CaO顆粒表面形貌的多重分形研究

馮垚飛，尚建宇

(華北電力大學 能源動力與機械工程學院，河北 保定 071003)

CaO顆粒表面形貌的多重分形研究

馮垚飛，尚建宇

(華北電力大學 能源動力與機械工程學院，河北 保定 071003)

不同的溫度下煅燒石灰石后，利用掃描電鏡得到了各溫度下CaO的SEM圖片，將圖片進行二值化處理后，運用分形理論及統(tǒng)計學的相關公式，做出了各溫度下分形圖像的多重分形譜，從分形角度論述了分形圖像顆粒分布的規(guī)則性及均勻性。結果表明，較高溫度時，CaO形貌呈現(xiàn)出較好的多重分形特征，顆粒分布也有較好的規(guī)則性和均勻性。

石灰石;氧化鈣;煅燒;二值化;多重分形

0 引言

隨著環(huán)保要求的提高和更嚴格排放標準的出臺，大部分燃煤鍋爐都面臨著加強控制二氧化硫排放的問題［1］，石灰石在工程中常被用作脫硫劑脫除煙氣中的二氧化硫，脫硫時，石灰石在高溫狀態(tài)下受熱分解成CaO，CaO與二氧化硫反應生成CaSO4，從而達到脫硫的目的。石灰石煅燒后生成的CaO呈多孔狀，內(nèi)部結構復雜，學者們嘗試建立了許多模型分析CaO的結構性質(zhì)，如晶粒模型、縮核模型［2］等，但都存在一定的誤差。分形幾何是由數(shù)學家Mandelbrot［3］在1975年提出的一門基于自相似原理的新的數(shù)學分支，是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，力求從表征幾何特征的一系列參數(shù)來闡述、揭示非線性動力學機理，大自然中許多圖形和圖像都呈現(xiàn)出分形特性。分形理論在各個學科中均有廣泛的應用。分形維數(shù)是分形幾何中用于描述對象復雜性和規(guī)則性的量度，其值通常為分數(shù)，簡單的分形維數(shù)僅能對研究對象作整體性和平均性的分析，不能全面地反映不同區(qū)域的精確信息，為此人們提出了多重分形的相關理論，通過多重分形理論中的多重分形譜對圖像的各個區(qū)域進行描述和總結，可以得到一系列如密度分布、均勻性等參數(shù)的有關信息［4］。本文利用多重分形理論對石灰石在不同溫度下煅燒產(chǎn)物 (CaO)的SEM圖像進行分析，做出了各圖像的多重分形譜并對譜函數(shù)圖像做出了解釋。

1 石灰石煅燒實驗

實驗前，利用壓汞儀測得石灰石樣品的平均粒徑 為 31.4 μm［5］， 在 溫 度 分 別 為 850 ℃ ，900℃，950℃時，采用WCT－2型差熱天平進行煅燒實驗，保護氣為氮氣，煅燒后產(chǎn)物采用KYKY－2800型掃描電鏡進行分析后得到不同溫度下石灰石煅燒產(chǎn)物的SEM圖像如圖1所示。

圖1 石灰石在不同煅燒溫度下的SEM圖Fig．1 SEM photos of limestone at different calcinations temperatures

2 多重分形譜的計算

2.1 多重分形理論

在大多數(shù)自然現(xiàn)象中，系統(tǒng)動力學行為取決于其中某些測度分布的性質(zhì)，測度分布可以是研究對象在一個幾何支撐集上的概率，質(zhì)量或其物理量的分布，該支撐集可以是歐氏空間集，也可以是分形集。多重分形理論正是在研究分形集上的測度分布問題而發(fā)展起來的，因此多重分形也被稱為分形測度［6］。多重分形一般具有自相似性，即某種結構或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或結構的局域性質(zhì)或局域結構與整體類似。當研究物理量在某種幾何結構上分布時，通常先將該幾何結構分為若干區(qū)域，當這些區(qū)域足夠小時，物理量在該區(qū)域的分布可看成是均勻的，假設有一分形集F，在研究該分形集上的測度μ的分布時，類似地，可把分形集F劃分為尺度為δ的若干單元，用μi表示第i個單元中的測度μ的平均值，它與尺度δ之間存在以下標度關系:

式中:標度指數(shù)αi稱為奇異性指數(shù)，反映了分形集內(nèi)各小區(qū)間的奇異程度，對于任意尺度δ，總存在 αmin和 αmax，使得 αi? (αmin，αmax)。若將集內(nèi)具有相同α值的小區(qū)間計為N(α)，則:

式中:f(α)為用α標識的分形子集的維數(shù)，稱為多重分形奇異譜，簡稱多重分形譜，若研究對象是單分形的，f(α)為一定值;若研究對象為多分形的，f(α)為一光滑的單峰函數(shù)。

2.2 用計盒維數(shù)法計算多重分形譜

計算多重分形譜時，首先應得到物理量在分形圖像中的概率測度分布，設想用尺度為δ(δ≤1)大小的方格覆蓋分形圖像，將方格內(nèi)分形圖像的像素計為nij，分形圖像的總像素數(shù)計為∑nij，則相應的概率測度為

對于隨機分形，不能直接得到概率測度分布的解析表達式，需借助統(tǒng)計物理中的配分函數(shù)的概念及勒讓德變換。定義配分函數(shù)為概率測度Pij的q階矩:

式中:q被稱為權重因子，是表征多重分形不均勻程度的變量，不同的q值表示不同大小概率測度在配分函數(shù)中所具有的比重，其取值范圍可以從－∞到∞，當q?1時，χ(δ)反映的是高概率(稠密)區(qū)域的性質(zhì);當q?－1時，χ(δ)反映的是低概率 (稀疏)區(qū)域的性質(zhì)。但q的取值并不是越大越好，q值增大到一定程度時會引起計算機發(fā)生溢出性的錯誤，過小則不能完全反映圖像的多重分形譜。所以在實際計算中，當q的取值超越一定的范圍時，再增大對結果無顯著影響，q的范圍即可截止［7］。

配分函數(shù)通常是以δ為底的冪函數(shù):

兩邊取自然對數(shù)可得:

冪τq被稱為質(zhì)量指數(shù)，由上式可知lnχ(δ)與lnδ呈線性關系，其斜率為－τq，因此只要畫出lnχ(δ)與lnδ的散點圖，利用線性擬合方法就可得到τq，這樣便可得到τq－q映射圖，該圖可判斷分形圖像是否符合多重分形特征及圖形的非線性度。最后利用勒讓德變換公式:

可得f(α)－α圖，該圖即為分形圖像的多重分形譜，合理的分形譜線應和f(α)=α相切。

3 結果與分析

3.1 對 τq－q圖的分析

多重分形譜要求圖片為黑白圖像，因此在計算多重分形譜前需將SEM灰度圖片進行二值化處理。處理后，分別用尺度為 δ=1/2，1/3，1/4，1/8，1/9的格子覆蓋，權重因子q的取值從－8到8，步長為1，根據(jù)計盒維數(shù)法的相關公式計算τq，α及f(α)的值，做出各溫度下 τq－q圖如圖2所示。

圖2 各溫度下分形圖像的τq－q圖Fig．2 τq－q figure of SEM images at different temperatures

對比各溫度下的τq－q圖發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像呈凸性，可以利用非線性度來衡量τq－q圖的凸性，當τq－q圖為一條直線時，所得到的α值是唯一的，測度分布也是均勻的;若τq－q圖為一條折線時，α值不唯一，并且非線性度越接近1，即折線的彎曲度越小，折線越接近直線時，分形圖像的規(guī)則性越好。通過計算可得:850℃時折線的非線性度為γ850=0.977 9;900℃時折線的非線性度為γ900=0.983 3;950℃時折線的非線性度為γ950=0.984 7，即850℃時分形圖像的規(guī)則性最差，950℃時分形圖像的規(guī)則性最好，900℃時分形圖像的規(guī)則性居于二者之間。比較可知，不同溫度時，850℃時分形圖像具有更復雜的不規(guī)則性。

3.2 對f(α) －α圖的分析

各溫度下的f(α) －α圖 (多重分形譜)如圖3所示。

譜寬Δα，最大、最小概率子集維數(shù)的差Δf，對稱性是分析多重分形譜的重要參量，通過對各溫度下的f(α)－α圖分析，可得如下結果:

圖3 各溫度下分形圖像的f(α) －α圖Fig．3 f(α) － α figure of fractal images at different temperatures

(1)分形譜的譜寬Δα=αmax－αmin，是表征概率測度分布非均勻性程度的重要參量，Δα越小，即分形譜越“瘦”，測度分布越均勻，概率位置選擇性 越低 Δα850=2.27，Δα900=2.01，Δα950=1.93，950℃時的Δα最小，說明在較高溫度下煅燒石灰石后的產(chǎn)物分布較為均勻，相應概率的位置選擇性也越低，究其原因可能是溫度較低時，石灰石分解產(chǎn)生的CO2使得產(chǎn)物內(nèi)部生成許多小孔，CO2的逸出使得空隙邊界粗糙度增加，顆粒均勻性較差;而隨著煅燒溫度升高，燒結加劇，大量微孔消失，顆粒分布也呈均勻態(tài)勢。

(2)最大、最小概率子集維數(shù)的差 Δf=f(αmin)－f(αmax)，f(αmin)和 f(αmax)分別為測度取極小值和極大值時所對應的支撐子集的分維數(shù)。Δf＞0時，大概率子集的數(shù)目大于小概率子集的數(shù)目，Δf＜0時，大概率子集的數(shù)目小于小概率子集的數(shù)目。經(jīng)計算，Δf850=0.43，Δf900=0.37，Δf950=0.72，各溫度下 Δf值均大于0，即各溫度下，煅燒產(chǎn)物中大概率子集數(shù)目占優(yōu)，這可理解為大顆粒數(shù)目所占比重較大，由于高溫煅燒CaO時，顆粒內(nèi)部會發(fā)生燒結現(xiàn)象，晶粒逐漸長大，顆粒之間和內(nèi)部孔隙逐漸消失，較小顆粒會發(fā)生團聚現(xiàn)象并逐漸融合成較大顆粒。

(3)對稱性也是描述多重分形譜特征的一個參量，一般情況下，多重分形譜是鉤狀曲線。當多重分形譜呈左鉤狀時，大概率子集的數(shù)目大于小概率子集的數(shù)目;多重分形譜呈右鉤狀時，大概率子集的數(shù)目小于小概率子集的數(shù)目［8］。如圖3所示，各溫度下多重分形譜均呈左鉤狀，即各溫度下，煅燒產(chǎn)物中大概率子集數(shù)目占優(yōu)，也可理解為高濃度樣本點占大多數(shù)，這也從另一個角度驗證了分形圖像中概率子集的密集程度。

4 結論

分析多重分形譜的譜寬，對稱性等參數(shù)可以對石灰石煅燒產(chǎn)物表面形貌的復雜程度及不均勻程度做出相應解釋，本文根據(jù)多重分形原理得出溫度越高，CaO顆粒分布越均勻且各溫度下煅燒后產(chǎn)物顆粒增大的結論。將多重分形原理應用于鈣基脫硫劑的研究尚處于初級階段，可以利用該原理并結合邊緣提取和檢測方法分析鈣基脫硫劑顆?？紫叮砻嫒毕莸南嚓P特性。研究工作將有利于深入研究鈣基脫硫劑的有關性質(zhì)，為多孔介質(zhì)的研究提供了新的視角。

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Multifractal Study for Surface Morphology of CaO Particles

Feng Yaofei，Shang Jianyu
(School of Energy Power and Mechanical Engineering，North China Electric Power University，Baoding 071003，China)

Utilizing the scan electron microscope，SEM images of CaO can be obtained after calcinating limestone at different temperatures．Based on fractal theory and some related statistical formulas，multi-fractal spectrum were calculated when processing binarization to SEM images，in addition，regularity and uniformity of particles distribution were also elaborated from fractal angle．Result shows that the morphology of CaO product turns in better multifractal characteristic in high tempreture，particle distribution also has good regularity and uniformity．

limestone;calciumoxide;calcination;binarization;multifractal

TM621;X703

A

2011－06－25。

馮垚飛 (1987－)，男，碩士研究生，研究方向為清潔煤燃燒，E-mail:fengyaofei2009@163.com。