連鑄結(jié)晶器多變量系統(tǒng)建模及控制

李壯舉，王允建，肖磊

（1. 北京建筑工程學(xué)院 電信學(xué)院，北京，100044；2. 河南理工大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，河南 焦作，454000；3. 北京科技大學(xué) 信息工程學(xué)院 北京，100083）

連鑄結(jié)晶器多變量系統(tǒng)建模及控制

李壯舉1，王允建2，肖磊3

（1. 北京建筑工程學(xué)院 電信學(xué)院，北京，100044；2. 河南理工大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，河南 焦作，454000；3. 北京科技大學(xué) 信息工程學(xué)院 北京，100083）

為了實現(xiàn)連鑄結(jié)晶器出口坯殼厚度的控制，對結(jié)晶器內(nèi)部鋼水凝固傳熱過程進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，利用有限元計算分析和曲線回歸的方法建立其出口坯殼厚度生長模型和出口處銅板溫度與坯殼厚度的關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，建立以拉坯速度和滑動水口開度為輸入、以液位高度和出口坯殼厚度為輸出的結(jié)晶器非線性多變量模型。通過仿真驗證該模型的有效性。針對所建非線性模型，設(shè)計自抗擾控制器（ADRC）進(jìn)行解耦控制。仿真結(jié)果表明：所設(shè)計的控制器可以達(dá)到滿意的控制和解耦效果，這說明在所建模型基礎(chǔ)上設(shè)計出ADRC控制器，實現(xiàn)對出口坯殼厚度的控制是可行的。

結(jié)晶器；出口坯殼厚度；非線性多變量模型；凝固傳熱模型；自抗擾控制

連鑄結(jié)晶器出口處的坯殼厚度影響著整個連鑄系統(tǒng)工作狀況，出口坯殼厚度與結(jié)晶器液位、鑄坯拉速之間存在耦合關(guān)系[1?3]。一般通過改變液位和拉速來控制出口處坯殼厚度。目前無法實現(xiàn)出口坯殼厚度的直接測量，故難以用傳統(tǒng)的方式直接控制出口坯殼厚度。喬國林等[1?2]建立了結(jié)晶器液位和拉速對出口坯殼表面平均溫度的制約關(guān)系，但是，未給出溫度與厚度的關(guān)系。在此，本文作者分析結(jié)晶器內(nèi)部流場及凝固傳熱過程，對結(jié)晶器內(nèi)部鋼水凝固傳熱過程進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬[4?5]，利用有限元分析計算和曲線回歸的方法獲得出口坯殼厚度與拉速、液位的關(guān)系模型[6]，以及出口處銅板溫度與出口坯殼厚度的關(guān)聯(lián)反饋模型；建立以拉坯速度和滑動水口開度為輸入、以液位高度和出口坯殼厚度為輸出的結(jié)晶器非線性多變量數(shù)學(xué)模型。采用自抗擾控制技術(shù)對該系統(tǒng)進(jìn)行控制。

1 結(jié)晶器液位及拉速系統(tǒng)模型

1.1 液壓機(jī)構(gòu)特性

結(jié)晶器液壓伺服位置系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)[3]如下：

式中：Ka為伺服放大器增益；Ksv為伺服閥的靜態(tài)流量增益；Kf為傳感器位移/電壓轉(zhuǎn)換系數(shù)；Ap為液壓缸活塞有效面積；ωn為液壓系統(tǒng)固有頻率；ζ為液壓阻尼比。

1.2 結(jié)晶器液位模型

由物料總量相等原理可以得出結(jié)晶器位H與拉速vspeed及滑動水口有效流通面積Av間的關(guān)系[4]：

式中：Am為結(jié)晶器截面積；czr為注入系數(shù)；h為中間包鋼液高度；g為重力加速度；Q1為注入結(jié)晶態(tài)的鋼液流量；Q2為滑動水口流出的鋼液流量。

滑動水口有效流通面積Av可根據(jù)圖1來計算，閥門半徑為r時可得如下表達(dá)式：

圖1 滑動水口流通面積示意圖Fig.1 Open area of slide water gap

1.3 拉速系統(tǒng)

拉速系統(tǒng)的建模實質(zhì)上是交流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的矢量控制建模。以電流環(huán)為內(nèi)環(huán)，轉(zhuǎn)速環(huán)為外環(huán)。電流調(diào)節(jié)器選擇PI調(diào)節(jié)并按I型系統(tǒng)（阻尼系數(shù)為0.707）設(shè)計，并令則其內(nèi)環(huán)和電機(jī)部分的狀態(tài)空間模型[5]為：

式中：iε為電機(jī)電流環(huán)的慣性系數(shù)；ug為電機(jī)控制信號；K為調(diào)速系統(tǒng)的增益；yd為電機(jī)轉(zhuǎn)速。

2 坯殼生長模型

以某廠中厚板坯連鑄機(jī)為例。圖2所示為結(jié)晶器內(nèi)的傳熱過程。從圖2可以看出結(jié)晶器內(nèi)的凝固傳熱過程主要包括3部分：坯殼的傳熱、縫隙間的傳熱以及結(jié)晶器銅板傳熱[6]。

圖2 結(jié)晶器內(nèi)的傳熱過程Fig.2 Heat transfer inside mold

2.1 凝固坯殼傳熱

忽略拉坯方向上的傳熱，凝固坯殼溫度場分布滿足一維瞬態(tài)傳熱方程：

式中：T為凝固坯殼溫度；ρsteel為鋼液密度；ksteel為鋼液導(dǎo)熱系數(shù)。采用等效比熱容法對鋼液中的顯熱項和潛熱項進(jìn)行處理，模擬區(qū)域選取鋼液和凝固坯殼之間的一層薄片，它以拉坯速度向下運動。

2.2 縫隙間傳熱

模型將凝固坯殼到結(jié)晶器銅板之間的區(qū)域依次分為振痕、保護(hù)渣液渣層、固渣層以及由于坯殼收縮造成的氣隙4部分。熱阻分析原理見圖3。坯殼表面溫度ts和結(jié)晶器壁熱面溫度tmold之間的有效傳熱系數(shù)hgap表示為：

因此，可對縫隙間的熱量傳遞進(jìn)行求解：

式中：kair，ksolid和kliquid分別為氣隙、固渣和液渣導(dǎo)熱系數(shù)；keff為振痕有效導(dǎo)熱系數(shù)；dair，dsolid和dliquid分別為氣隙、固渣和液渣厚度；deff為鑄坯振痕轉(zhuǎn)換成與傳熱相關(guān)的振痕有效厚度；hrad為輻射傳熱系數(shù)；rcontact為接觸熱阻。

圖3 縫隙界面熱阻分析原理Fig.3 Analysis principle of thermal resistance of gap interface

2.3 結(jié)晶器銅板傳熱

結(jié)晶器銅板熱面溫度可通過銅板厚度dm、冷卻水傳熱系數(shù)hwater和縫隙熱流密度Qin計算確定。同時，考慮結(jié)晶器鍍層引入的熱阻，可得：

式中：twater為冷卻水溫度；km和kcoat分別為銅板和鍍層導(dǎo)熱系數(shù)；dcoat為鍍層厚度；hwater為冷卻水傳熱系數(shù)，為：

式中：kscale為冷卻水縫中可能出現(xiàn)的水垢導(dǎo)熱系數(shù)；dscale為水垢厚度；hfin為結(jié)晶器冷面與冷卻水之間傳熱系數(shù)。

2.4 坯殼生長模型

模型計算采用三節(jié)點三角形單元，在凝固區(qū)域采用較細(xì)的網(wǎng)格，中心采用較粗的網(wǎng)格，時間離散采用Galerkin格式。根據(jù)現(xiàn)場工藝參數(shù)，假設(shè)冷卻水流量和結(jié)晶器震動頻率不變，結(jié)晶器斷面面積（長×寬）為200 mm×1 400 mm，高度為904 mm。當(dāng)拉速為0.9 m/min時，結(jié)晶器窄面中心熱流分布云圖如圖4所示，坯殼厚度及結(jié)晶器銅板溫度分布如圖5和圖6所示。然后，針對不同鋼種和斷面尺寸，在不同的液位及拉速水平下進(jìn)行模擬計算，獲得各種工況下實驗結(jié)果；再將實驗離散點與現(xiàn)場漏鋼坯殼的厚度進(jìn)行對比校正，代入多元統(tǒng)計回歸計算程序，可得到坯殼厚度與拉速、液位的回歸關(guān)系式，如表1所示。由表1可得坯殼生長模型為：

式中：c，b，d，f和g為回歸系數(shù)；e為出口坯殼厚度；H為液位高度；v為拉速；?θ為中間包鋼水過熱度；θ銅為結(jié)晶器出口處銅板溫度。

由于所建模型是以出口坯殼厚度為輸出的，所以需要有效的輸出反饋環(huán)節(jié)。而實際連鑄機(jī)生產(chǎn)環(huán)境使得出口坯殼厚度無法即時測量，出口坯殼表面溫度也很難準(zhǔn)確獲取，目前結(jié)晶器較為準(zhǔn)確的溫度反饋參數(shù)是通過預(yù)埋在結(jié)晶器銅板壁中的熱電偶測得的銅板溫度。通過同樣的方法得到結(jié)晶器出口銅板溫度與坯殼厚度的關(guān)系式（10）后，導(dǎo)出結(jié)晶器出口銅板溫度?坯殼厚度關(guān)系，這樣，就可將熱電偶測得的出口銅板溫度轉(zhuǎn)換為坯殼厚度，作為坯殼厚度反饋信號。

圖4 結(jié)晶器熱流分布云圖Fig.4 Heat flow distribution cloud of mould

圖5 凝固坯殼厚度分布Fig.5 Solidified shell thickness distribution

圖6 結(jié)晶器壁溫度分布Fig.6 Distribution of mould wall temperature

3 結(jié)晶器系統(tǒng)非線性模型

綜合以上分析，在保持冷卻水流量與結(jié)晶器震動頻率不變的條件下，可得到以拉坯速度和滑動水口開度為輸入、以液位高度和出口坯殼厚度為輸出的結(jié)晶器非線性模型，如圖7所示。模型中包含的閥位控制與拉速控制2個PID閉環(huán)實際可看作多級控制系統(tǒng)中的基礎(chǔ)動態(tài)控制層，這樣，一方面便于在此模型基礎(chǔ)上采用先進(jìn)控制策略作為動態(tài)約束控制層，從而形成多級控制系統(tǒng)；另一方面，也有效提高了整個結(jié)晶器控制系統(tǒng)的抗干擾性能。一旦上層控制器效果起初不夠理想，可以隨時切除與上層的聯(lián)系，獨立將系統(tǒng)穩(wěn)定在一個安全的工作狀態(tài)點。這樣可以有效提高容錯度，降低系統(tǒng)風(fēng)險，也更加符合實際連鑄工業(yè)控制的需求。

表1 結(jié)晶器出口坯殼厚度與液位、拉速的回歸關(guān)系式Table 1 Relationships of shell thickness, liquid level and pulling speed

圖7中，滑動水口位移控制器GVC[7]為：

式中：為Gv（s）降階后的傳遞函數(shù)；為的穩(wěn)定近似函數(shù)；F（s）為低通濾波器。

交流調(diào)速器ASR的結(jié)構(gòu)及PID參數(shù)優(yōu)化過程見文獻(xiàn)[8]。K1和K2為速度轉(zhuǎn)換傳遞環(huán)節(jié)，中間包鋼水過熱度Δθ由煉鋼環(huán)節(jié)決定，在同一個煉鋼環(huán)節(jié)中，可看成定值。

圖7 結(jié)晶器系統(tǒng)的非線性模型Fig.7 Nonlinear model of mould system

4 模型的有效性驗證

選定某連鑄廠結(jié)晶器系統(tǒng)的工況條件作為仿真基礎(chǔ)。其主要現(xiàn)場參數(shù)為：結(jié)晶器斷面面積為200 mm× 1 400 mm，結(jié)晶器高度為904 mm，液壓閥控缸系統(tǒng)固有頻率為141.3 rad/s，液壓閥控缸系統(tǒng)體積彈性模量βe為700 MPa，澆鑄溫度為1 557 ℃；中間包閥門的半徑取r=40 mm，鋼液注入系數(shù)取czr=0.57；減速裝置減速比為1：522，結(jié)晶器冷卻水進(jìn)口溫度為40 ℃。

為了驗證模型的合理性與準(zhǔn)確性，根據(jù)實際連鑄工業(yè)過程生產(chǎn)模式，保持拉速輸入值不變，通過調(diào)節(jié)中間包閥位來調(diào)整結(jié)晶器液位，觀察輸出響應(yīng)曲線。拉速輸入值設(shè)為1 m/min，液位反饋引入中間包閥位輸入端，采用PI控制器，液位值設(shè)定為50 cm。待系統(tǒng)穩(wěn)定后，對結(jié)晶器液位附加1個振幅為3 cm的階躍擾動，得到的結(jié)晶器液位響應(yīng)曲線與實際曲線對比結(jié)果如圖8所示。圖8中：實線為所建模型的響應(yīng)曲線，虛線為實際結(jié)晶器液位階躍擾動下的響應(yīng)曲線。由圖8可知：兩曲線基本吻合，顯示出模型具有較高的精度。

由于連鑄現(xiàn)場出口坯殼厚度無法即時測量，所以，無法用同樣的方法驗證出口坯殼厚度響應(yīng)曲線的準(zhǔn)確度。但由出口坯殼厚度建模過程可知：當(dāng)拉速與液位均設(shè)定為拉漏時的工作狀態(tài)值時，由模型所得到的出口坯殼厚度與現(xiàn)場測得的漏鋼鋼坯厚度相吻合，即模型在漏鋼狀態(tài)點上是準(zhǔn)確的。至于由模型計算所得的出口鋼坯厚度是否處處與真實值相等，很難保證，但對于實際控制的影響并不大。因為在連鑄控制中，對出口坯殼厚度具體值進(jìn)行設(shè)定并沒有意義，只需要保證其大于安全厚度（大于漏鋼鋼坯厚度實測值5 mm）也就是將系統(tǒng)控制在漏鋼狀態(tài)點之上即可。坯殼厚度響應(yīng)曲線見圖9。從圖9可見：其為單調(diào)遞增曲線，與實際坯殼厚度的變化規(guī)律相符，即該非線性耦合模型能真實標(biāo)定結(jié)晶器漏鋼狀態(tài)點的位置，符合其作為控制研究平臺的需求。結(jié)合以上分析可得：模型的準(zhǔn)確性和有效性均滿足工程實際需求，在此模型之上研究有效的出口坯殼厚度多變量控制方式是可行的。

圖8 結(jié)晶器液位響應(yīng)曲線Fig.8 Mould level response curves

圖9 出口坯殼厚度響應(yīng)曲線Fig.9 Shell thickness response curve

5 自抗擾解耦控制器的設(shè)計

5.1 控制方案的選擇

由上述結(jié)晶器的建模過程可知：結(jié)晶器多變量耦合系統(tǒng)是非線性的，主要表現(xiàn)在伺服驅(qū)動環(huán)節(jié)、滑動水口環(huán)節(jié)等，而且其時間常數(shù)和增益會隨負(fù)荷的變化而大范圍變化。當(dāng)系統(tǒng)運行在變負(fù)荷工況下，傳統(tǒng)的解耦PID控制方法無法保證控制器的魯棒性。對于這一控制難題，雖然有基于微分幾何理論的反饋線性化方法和直接反饋線性化方法（DFL）[1]，以及基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法和自適應(yīng)控制等，但這些都需要有系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，或者算法也較復(fù)雜，難以工程實施。自抗擾控制（ADRC）是新興的控制技術(shù)，其本質(zhì)是一種非線性控制技術(shù)，其核心技術(shù)是準(zhǔn)確估計不確定、時變擾動，然后進(jìn)行補(bǔ)償，進(jìn)而把復(fù)雜的非線性對象線性化，然后，用非線性控制律進(jìn)行控制。自抗擾控制要比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、自適應(yīng)控制的運算量小得多，更加適用于復(fù)雜系統(tǒng)、快速系統(tǒng)；自抗擾控制器的魯棒性很強(qiáng)，一個自抗擾控制器可很好控制階數(shù)相同的一大類對象，甚至對于一些更高階對象，若參數(shù)調(diào)整合適，則用低階對象的自抗擾控制器也可獲得滿意的控制效果；同時，由于其對不確定擾動的準(zhǔn)確估計和良好補(bǔ)償，因而是多變量耦合系統(tǒng)控制的良好控制方案。顯然，對于這種非線性、參數(shù)大時變的多變量耦合系統(tǒng)，自抗擾控制器無疑是一種最佳的控制方案。

自抗擾控制器由3個基本組成部分：跟蹤微分器（TD，Tracking differentiator）、非線性狀態(tài)誤差反饋律（NLSEF，Nonlinear state error feedback control law）和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（ESO, Extended state observer）[9?10]。其結(jié)構(gòu)如圖10所示。圖中：xvr和vr分別為滑動水口開度設(shè)定值、拉速設(shè)定值；系統(tǒng)有2個結(jié)構(gòu)相同的自抗擾控制器控制，針對第1個控制器，z21，z22和z23分別為ESO觀測到的各階狀態(tài)值；z11和z12為TD產(chǎn)生的狀態(tài)值；1ε和2ε分別為兩階狀態(tài)的誤差；uo1（t）和ul（t）分別為控制其的虛擬輸出和實際輸出；b11為控制器的補(bǔ)償系數(shù)；w1（t）為擾動量。

在利用自抗擾進(jìn)行解耦控制時，需要預(yù)先對被控多變量對象進(jìn)行靜態(tài)解耦，即要獲得對象的靜態(tài)耦合矩陣，但是，并不需要太精確的靜態(tài)耦合矩陣[11]。仿真試驗結(jié)果證明：靜態(tài)耦合矩陣的元素值在?35%～35%之間變化，自抗擾解耦都可以取得滿意的控制效果。結(jié)晶器非線性系統(tǒng)的靜態(tài)耦合矩陣可以由雅可比矩陣

確定。其中：Δui和Δyi（i=1, 2）分別為系統(tǒng)在某一工作點的輸入、輸出增量。對不同的工作點，B也不同，可根據(jù)模糊規(guī)則表從知識庫調(diào)用對應(yīng)的B進(jìn)行分段逼近。應(yīng)用本文第4節(jié)模型驗證所用的模型，對其常用工作點（H=500 mm，v=1 m/min），按照上述方法可得：

圖10 結(jié)晶器的自抗擾解耦控制原理圖Fig.10 Principle of ADRC decoupling control to mould system

所以，

5.2 ESO的設(shè)計

ESO是自抗擾控制器的關(guān)鍵部分，韓京清等[11?16]討論了ESO的收斂問題。為了提高控制器的自適應(yīng)性，結(jié)合結(jié)晶器對象的特點，本文按照文獻(xiàn)[12]選用形如下式的非線性三階ESO：

設(shè)計參數(shù)1α=0.5，2α=0.25，δ=0.1。若選ESO的望極點為p1= p2= p3=?3，則由式（13）可求得k1=9，k2=27，k3=27。這樣，三階ESO的設(shè)計便完成。

5.3 NLSEF的設(shè)計

由于非線性狀態(tài)誤差反饋率有比線性反饋率更大，這里選NLSEF為誤差反饋函數(shù)：

式中：z11和z12為TD的輸出；z21和z22為ESO的輸出；c，r和h為待調(diào)參數(shù)。在離散系統(tǒng)中，h＞dt（采樣時間），在仿真時，h＞h0（采樣步長）?？梢钥闯觯悍答伮衫锩娌⒉缓姓`差積分信息，所以，這種反饋律可以避免誤差積分反饋的副作用。

5.4 TD的設(shè)計

跟蹤微分器（TD）可以跟蹤輸入信號并提取其微分，選擇合適的TD參數(shù)可以使過渡過程既快速又無超調(diào)地完成[10]。這里，選用最快速跟蹤微分器：

式中：v為系統(tǒng)的輸入信號；r1為跟蹤速度因子，r1越大，則TD跟蹤得就越快；h1為濾波因子，h1越大，濾波效果越好，通常h1取采樣步長的整數(shù)倍。根據(jù)工藝，拉速不宜急劇增加，該子系統(tǒng)的跟蹤因子應(yīng)該取小值，可以取液位子系統(tǒng)跟蹤因子的1/2。

6 仿真結(jié)果

按照上述模型和控制器，可以在SIMULINK中搭建仿真系統(tǒng)。仿真時，模型的參數(shù)依然按照第3節(jié)中模型校驗時的參數(shù)，采樣步長均取0.01。參數(shù)為r1=30，h1=0.07，c=1，r=15，h=0.08。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定工作在H= 500 mm，v=1 m/min，分別輸入50 mm階躍信號xvr= 1（t≥1）和速度階躍vr=0.5 m/min（t≥20），并施加擾動w1（t）=sign（sin （0.9t）），w2（t）=cos 0.7，系統(tǒng)輸出曲線如圖11和圖12所示。從圖11和圖12可以看出：當(dāng)一個子系統(tǒng)有階躍輸入時，在另一個子系統(tǒng)的輸出曲線上幾乎看不到耦合帶來的影響，這說明解耦效果很好；另外，由于合理安排了過渡過程，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線很快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，而且沒有超調(diào)，所施加的干擾對系統(tǒng)的輸出影響極小。這正是自抗擾控制器抗干擾能力強(qiáng)的體現(xiàn)。綜合控制效果可以看出：在所建模型上選用先進(jìn)的多變量控制方案，完全可以對結(jié)晶器出口坯殼厚度進(jìn)行精確控制。

圖11 水口開度?液位高度系統(tǒng)輸出曲線Fig.11 Output curve of slide water gap open rate?liquid level system

圖12 拉坯速度?坯殼厚度系統(tǒng)輸出曲線Fig.12 Output curve of pull speed?shell thickness system

7 結(jié)論

（1） 建立了結(jié)晶器雙輸入雙輸出系統(tǒng)的多變量非線性數(shù)學(xué)模型。設(shè)計了自抗擾控制器，實現(xiàn)了結(jié)晶器系統(tǒng)的解耦合控制。

（2） 仿真結(jié)果驗證了模型的準(zhǔn)確性和對出口坯殼厚度控制的有效性。

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（編輯 陳燦華）

Modeling of mould multivariable system in continuous casting process and its control

LI Zhuang-ju1, WANG Yun-jian2, XIAO Lei3

（1. School of Electric and Information Engineering, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044, China;
2. School of Electrical Engineering and Automation, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000, China;
3. School of Information Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China）

To realize the control of the shell thickness at the mould exit control in continuous casting process, the solidification and heat transfer process in mould were simulated, a model of shell growth was founded and the relationship between shell thickness-temperature at the mould exit was established through finite element analysis and curvilinear regression method. Based on this model, a nonlinear multivariable mode of the mould system was built with its inputs （i.e., casting speed and valve position） and its outputs （i.e., mould level and shell thickness） at the mould exit. ADRC （Active disturbance rejection controller） was designed for the mode. The control simulation results show that the controller has good performance, and the new model is effective and accurate, indicating that the accurate shell thickness control with the novel model is feasible.

mould; shell thickness; nonlinear multivariable model; solidification and heat transfer model; ADRC

TF341.6；TP273

A

1672?7207（2011）05?1361?08

2010?04?15；

2010?07?25

北京市教委重點學(xué)科共建項目（XK100080537）

李壯舉（1975?），男，河南南陽人，博士研究生，講師，從事多變量系統(tǒng)的控制研究；電話：13911637318；E-mail： lizju196@163.com