卷積型Calderón-Zygmund算子的數(shù)值算法

段 汕，牛小嬌，楊占英

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

1 研究背景

根據(jù) Beylkin-Coifman-Rokhlin(B-C-R) 算法［1］，算子可以用合適的小波基進(jìn)行刻畫(huà)性分析，這樣給算子的數(shù)值計(jì)算帶來(lái)極大的方便，如計(jì)算奇異積分算子.

設(shè)T是D→D'的一個(gè)連續(xù)線性算子，存在一個(gè)聯(lián)系于T的分布核K(x，y)∈D'(Rn×Rn)對(duì)所有支集不交的f，g∈D(Rn)，有:

我們稱K∈D'(Rn×Rn)為標(biāo)準(zhǔn)核［2］，若它在Ω=(Rn×Rn){x=y}上滿足:

其中0＜γ≤1，C表示一個(gè)與所考慮的變量無(wú)關(guān)的常數(shù)，不同位置處的取值可以是不同的.此時(shí)記K∈SK(γ).如果T可延拓為L(zhǎng)2(Rn)上的有界算子，則T被稱為Calderón-Zygmund算子(C-Z算子)，記為T∈CZO(γ).

文［3］中的T1定理表明，在(1)和(2)式下，T可延拓為L(zhǎng)2(Rn)上的有界算子當(dāng)且僅當(dāng)T滿足T1條件:

和弱有界條件:

而在工程應(yīng)用中，更多的會(huì)碰到卷積型算子，如Hilbert算子和Riesz算子.對(duì)于卷積型算子T，其分布核K(x，y) 可被寫(xiě)作K(x，y)=k(x－y)，即:

對(duì)任意的R＞0，記則T∈CZO(γ)意味著T滿足以下條件:

(i)消去條件: 對(duì)任意的 ΨR(x)∈(B(0，1))，

(ii)大小條件:

一個(gè)卷積型算子T∈CZO(γ)也被寫(xiě)作T∈CCZO(γ)或記作k(x)∈Kγ.

對(duì)卷積型算子的逼近問(wèn)題，文［4］曾提出一種基于n維小波的分析方法.記B(x，R)是中心在x，半徑為R的球，記En={0，1}n{0}，對(duì)任意的ε=(ε1，ε2，…，εn) ∈En，記 Φε(x) ∈C20(B(0，2M)) 為Daubechies小波(M為一確定的常數(shù)).記Λn={λ=(ε，j，k)，ε∈En，j∈Z，k∈Zn}，對(duì)任意的j，k，記，那么是的一組規(guī)范正交基.實(shí)際上，對(duì)于λ∈Λn，記，在分布的意義下有:

文［4］引入下面的環(huán)狀算子，對(duì)任意的R≥0，ε∈En，定義(x) 如下:

記表示對(duì)應(yīng)于(x) 的環(huán)狀算子，記TR=用帶狀算子TR逼近T，得到定理1.

定理1假設(shè)1≤p，q≤∞，0＜γ≤1和R≥1.對(duì)卷積型C-Z算子T，下式成立:

這里，采用算子的基于n維小波的數(shù)值算法，結(jié)合Besov空間的小波刻畫(huà)得到算子在Besov空間上的逼近算法，從而

推廣了定理1的結(jié)論，得到下述定理2.

定理2設(shè)，若則:

2 準(zhǔn)備知識(shí)

首先描述一些函數(shù)空間的準(zhǔn)備知識(shí).

用S和S'分別表示由急減光滑函數(shù)組成的Schwarz空間和由緩增廣義函數(shù)組成的空間.S'/P表示模去全體多項(xiàng)式，選取φ(x)∈S，使得supp?，并且當(dāng)時(shí)，記.對(duì)，通常的Besov空間可定義如下:

根據(jù)文獻(xiàn)［5］中的結(jié)果，Besov空間中的函數(shù)也可采用相應(yīng)的小波系數(shù)作刻畫(huà)性描述.

引理1對(duì)任意的f∈S'/P，若我們能夠定義則在分布的意義下有設(shè)我們有:

其次，描述在定理2的證明過(guò)程中需要的分布核的Daubechies小波系數(shù)估計(jì).

對(duì)于分布核k(x)∈Kγ，在(9)式成立的前提下，有下述引理 2 成立［4］.

引理2給定0＜γ≤1，若k(x)∈Kγ，則有:

最后，介紹一類非卷積型算子，它的分布核為Daubechies小波和它的卷積的特定和.

假設(shè)Φε(x) 和 Φε'(x)是充分光滑的Daubechies小波，對(duì)于若m≥ 0，記若m＜0，則.由Φε(x) 的性質(zhì)，很容易得到函數(shù)的性質(zhì)［4］.

的一類非卷積型算子.

引理 3［4］對(duì)，算子滿足(1)，(2)，(3) 式和如下條件:

此外，在定理2的證明中，還需要用到下面的引理4，其證明可查閱文獻(xiàn)［6］.

引理4設(shè)0＜γ≤1，0≤s＜γ，1≤p，q≤∞，若T滿足(1)，(2)，(3)式和條件(11)，則T在˙Bs，qp上連續(xù).

3 定理2的證明

為證明定理2，我們首先對(duì)(10)式定義的分布核所對(duì)應(yīng)的環(huán)狀算子TεR的范數(shù)進(jìn)行估計(jì)，見(jiàn)定理3.

定理3設(shè)1和 ε ∈En.若T∈CCZO(γ)，則:

令j'=j+m，則有:

因此，

接下來(lái)，我們先對(duì)J1進(jìn)行估計(jì).

結(jié)合函數(shù)的卷積運(yùn)算，可得:

注意當(dāng) ε，ε'∈En，且若記則根據(jù)引理3和引理4，對(duì)應(yīng)于分布核的算子在Besov空間上連續(xù)，因此:

運(yùn)用引理1，Besov空間上的函數(shù)可以用小波系數(shù)來(lái)刻畫(huà)，所以有:

從而可得到:

接下來(lái)，運(yùn)用引理2中的估計(jì)，有:

綜合J1和J2的估計(jì)結(jié)果，即可得到(12)式.

下面，我們來(lái)完成定理2的證明.運(yùn)用定理3，我們有:

至此，定理2證畢.

［1］Beylkin G，Coifman R，Rokhlin V.Fast wavelet transforms and numerical algorithms I［J］.Comm Pure Appl Math，1991，46:141-183.

［2］程民德，鄧東皋，龍瑞麟.實(shí)分析［M］.2版.北京:高等教育出版社，2008:309-315.

［3］David G，Journe JL.A boundedness criterion for generalized Calderón-Zygmund operators［J］.Ann of Math，1984，120(2):171-197.

［4］楊占英，楊奇祥.卷積型 Calderón-Zygmund算子的新算法［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，51(6):1061-1072.

［5］楊奇祥.小波與分布:小波應(yīng)用的部分機(jī)理［M］.北京:科學(xué)技術(shù)出版社，2002:67-82.

［6］LemariéP G.Continuitésur les espaces de Besov des opérateurs détinis par des integrals singulières［J］.Ann Inst Fpuier(Grenoble)，1985，35(4):175-187.