基于設(shè)計(jì)靈敏度分析的圓柱殼聲輻射優(yōu)化

劉寶山， 趙國(guó)忠， 王 劍

（1.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連 116024；2.中國(guó)石油大學(xué)儲(chǔ)運(yùn)與建筑工程學(xué)院，山東青島 266555；3.大連交通大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，遼寧大連 116028）

0 引 言

圓柱殼體結(jié)構(gòu)振動(dòng)引起的聲輻射問題一直是人們所關(guān)注的.文獻(xiàn)［1］用解析法和數(shù)值法研究了無(wú)界非黏滯性重流體中薄圓柱殼的聲振特性，并且用解析法來驗(yàn)證數(shù)值法（有限元法、邊界元法等）的有效性；文獻(xiàn)［2］推導(dǎo)出了水中有限長(zhǎng)加肋圓柱殼體的振動(dòng)和聲輻射的近似解析解；文獻(xiàn)［3］研究了在內(nèi)壁簡(jiǎn)諧法向線力激勵(lì)下的水中彈性圓柱殼的振動(dòng)和聲輻射問題，這有助于深入分析和認(rèn)識(shí)水中結(jié)構(gòu)的聲輻射機(jī)理，同時(shí)驗(yàn)證了水下結(jié)構(gòu)共振聲輻射理論；文獻(xiàn)［4］利用有限元軟件（ANSYS）和邊界元軟件（SYSNOISE）對(duì)一雙層加肋圓柱殼的水下受激振動(dòng)與聲輻射作了數(shù)值計(jì)算分析研究；文獻(xiàn)［5］研究了不同激勵(lì)力對(duì)流場(chǎng)中敷設(shè)阻尼材料的有限長(zhǎng)加筋雙層圓柱殼的振動(dòng)和聲輻射性能的影響；文獻(xiàn)［6］用有限元法、邊界元法和統(tǒng)計(jì)能量分析法并結(jié)合軟件（ANSYS、SYSNOISE和AUTOSEA）對(duì)圓柱殼體在流場(chǎng)中受激振動(dòng)及聲輻射效率做了數(shù)值計(jì)算分析研究；文獻(xiàn)［7］結(jié)合有限元法和邊界元法分析了深水中復(fù)合材料橢圓柱殼的聲輻射；文獻(xiàn)［8］用能量法預(yù)測(cè)縱向加肋圓柱殼的模態(tài)密度、聲輻射效率；文獻(xiàn)［9］從Flügge薄殼理論和Helmholtz波動(dòng)方程出發(fā)，根據(jù)模態(tài)疊加原理推導(dǎo)了有限長(zhǎng)加筋圓柱殼受機(jī)械力和內(nèi)部聲源簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的“內(nèi)部聲腔－加筋柱殼－外部聲場(chǎng)”耦合方程，比較了點(diǎn)力和點(diǎn)聲源作用時(shí)圓柱殼的聲輻射特性以及傳遞損失；文獻(xiàn)［10］考慮雙層殼間環(huán)形實(shí)肋板之間的耦合作用，以及殼間水層、實(shí)肋板與內(nèi)外殼體的耦合作用，建立了有限長(zhǎng)加肋圓柱殼體的振動(dòng)聲輻射模型.

近十幾年來，如何有效地降低圓柱殼體結(jié)構(gòu)振動(dòng)和聲輻射得到越來越多的關(guān)注.文獻(xiàn)［11］對(duì)外部單極子激勵(lì)下圓柱殼內(nèi)部噪聲最小化進(jìn)行了比較系統(tǒng)的研究；文獻(xiàn)［12］通過向殼體合適的部位添加集中質(zhì)量改變結(jié)構(gòu)的模態(tài)，以達(dá)到降低殼體結(jié)構(gòu)聲輻射功率的目的；文獻(xiàn)［13］通過優(yōu)化鋪層角度，對(duì)復(fù)合材料圓柱殼結(jié)構(gòu)的內(nèi)部聲學(xué)問題進(jìn)行了優(yōu)化研究，經(jīng)過15次迭代，內(nèi)部平均噪聲水平降低了2 d B；文獻(xiàn)［14、15］研究了外部聲源激勵(lì)下夾心圓柱殼聲傳輸和聲輻射優(yōu)化問題.本文提出圓柱殼體結(jié)構(gòu)振動(dòng)聲輻射優(yōu)化模型，尋求優(yōu)化方法降低結(jié)構(gòu)輻射噪聲水平.其中，聲輻射功率作為目標(biāo)函數(shù)，圓柱殼體的厚度作為設(shè)計(jì)變量（分為縱向和環(huán)向兩種情況），殼體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、基頻以及殼體結(jié)構(gòu)內(nèi)部所計(jì)算場(chǎng)點(diǎn)聲壓的平均聲壓作為約束條件.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算

結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的振動(dòng)方程如下式所示：

式中：M、K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；C是結(jié)構(gòu)阻尼矩陣；u是結(jié)構(gòu)位移矢量；p（t）是由外加動(dòng)荷載引入的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，不妨設(shè)p（t）＝phcos（ωt），ω是激勵(lì)的角頻率.該方程利用振型疊加法求解，得

其中s和c是結(jié)構(gòu)模態(tài)的線性組合.

求得結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)，對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可得結(jié)構(gòu)表面法向速度：

其中T為轉(zhuǎn)換矩陣，僅與結(jié)構(gòu)表面形狀有關(guān).

1.2 聲學(xué)邊界元計(jì)算

1.2.1 邊界元法 封閉結(jié)構(gòu)振動(dòng)的聲場(chǎng)計(jì)算問題如圖1所示.基于Helmholtz積分方程的直接

圖1 結(jié)構(gòu)聲輻射示意圖Fig.1 Display of structural acoustic radiation

邊界元方程如下：

式中

其中δΩ是當(dāng)點(diǎn)M在結(jié)構(gòu)表面S上時(shí)的表面角；i2＝－1；ρ是流體介質(zhì)的密度；p（M）代表場(chǎng)點(diǎn)M上的聲壓；p（N）代表結(jié)構(gòu)表面點(diǎn)N上的聲壓；vn代表結(jié)構(gòu)表面點(diǎn)N上的法向速度；Helmholtz方程的基本解，即自由空間格林函數(shù)

其中R＝｜M－N｜，為場(chǎng)點(diǎn)M到結(jié)構(gòu)表面上點(diǎn)N的距離；k＝ω／c，是波數(shù)，c為流體中聲傳播速度.

直接邊界元法中，如果場(chǎng)點(diǎn)位于結(jié)構(gòu)表面上，則形成表面節(jié)點(diǎn)聲壓和表面節(jié)點(diǎn)法向速度的方程：

式中：H和G是與頻率以及結(jié)構(gòu)表面形狀有關(guān)的矩陣，這兩個(gè)矩陣是不對(duì)稱復(fù)數(shù)滿秩矩陣，由格林函數(shù)積分以及格林函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分得到.

其中Z＝HTG，是結(jié)構(gòu)的阻抗矩陣.

在已知結(jié)構(gòu)表面聲壓和法向速度的情況下，其結(jié)構(gòu)外部聲場(chǎng)的場(chǎng)點(diǎn)聲壓

he和ge是從式（4）右邊求得的影響系數(shù)，其聲壓的分貝表示形式為

其中pr＝2×10－5Pa，是空氣中的參考聲壓.

定義內(nèi)部場(chǎng)點(diǎn)平均聲壓

其中Nf是內(nèi)部場(chǎng)點(diǎn)個(gè)數(shù)，p j是殼體內(nèi)部場(chǎng)點(diǎn)聲壓振幅.

1.2.2 聲輻射功率 聲輻射功率是結(jié)構(gòu)表面聲強(qiáng)度的積分［16］，如下式所示：

式中：＊代表復(fù)共軛.結(jié)構(gòu)表面S離散成Ne個(gè)單元后，聲輻射功率為

基于式（12）的聲功率計(jì)算已經(jīng)考慮了單元的耦合作用［17］，當(dāng)單元尺寸比較小時(shí)，可以認(rèn)為每個(gè)單元是一個(gè)單極子，式（12）可以簡(jiǎn)化為

其中＝NTp j是單元聲壓，取插值后的單元中心點(diǎn)聲壓；＝NTv j，是單元速度，同樣是取插值后單元的中心點(diǎn)速度，N是插值函數(shù)；p j和v j是單元j上所有節(jié)點(diǎn)的聲壓和速度；Sj是單元j的面積.

通過插值函數(shù)處理后，聲輻射功率可表示為

式中：B是Hermitian矩陣，與插值函數(shù)、激勵(lì)頻率以及結(jié)構(gòu)的表面形狀有關(guān).聲輻射功率分貝形式為

其中Wr＝10－12W，是參考聲輻射功率.

2 優(yōu)化模型及求解方法

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題［18］表示為如下的一般形式：

其中f（x）為目標(biāo)函數(shù)，n為設(shè)計(jì)變量x i個(gè)數(shù)，m為約束函數(shù)g j（x）個(gè)數(shù)，x iu和x il分別為設(shè)計(jì)變量x i的上界和下界.本文中，圓柱殼體的聲輻射功率作為優(yōu)化目標(biāo)，殼體厚度作為設(shè)計(jì)變量，約束函數(shù)中既考慮了結(jié)構(gòu)的指標(biāo)——質(zhì)量和基頻，又考慮了聲場(chǎng)性質(zhì)參數(shù)——內(nèi)部場(chǎng)點(diǎn)平均聲壓.其求解方法見文獻(xiàn)［19］.

3 靈敏度分析

結(jié)構(gòu)響應(yīng)靈敏度及結(jié)構(gòu)表面法向速度靈敏度分析見文獻(xiàn)［19］.聲壓與聲功率靈敏度分析如下.

3.1 表面聲壓靈敏度

對(duì)式（7）求導(dǎo)得結(jié)構(gòu)表面聲壓對(duì)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度公式：

其中ak是第k個(gè)設(shè)計(jì)變量；Z由激勵(lì)頻率和結(jié)構(gòu)表面形狀決定，激勵(lì)頻率是由荷載決定的，與尺寸變量無(wú)關(guān).因此，對(duì)于尺寸變量，式（16）右端第一項(xiàng)近似為0，式（16）可簡(jiǎn)化為

3.2 場(chǎng)點(diǎn)聲壓靈敏度

對(duì)式（8）求導(dǎo)得場(chǎng)點(diǎn)聲壓對(duì)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度分析：

同理，對(duì)于尺寸變量，上式可以簡(jiǎn)化為

其分貝表示形式可通過對(duì)式（9）求導(dǎo)得：

而內(nèi)場(chǎng)平均聲壓靈敏度可以通過對(duì)式（10）求導(dǎo)得：

3.3 聲功率靈敏度

聲輻射功率對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度分析通過對(duì)式（13）求導(dǎo)得：

對(duì)于尺寸變量，上式同樣可以簡(jiǎn)化為

其分貝表示形式為

綜上所述，在完成了結(jié)構(gòu)和聲場(chǎng)靈敏度分析之后，即可以求出表面聲壓、場(chǎng)點(diǎn)聲壓、內(nèi)部場(chǎng)點(diǎn)平均聲壓以及聲輻射功率對(duì)于圓柱殼體尺寸設(shè)計(jì)變量的靈敏度.

4 靈敏度計(jì)算及驗(yàn)證

封閉圓柱殼體結(jié)構(gòu)如圖2所示，其幾何屬性：長(zhǎng)度L＝3.0 m，直徑D＝1.0 m；材料屬性：彈性模量E＝6.9×1010Pa，泊松比μ＝0.3，密度ρ＝2.7×103kg／m3；激勵(lì)參數(shù)：對(duì)稱激勵(lì)力F處于圖2所示位置，大小為100 N，頻率為120 Hz；邊界條件：兩端完全簡(jiǎn)支；聲學(xué)參數(shù)：空氣密度ρa(bǔ)＝1.21 kg／m3，空氣中聲速c0＝343 m／s.結(jié)構(gòu)有限元模型由兩端的200個(gè)四邊形單元和側(cè)面的1 600個(gè)四邊形單元組成.在邊界元分析中，網(wǎng)格尺寸需要滿足1／6波長(zhǎng)要求.本例中，結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格同時(shí)也是聲學(xué)邊界元網(wǎng)格，滿足這一要求.優(yōu)化模型如圖3所示，殼體結(jié)構(gòu)側(cè)面的1 600個(gè)單元厚度作為設(shè)計(jì)變量，兩種厚度分布情況：20個(gè)縱向厚度設(shè)計(jì)變量，沿著環(huán)向均勻分布；20個(gè)環(huán)向厚度設(shè)計(jì)變量，沿著軸向均勻分布.圓柱殼體厚度t＝2×10－3m，差分步長(zhǎng)Δt＝2×10－5m.圓柱殼體內(nèi)部所計(jì)算的場(chǎng)點(diǎn)分布情況如圖4所示，共有40個(gè)場(chǎng)點(diǎn)，呈圓柱形分布，直徑d＝0.6 m.

圖2 封閉圓柱殼體結(jié)構(gòu)Fig.2 Closed cylindrical structure

圖3 設(shè)計(jì)變量分布情況Fig.3 Distribution of design variables

圖4 殼體內(nèi)部場(chǎng)點(diǎn)分布Fig.4 Distribution of interior field points

本文計(jì)算的聲輻射功率靈敏度與差分法計(jì)算結(jié)果的比較如圖5所示.從圖中可以看出，本文計(jì)算的靈敏度與差分法計(jì)算的靈敏度吻合得非常好，說明本文的聲輻射功率靈敏度計(jì)算是準(zhǔn)確的.本文計(jì)算的內(nèi)部場(chǎng)點(diǎn)平均聲壓靈敏度與差分法結(jié)果比較如圖6所示.從圖中可以看出，本文計(jì)算的靈敏度結(jié)果與差分法計(jì)算的靈敏度吻合得也非常好，這進(jìn)一步說明本文的靈敏度計(jì)算結(jié)果是準(zhǔn)確的.從圖5和圖6比較可以看出，聲輻射功率和內(nèi)部場(chǎng)點(diǎn)平均聲壓對(duì)于縱向厚度設(shè)計(jì)變量靈敏度的趨勢(shì)是一致的；而聲輻射功率和內(nèi)部場(chǎng)點(diǎn)平均聲壓對(duì)于環(huán)向厚度設(shè)計(jì)變量靈敏度有所不同，中間部分不一致.

圖5 聲輻射功率靈敏度比較Fig.5 Comparison of sensitivity of acoustic radiation power

圖6 內(nèi)部場(chǎng)點(diǎn)平均聲壓靈敏度比較Fig.6 Comparison of sensitivity of average pressure of interior field points

5 數(shù)值算例及結(jié)果分析

5.1 算例1

模型數(shù)據(jù)與靈敏度驗(yàn)證算例相同.20個(gè)縱向的殼體厚度設(shè)計(jì)變量如圖3（a）所示.初始厚度均為2×10－3m，其中上限為3×10－3m，下限為1×10－3m.目標(biāo)函數(shù)迭代過程如圖7所示，經(jīng)過12次迭代，優(yōu)化結(jié)果收斂.優(yōu)化模型和結(jié)果如表1所示.在滿足約束條件的情況下，聲功率從103.33 d B降到72.35 d B，減少了30.98 d B，優(yōu)化效果非常明顯.優(yōu)化后的厚度如圖8所示.從圖中可以看出優(yōu)化后的厚度分布與初始靈敏度結(jié)果圖5（a）相對(duì)應(yīng).在優(yōu)化過程中，如果變量的靈敏度正負(fù)號(hào)不變，那么靈敏度為正時(shí)，優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量減小；靈敏度為負(fù)時(shí)，優(yōu)化后的設(shè)計(jì)變量增大.

圖7 聲輻射功率優(yōu)化迭代過程（算例1）Fig.7 Iteration history of acoustic radiation power（Example 1）

表1 縱向厚度優(yōu)化模型及優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Design optimization model for longitudinal thickness and optimized results

圖8 優(yōu)化后厚度（算例1）Fig.8 Optimized thickness（Example 1）

5.2 算例2

模型數(shù)據(jù)與靈敏度驗(yàn)證算例相同.20個(gè)環(huán)向的殼體厚度設(shè)計(jì)變量如圖3（b）所示.初始厚度均為2×10－3m，其中上限為3×10－3m，下限為1×10－3m.目標(biāo)函數(shù)迭代過程如圖9所示，經(jīng)過6次迭代，優(yōu)化結(jié)果收斂.優(yōu)化模型及結(jié)果如表2所示.在滿足約束條件的情況下，聲功率從103.33 dB降到100.02 dB.優(yōu)化后的厚度如圖10所示.從圖中可以看出殼體兩端變厚，而中間變薄，這與文獻(xiàn)［11］中結(jié)果相似，說明結(jié)構(gòu)聲輻射特性在某種意義下與其聲傳輸特性是相呼應(yīng)的.

圖9 聲輻射功率優(yōu)化迭代過程（算例2）Fig.9 Iteration history of acoustic radiation power（Example 2）

表2 環(huán)向厚度優(yōu)化模型及優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Design optimization model for circumferential thickness and optimized results

圖10 優(yōu)化后厚度（算例2）Fig.10 Optimized thickness（Example 2）

從靈敏度的算例中可以看出，兩者的靈敏度差異非常大，縱向變量中靈敏度的正值和負(fù)值的絕對(duì)值比較大，對(duì)聲輻射功率影響大的設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)也比較多（靈敏度絕對(duì)值500之外的有12個(gè)），縱向設(shè)計(jì)變量的變化對(duì)聲輻射功率影響比較大.而環(huán)向變量中靈敏度的正值比較小，對(duì)聲輻射功率影響大的設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)也比較少（靈敏度絕對(duì)值500之外的有4個(gè)），環(huán)向設(shè)計(jì)變量的變化對(duì)聲輻射功率的影響比較小.因此，縱向厚度設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化后，聲輻射功率降低得多；而環(huán)向設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)化后，聲輻射功率降低得少.

6 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)圓柱殼體聲輻射特性以及優(yōu)化進(jìn)行了研究.提出了圓柱殼體結(jié)構(gòu)聲輻射優(yōu)化模型，即將圓柱殼體的縱向厚度和環(huán)向厚度作為設(shè)計(jì)變量，聲輻射功率作為目標(biāo)函數(shù)，圓柱殼體的質(zhì)量、基頻、內(nèi)場(chǎng)平均聲壓作為約束函數(shù).給出了目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的靈敏度分析公式，并驗(yàn)證了靈敏度的準(zhǔn)確性.從算例中可以看出，縱向厚度和環(huán)向殼體厚度優(yōu)化均可以有效地降低殼體結(jié)構(gòu)的聲輻射，從某種意義上講，這預(yù)示著圓柱殼體可通過縱向加肋或者環(huán)向加肋以達(dá)到降低結(jié)構(gòu)聲輻射的目的.對(duì)于加肋殼體聲輻射的優(yōu)化研究是作者的后續(xù)工作.

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