值的大小來(lái)選擇kP1、kP2值，使得初始誤差|ε(k)|在滿足算法收斂的條件下所對(duì)應(yīng)的μ(k)值盡可能大些，起到加快收斂的作用。這里，根據(jù)信號(hào)d(k)的特點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)效果，取kP1=0.15，kP2=0.1，M=10。變步長(zhǎng)算法 1、2、3 對(duì)應(yīng)的步長(zhǎng)變化情況分別如圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)所示。可以看出，當(dāng)采用變步長(zhǎng)算法1、2時(shí)步長(zhǎng)μ(k)有較大的波動(dòng)，而當(dāng)采用變步長(zhǎng)算法3時(shí)步長(zhǎng)μ(k)基本上沒(méi)有波動(dòng)，這對(duì)縮短自適應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間是有利的。

圖2 步長(zhǎng)變化過(guò)程Fig.2 The change process of the step size

針對(duì)式(10)所示信號(hào)，采用3種變步長(zhǎng)算法處理后，再進(jìn)行FFT分析的結(jié)果如圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)所示。其具體數(shù)值如表1所示。表中，ri為分量ω1與分量ω0的幅值譜密度值之比，這里i=1，2，r1、r2分別為采用自適應(yīng)濾波器處理前、后的比值。自適應(yīng)陷波之前，3種變步長(zhǎng)算法所用信號(hào)相同，所以r1的值相同。經(jīng)分析r1=0.066。

圖3 濾波后FFT分析結(jié)果Fig.3 The analysis results of FFT after filtering

表1 3種變步長(zhǎng)算法的效果Table 1 Effects of three variable step size algorithms

可以看出，變步長(zhǎng)算法3的r2值最大，所以采用變步長(zhǎng)算法3時(shí)對(duì)分量ω0的陷波效果比采用變步長(zhǎng)算法1和2時(shí)的陷波效果要好許多。

4 新型變步長(zhǎng)算法的應(yīng)用

4.1 電動(dòng)機(jī)斷條故障診斷的原理

轉(zhuǎn)子斷條是籠型異步電動(dòng)機(jī)常見(jiàn)的故障之一。正常時(shí)電動(dòng)機(jī)定子電流僅含有電源頻率f0=50Hz。但是，當(dāng)轉(zhuǎn)子出現(xiàn)斷條故障時(shí)，定子電流中還會(huì)出現(xiàn)一個(gè)頻率為f1=(1－2s)f0的故障特征分量，其中轉(zhuǎn)差率為同步轉(zhuǎn)速，n為電機(jī)轉(zhuǎn)速。當(dāng)轉(zhuǎn)速n接近n0時(shí)，轉(zhuǎn)差率s非常小，接近0，這時(shí)f1與f0十分接近。由于分量f1相對(duì)于基頻f0非常小，所以若直接進(jìn)行頻譜分析，則分量f1會(huì)被基頻f0所淹沒(méi)，無(wú)法得到分量f1。目前，常用的方法是先采用自適應(yīng)濾波器對(duì)定子電流進(jìn)行處理，盡可能地減少分量f0，然后再通過(guò)頻譜分析，判斷定子電流中是否存在分量 f1，最后進(jìn)行斷條故障診斷［6－10］。這樣，可以提高斷條故障診斷的準(zhǔn)確率。

4.2 電動(dòng)機(jī)斷條故障診斷的實(shí)例

實(shí)驗(yàn)中采用的籠型異步電動(dòng)機(jī)的型號(hào)為T(mén)YPE100 －4，額定轉(zhuǎn)速 n1=1 430 r·min－1，極對(duì)數(shù)p=2，電源頻率 f0=50Hz，采樣頻率 fs=500Hz，采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為N=1 024。典型工作狀態(tài)如表2所示，r3為實(shí)際信號(hào)的電動(dòng)機(jī)斷條特征分量f1的幅值譜密度值d1與基頻f0的幅值譜密度值d0之比?？梢钥闯?，在工作狀態(tài)1下電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速較高，斷條特征分量f1與基頻f0較接近。在工作狀態(tài)1、2下，針對(duì)采集的實(shí)際定子電流信號(hào)，采用三種變步長(zhǎng)算法進(jìn)行自適應(yīng)濾波器處理后，再進(jìn)行FFT分析的結(jié)果分別如圖 4(a)、4(b)、4(c)和圖 5(a)、5(b)、5(c)所示。其具體數(shù)值如表3所示，其中d1、d0仍分別為分量f1、f0的幅值譜密度值，r4為分量f1與分量f0的幅值譜密度值之比。

表2 濾波前的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 2 Test results before filtering

表3 狀態(tài)1下濾波后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 3 Test results after filtering in the state 1

從表3和表4可以看出，在兩種狀態(tài)下新型變步長(zhǎng)算法的r4比變步長(zhǎng)算法1、2的r4大許多。尤其是采用新型變步長(zhǎng)算法時(shí)，分量f1的幅值譜密度值較大，而且在許多情況下，例如工作狀態(tài)2所示，分量f1的幅值譜密度值為最大值，這將有利于斷條故障特征的提取。實(shí)驗(yàn)證明，新型變步長(zhǎng)算法具有較好的處理效果。

表4 狀態(tài)2下濾波后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 4 Test results after filtering in the state 2

圖4 狀態(tài)1下濾波后FFT分析結(jié)果Fig.4 The analysis results of FFT after filtering in the state 1

從表1～表4和圖3～圖5還可以看出，在實(shí)際情況下，工作狀態(tài)1、2下斷條特征分量f1與基頻f0的間隔分別為4.7Hz、14Hz，相對(duì)前面所述的仿真信號(hào)特征分量f1與基頻f0的間隔2Hz要大許多，并且r3也比r1大一些。但是，r4與r2相比卻小許多，其主要原因是仿真信號(hào)只含特征分量f1和基頻f0，是理想信號(hào)，而實(shí)際信號(hào)含有一定的干擾信號(hào)，諧波成分較豐富，這對(duì)自適應(yīng)濾波有一定的影響?？傮w看來(lái)，采用新型變步長(zhǎng)算法提取實(shí)際信號(hào)的斷條特征分量的效果是比較滿意的。這里僅給出了兩種典型狀態(tài)的數(shù)據(jù)，在其他狀態(tài)下也會(huì)得出同樣的結(jié)論。

圖5 狀態(tài)2下濾波后FFT分析結(jié)果Fig.5 The analysis results of FFT after filtering in the state 2

5 結(jié)語(yǔ)

實(shí)驗(yàn)證明，新型變步長(zhǎng)算法充分考慮了自適應(yīng)濾波器調(diào)節(jié)過(guò)程中信號(hào)ε(k)或x(k)的特點(diǎn)，可以克服ε(k)或x(k)交變的影響，縮短自適應(yīng)濾波器的調(diào)節(jié)時(shí)間。同時(shí)，新型變步長(zhǎng)算法為線性算法，算法運(yùn)算簡(jiǎn)單，有利于實(shí)時(shí)計(jì)算，為在線信號(hào)處理提供了方便。新型變步長(zhǎng)算法不僅可以用于電動(dòng)機(jī)斷條故障診斷，而且可以推廣應(yīng)用于其他信號(hào)處理。

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(編輯:劉素菊)

Novel variable step size algorithm of adaptive filter and its application

WANG Xin
(School of Electrical Engineering and Automation，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454003，China)

The variable step size algorithm affects the performance of the adaptive filter heavily.The step size of the usual variable step size algorithms has a certain relation with the error signal and the input signal.In the adaptive regulation process，the step size has a big fluctuation.This property severely affects the filtering effect of the adaptive filter.To solve these problems，a novel variable step size algorithm(NVSSA)was put forward by analyzing and comparing the usual variable step size algorithms.In the NVSSA，the absolute value of error signal was taken，and then its mean was found.The mean decided the change of the step size.The NVSSA can overcome the shortage of the step size fluctuation.The adaptive filter based on the NVSSA has a faster convergence rate and a less mean square error.In the end，the adaptive filter based on the NVSSA was used in the fault diagnosis of the broken rotor bar of the squirrel cage induction motor.Experiments show that the NVSSA can highlight the feature of the broken rotor bar fault and is propitious to the signal feature exaction.

adaptive filter;variable step size algorithm;broken rotor bar;fault detection

TN 911.72

A

1007－449X(2011)04－0023－05

2010－07－22

河南省高?？萍紕?chuàng)新人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(2008HASTIT022);河南省重點(diǎn)科技攻關(guān)項(xiàng)目(072102240006);河南省控制工程重點(diǎn)學(xué)科開(kāi)放實(shí)驗(yàn)室開(kāi)發(fā)基金項(xiàng)目(KG2009－10)。

王 新(1967—)，男，博士，教授，研究方向?yàn)楣收显\斷、信號(hào)處理和電氣傳動(dòng)。