認(rèn)知不確定性的諧波齒輪減速器可靠性分析研究

杜 麗，肖寧聰，黃洪鐘，何俐萍，李海慶

(電子科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院 成都 611731)

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，高可靠及長(zhǎng)壽命航天產(chǎn)品已成為共同需求和發(fā)展趨勢(shì)。目前，在航天器設(shè)計(jì)中，一般均要求其可靠工作時(shí)間為10年、15年甚至20年以上，對(duì)航天器可靠性分析和設(shè)計(jì)提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。

太陽(yáng)翼驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)和天線指向機(jī)構(gòu)是衛(wèi)星的常用機(jī)構(gòu)[1]。由于諧波齒輪減速器具有承載能力高、質(zhì)量輕、回差低(或是接近零回差)、減速比范圍大等特點(diǎn)[2-3]，被廣泛地應(yīng)用于太陽(yáng)翼驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)和天線指向機(jī)構(gòu)中。諧波齒輪減速器的可靠性在一定程度上決定了驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)和指向機(jī)構(gòu)的可靠性。

目前，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)對(duì)諧波齒輪減速器的運(yùn)動(dòng)原理、運(yùn)動(dòng)精度、建模等[2,4]進(jìn)行了廣泛研究。然而，對(duì)諧波齒輪減速器進(jìn)行壽命估計(jì)時(shí)，國(guó)內(nèi)外的相關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)大多將影響諧波齒輪壽命的相關(guān)參數(shù)設(shè)為固定值[5]，這可能會(huì)帶來(lái)極大的誤差。如諧波齒輪減速器的額定輸出力矩通常在某個(gè)值的周圍變動(dòng)，從而允許在某些情況下輸出力矩可以發(fā)生改變。此外，航天器中使用的諧波齒輪減速器運(yùn)行環(huán)境惡劣，且初始數(shù)據(jù)中通常包含著大量的主觀信息。綜上所述，單純的基于概率(隨機(jī))的可靠性分析方法已不能很好地解決這類實(shí)際工程問(wèn)題，需要一種能同時(shí)考慮認(rèn)知不確定性和客觀不確定性的可靠性分析方法。

近10余年來(lái)，有關(guān)學(xué)者研究并考慮認(rèn)知不確定性和客觀不確定性的可靠性分析方法。文獻(xiàn)[6]提出了一種區(qū)間變量及隨機(jī)變量同時(shí)存在時(shí)基于一階可靠性方法(first order reliability method，F(xiàn)ORM)的統(tǒng)一不確定性分析方法。文獻(xiàn)[7]提出了在混合變量下的系統(tǒng)可靠性分析方法，用模糊數(shù)描述系統(tǒng)認(rèn)知不確定性。然而，這些方法在處理方式和求解效率方面尚存在著許多不足。本文以航天器中使用的諧波齒輪減速器為研究對(duì)象，應(yīng)用區(qū)間分析，提出一種同時(shí)處理認(rèn)知不確定性和客觀不確定性的系統(tǒng)可靠性建模方法。為了說(shuō)明該方法的有效性，采用蒙特卡羅洛仿真方法(Monte Carlo simulation, MCS)進(jìn)行驗(yàn)證，并對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析。

1 不確定信息的表示和運(yùn)算

1.1 基于概率的客觀不確定性表示

在實(shí)際工程中，不確定性信息隨處可見(jiàn)。在可靠性分析中，不確定性信息主要分為客觀不確定性和認(rèn)知不確定性兩大類[8]。客觀不確定性是事物固有的、本質(zhì)上的不確定性，可以用概率方法如分布函數(shù)等來(lái)描述，這類不確定性是不能消除的。

1.1.1 貝葉斯估計(jì)

設(shè)隨機(jī)矢量X的概率密度函數(shù)為f(X)，f(X)屬于概率密度函數(shù)空間fΘ，其定義為：

設(shè)某隨機(jī)參數(shù)θ的先驗(yàn)密度為π()θ，隨機(jī)變量X的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x|)θ，則參數(shù)θ的后驗(yàn)密度函數(shù)[9]為：

式中，m(x)為邊緣密度函數(shù)。

由于m(x)不依賴于θ，在計(jì)算θ的后驗(yàn)分布中僅起到一個(gè)正則化因子的作用，如果把m(x)省略，則貝葉斯公式[9]改寫為：

式中，G(X)為系統(tǒng)功能函數(shù)；X為系統(tǒng)隨機(jī)矢量。設(shè)隨機(jī)矢量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f()

式中，∝為不依賴于θ的常數(shù)因子。

1.1.2 一階可靠性方法(FORM)

在可靠性分析中，系統(tǒng)的失效概率定義為：XX，則系統(tǒng)失效概率為：

一般情況下，直接用式(4)進(jìn)行求解是不可行的。用FORM計(jì)算系統(tǒng)的失效概率分為[10]：

式中，Φ(i)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)。

用FORM求解系統(tǒng)的可靠度，主要為搜索極限狀態(tài)方程的MPP點(diǎn)。而MPP點(diǎn)搜索是一個(gè)循環(huán)迭代的優(yōu)化過(guò)程，需要大量的計(jì)算時(shí)間。在某些時(shí)候，極限狀態(tài)方程可靠性設(shè)計(jì)點(diǎn)不只一個(gè)，或是根本搜索不到該方程的設(shè)計(jì)點(diǎn)。另外，如果功能函數(shù)的非線性高，形式復(fù)雜，求解其導(dǎo)數(shù)是非常繁瑣的。而基于樣本的仿真法，對(duì)極限狀態(tài)方程沒(méi)有特別要求，也不要求功能函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，更不需要搜索極限狀態(tài)方程的MPP點(diǎn)，因此，在求解算法上具有一定的便利性和很好的魯棒性。由于對(duì)系統(tǒng)失效貢獻(xiàn)最大的樣本點(diǎn)為MPP點(diǎn)和在極限狀態(tài)方程邊界周圍的點(diǎn)[12]，故在選擇樣本點(diǎn)時(shí)，僅考慮在極限狀態(tài)方程周圍的點(diǎn)就可以使以下方程成立，有：

1.2 基于區(qū)間的認(rèn)知不確定性表示

認(rèn)知不確定性也稱為主觀不確定性，處理認(rèn)知不確定性常用的分析方法主要有貝葉斯方法、可能性理論、證據(jù)理論、區(qū)間方法和不精確概率等。由于區(qū)間方法的直觀性和方便性，本文擬采用區(qū)間來(lái)表示認(rèn)知不確定性。

一個(gè)有界的區(qū)間可以表示為：

常用的區(qū)間運(yùn)算通常包括并運(yùn)算、平均運(yùn)算、權(quán)值混合運(yùn)算3種。

2 概率-非概率可靠性混合模型

2.1 基于區(qū)間分析的可靠性模型

2.2 概率-非概率可靠性混合模型

3 航天器用諧波齒輪減速器可靠性分析

3.1 諧波齒輪減速器的組成及傳動(dòng)原理

諧波齒輪減速器由波發(fā)生器(wave generator)、柔輪(flexspline)和剛輪(circular spline)等3個(gè)基本構(gòu)件組成[3]，如圖2所示。

諧波齒輪減速器利用柔性元件的彈性變形轉(zhuǎn)換傳遞運(yùn)動(dòng)和力矩。柔輪在凸輪的作用下產(chǎn)生變形，從而使波發(fā)生器長(zhǎng)軸兩端的柔輪輪齒與剛輪輪齒完全嚙合，而短軸處輪齒完全脫開。在波發(fā)生器短軸和長(zhǎng)軸之間，有的輪齒逐漸進(jìn)入嚙合狀態(tài)，成為嚙入；有的逐漸進(jìn)入脫開狀態(tài)，成為嚙出。由于波發(fā)生器連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，使嚙入、嚙合、嚙出、脫開4種情況依次變化，從而實(shí)現(xiàn)減速器連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)[3]。

圖2 諧波齒輪減速器組成示意圖

3.2 諧波齒輪減速器可靠性建模

通常情況下，諧波齒輪減速器的壽命主要由柔輪決定，諧波齒輪減速器的壽命估計(jì)為[5]：

式中，Lh為預(yù)計(jì)壽命；TH為額定輸出轉(zhuǎn)矩；NV為實(shí)際輸入轉(zhuǎn)速；T為輸出軸名義轉(zhuǎn)矩；KA為工況系數(shù)。

根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，諧波齒輪減速器的功能函數(shù)為：

當(dāng)G>0時(shí)，系統(tǒng)可靠；當(dāng)G<0時(shí)，系統(tǒng)失效。系統(tǒng)的極限狀態(tài)方程為G=0。

3.3 混合模型的可靠性分析

4 可靠性靈敏度分析

可靠性靈敏度定義為失效概率對(duì)均值和方差的偏導(dǎo)數(shù)，它反映了隨機(jī)變量的均值和方差對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響程度[13]。當(dāng)隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布時(shí)，變量Xi的可靠性靈敏度[10]為：

靈敏度分析結(jié)果能夠?yàn)榭煽啃栽O(shè)計(jì)提供指導(dǎo)，使設(shè)計(jì)人員明確某個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)失效概率的影響最大。當(dāng)靈敏度為正數(shù)時(shí)，參數(shù)變大將導(dǎo)致系統(tǒng)失效概率變大，為負(fù)數(shù)時(shí)，則參數(shù)變大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失效概率變小，所以在設(shè)計(jì)時(shí)要嚴(yán)格控制靈敏度為正的大參數(shù)的變化范圍。

5 算例仿真

表1 諧波齒輪減速器的參數(shù)分布

表2 諧波齒輪減速器參數(shù)估計(jì)及其運(yùn)算結(jié)果

表3 諧波齒輪減速器失效概率上下界隨時(shí)間變化關(guān)系

由表3可知，當(dāng)設(shè)計(jì)壽命為15年時(shí)，采用壽命估算式(17)中各參數(shù)為固定值對(duì)諧波齒輪減速器進(jìn)行可靠性分析，得出系統(tǒng)可靠的結(jié)論；然而在同時(shí)考慮認(rèn)知不確定性和客觀不確定性時(shí)，得出系統(tǒng)的最大失效概率為0.436，最小失效概率為0.079。

為了估計(jì)本文方法的計(jì)算精度和驗(yàn)證該方法的正確性，本文采用大樣本蒙特卡羅仿真方法對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，其樣本量為106。通過(guò)仿真，得到計(jì)算結(jié)果的最小誤差為0.001，最大誤差為0.014，其系統(tǒng)失效概率上下界與可靠度上下界及其蒙特卡羅仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。圖中，本文提出的方法(proposed method)記為PM，蒙特卡羅仿真記為MCS。

由圖3和圖4可知，本文所提出的方法與大樣本蒙特卡羅模擬得出的結(jié)果非常接近。然而，蒙特卡羅模擬法一般需要較多的樣本數(shù)據(jù)才能得出較為準(zhǔn)確的結(jié)果，同時(shí)需要花費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間，消耗大量的計(jì)算資源；而本文所提出的方法只需要少量的重要樣本點(diǎn)就可以較精確地得出系統(tǒng)極限狀態(tài)方程的近似線性超平面方程。當(dāng)表2中的區(qū)間變量取并運(yùn)算時(shí)，其計(jì)算和仿真結(jié)果與區(qū)間變量取平均運(yùn)算時(shí)一致，不再贅述。

圖3 用蒙特卡羅和本文方法得出的系統(tǒng)失效概率的對(duì)比圖

圖4 用蒙特卡羅和本文方法得出的系統(tǒng)可靠度的對(duì)比圖

諧波齒輪減速器可靠性靈敏度分析的計(jì)算結(jié)果如表4所示。由表4可知，各參數(shù)的靈敏度計(jì)算結(jié)果隨壽命的變化非常小，而且一旦確定了可靠性模型和參數(shù)分布概率密度函數(shù)，參數(shù)的靈敏度就是一個(gè)不變的值。從分析結(jié)果可知，參數(shù)中實(shí)際輸入轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)的可靠性影響最大。

表4 諧波減速器相關(guān)參數(shù)靈敏度計(jì)算結(jié)果

6 結(jié) 論

本文介紹了不同信息來(lái)源的不確定性的處理辦法，研究了認(rèn)知不確定性和客觀不確定性同時(shí)存在時(shí)的概率-非概率可靠性混合模型，建立了航天器用諧波齒輪減速器的可靠性分析模型，并對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析。由于認(rèn)知不確定性的影響，諧波齒輪減速器隨時(shí)間變化的可靠度和失效概率是一個(gè)區(qū)間而不是一個(gè)精確的值。當(dāng)區(qū)間變量和隨機(jī)變量同時(shí)存在時(shí)，搜索方程MPP點(diǎn)是一個(gè)雙重優(yōu)化迭代過(guò)程，需要大量的計(jì)算資源和時(shí)間，在某些時(shí)候，方程的可靠性設(shè)計(jì)點(diǎn)不只一個(gè)，有時(shí)甚至根本搜索不到MPP點(diǎn)。因此，基于搜索MPP點(diǎn)的可靠性分析方法的效率和魯棒性都不高。由于本文所提出的方法不用搜索極限狀態(tài)方程的MPP點(diǎn)，因此有較高的計(jì)算效率和魯棒性。該方法可以推廣到其他領(lǐng)域的可靠性分析中。

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編 輯 黃 莘