基于反應(yīng)基元的非線性系統(tǒng)灰箱建模方法

曹柳林，孫婭蘋，吳海燕

(北京化工大學(xué) 自動化研究所，北京，100029)

基于反應(yīng)基元的非線性系統(tǒng)灰箱建模方法

曹柳林，孫婭蘋，吳海燕

(北京化工大學(xué) 自動化研究所，北京，100029)

提出一種基于反應(yīng)基元的建立復(fù)雜非線性系統(tǒng)模型的灰箱建模方法。首先根據(jù)先驗(yàn)知識及系統(tǒng)特性分析引入過程的初始反應(yīng)基元，并以此為出發(fā)點(diǎn)建立結(jié)構(gòu)逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，實(shí)現(xiàn)基元之間的關(guān)聯(lián)，賦予網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)實(shí)際的物理意義；然后，通過提出的最小化預(yù)測誤差，結(jié)合逐步回歸分析方法選擇最優(yōu)反應(yīng)基元，優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，建立起表示系統(tǒng)變量關(guān)系的灰箱模型。以實(shí)際橡膠硫化促進(jìn)劑制備的間歇反應(yīng)過程作為實(shí)驗(yàn)對象，建立以生成物濃度為輸出的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到較高的輸出預(yù)測精度。

灰箱建模；非線性系統(tǒng)；系統(tǒng)辨識；間歇反應(yīng)；結(jié)構(gòu)逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

在對復(fù)雜間歇化工過程建模時(shí)，由于系統(tǒng)的非線性、非穩(wěn)態(tài)、過程變量的約束以及有限的在線測量信息等因素的限制，很難對系統(tǒng)進(jìn)行“白箱”描述，因此，建立純粹的機(jī)理模型難度很大；而黑箱建模方法單純利用系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的擬合，沒有充分利用先驗(yàn)知識，泛化精度往往難以達(dá)到實(shí)際的生產(chǎn)要求。因此，融合2種建模方法、充分利用系統(tǒng)的先驗(yàn)知識的灰箱建模方法是系統(tǒng)建模發(fā)展的趨勢和研究熱點(diǎn)[1?6]。近年來，針對復(fù)雜的化工過程，常常使用機(jī)理模型[1?14]與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法相結(jié)合的混合建模方法。根據(jù)機(jī)理模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相對位置，主要采用以下2種方式：在串聯(lián)型模型[9?11,14]中，利用機(jī)理模型構(gòu)成整體模型的框架，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則擬合那些不易確定的反應(yīng)動力學(xué)參數(shù)；在并聯(lián)模型[4?6]中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)針對機(jī)理模型的誤差對模型進(jìn)行補(bǔ)償。在此，本文作者提出一種基于反應(yīng)基元(Fundamental genes)的灰箱建模方法，它是基于以下事實(shí)：大多數(shù)反應(yīng)過程遵循的基本規(guī)律是大致知曉的，但先驗(yàn)知識不足以具體描述出系統(tǒng)模型的結(jié)構(gòu)。本文作者通過分析這些先驗(yàn)知識，從中挑選出最能反映系統(tǒng)特性的函數(shù)單元(稱作反應(yīng)基元)，并通過結(jié)構(gòu)逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立各反應(yīng)基元之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，以此建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

1 橡膠硫化促進(jìn)劑制備的間歇縮合反應(yīng)

在實(shí)驗(yàn)裝置內(nèi)進(jìn)行的橡膠硫化促進(jìn)劑的制備是一個間歇縮合反應(yīng)，其原理圖如圖1所示。反應(yīng)包括原料計(jì)量和縮合工序2個階段。此間歇縮合反應(yīng)是由原料鄰硝基氯苯(C6H4CINO2)、硫化鈉(Na2S)及二硫化碳(CS2)在反應(yīng)釜中經(jīng)夾套蒸汽加入適度的熱量后，發(fā)生復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)，產(chǎn)生橡膠硫化促進(jìn)劑的鈉鹽及其副產(chǎn)物。用 A，B和 C分別代表原料鄰硝基氯苯(C6H4CINO2)、硫化鈉(Na2S)及二硫化碳(CS2)，D和E分別代表橡膠硫化促進(jìn)劑及其副產(chǎn)物。在每次操作中，原料經(jīng)計(jì)量后，一次投料，在反應(yīng)釜中發(fā)生縮合反應(yīng)，反應(yīng)包括加熱升溫、冷卻控制和保溫等階段，反應(yīng)完成后，進(jìn)行出料和清釜等操作[15]。圖1中各變量定義如下：cA，cB，cC和cC分別表示A，B，C和D的濃度；T為反應(yīng)溫度；Tx為夾套溫度；k1和k2分別為主、副反應(yīng)速率常數(shù)；R1和R2為主、副反應(yīng)速率；F為夾套冷卻水入口流量。反應(yīng)器中發(fā)生如下反應(yīng)：

圖1 橡膠硫化促進(jìn)劑制備過程Fig.1 Producing accelerant for sulfuring rubber

在此縮合反應(yīng)中，化學(xué)反應(yīng)復(fù)雜，除了原料A，B和C發(fā)生的主反應(yīng)外，還有原料A和B發(fā)生的副反應(yīng)，且縮合反應(yīng)收率與副反應(yīng)有密切的關(guān)系。當(dāng)主反應(yīng)的活化能高于副反應(yīng)的活化能時(shí)，提高反應(yīng)溫度有利于主反應(yīng)的進(jìn)行。但此間歇反應(yīng)是一個放熱反應(yīng)，升溫過快、過高，容易爆炸而產(chǎn)生危險(xiǎn)。

2 建立基于反應(yīng)基元的間歇反應(yīng)器的灰箱模型

反應(yīng)基元是描述系統(tǒng)各部分特性的系統(tǒng)變量的函數(shù)單元。通過反應(yīng)基元的引入，將系統(tǒng)各部分特性函數(shù)化，使建模過程灰箱化。

建模過程分三部分進(jìn)行：首先根據(jù)系統(tǒng)先驗(yàn)知識和特性分析提取系統(tǒng)的簡單函數(shù)項(xiàng)(如：反應(yīng)速率采用exp(x;c)，系統(tǒng)的阻尼振蕩特性采用 sin(x;c)，其中x是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，c是對應(yīng)參數(shù)[5])，利用簡單函數(shù)項(xiàng)及組合函數(shù)構(gòu)建候選的反應(yīng)基元池；其次，從候選池中選擇最基本和最重要的變量和函數(shù)作為初始的反應(yīng)基元，以此構(gòu)成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，確立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)；隨后，使用逐步回歸分析方法，依次從候選基元池中挑選基元加入網(wǎng)絡(luò)，以最小化預(yù)測模型誤差為性能指標(biāo)，優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提取最優(yōu)反應(yīng)基元，最終建立系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的模型。這種灰箱建模方法賦予網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)實(shí)際的物理意義，使系統(tǒng)的先驗(yàn)知識被分布描述于網(wǎng)絡(luò)中，因此，被稱為結(jié)構(gòu)逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Structure approaching neural network, SANN)。提取系統(tǒng)的反應(yīng)基元和選擇合適的參數(shù)估計(jì)方法實(shí)現(xiàn)反應(yīng)基元間的關(guān)聯(lián)是灰箱建模方法的關(guān)鍵和難點(diǎn)。

2.1 建立候選反應(yīng)基元池

從對化工過程的機(jī)理分析中可以獲取系統(tǒng)的某些先驗(yàn)知識，但這些先驗(yàn)知識常常無法適合系統(tǒng)建模的具體表達(dá)(如反應(yīng)速率和系統(tǒng)阻尼振蕩特性等)。這里通過機(jī)理分析和經(jīng)驗(yàn)公式提取對系統(tǒng)特性描述相關(guān)的反應(yīng)基元，并將反應(yīng)基元以基本的函數(shù)形式表示。

通過對間歇反應(yīng)過程的分析，可知先驗(yàn)知識包括：此反應(yīng)為放熱反應(yīng)，k1和k2滿足阿累尼烏斯方程，即它們 是1/T的指數(shù)函數(shù)形式；反應(yīng)物和生成物濃度隨時(shí)間的變化速率由反應(yīng)速率R1和R2的函數(shù)關(guān)系表達(dá)，而R1和R2是k1，k2及cA，cB和cC的函數(shù)；對此間歇反應(yīng)過程，反應(yīng)溫度T是影響cD的最主要因素，可通過控制夾套溫度Tx確保反應(yīng)溫度在所需的范圍內(nèi)。在本實(shí)驗(yàn)對象中，利用調(diào)節(jié)冷卻水流量F從夾套內(nèi)移出熱量來控制Tx。因此，考慮到控制目標(biāo)，要建立的模型是以控制量F為輸入，以被控目標(biāo)cD為輸出。

根據(jù)上述機(jī)理分析，可進(jìn)行簡單函數(shù)項(xiàng)的提取：

(3) 考慮系統(tǒng)的動態(tài)特性，k時(shí)刻的系統(tǒng)輸出cD(k)與其歷史狀態(tài)cD(k?i)有關(guān)，本文中最大時(shí)延項(xiàng)i取5；

(4) 考慮到間歇反應(yīng)的復(fù)雜性及外界干擾的影響，反應(yīng)溫度會具有一定程度的阻尼振蕩，因此，增加簡單函數(shù)項(xiàng)sinT；

(5) 由方程(1)得知，組分A和B的濃度具有相同的變化速率，反應(yīng)速率R與它們的乘積有關(guān)，因此，增加項(xiàng)而不再考慮cB；

(6) 考慮反應(yīng)溫度T與輸出cD的非線性關(guān)系，將T2作為一簡單函數(shù)項(xiàng)。

由于各變量及簡單項(xiàng)之間可能存在著交叉、耦合關(guān)系，為避免疏漏，逐次將任意2個簡單項(xiàng)相乘生成組合函數(shù)項(xiàng)。

在上述選擇反應(yīng)基元的過程中，生成簡單函數(shù)和組合函數(shù)總計(jì)78項(xiàng)放入候選反應(yīng)基元池中，并從中優(yōu)選出T，F(xiàn)，cA，cAF以及cD(k?1)作為初始反應(yīng)基元。

2.2 建立結(jié)構(gòu)逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(SANN)

反應(yīng)基元可被分為2類：一是基本的自主變量T，F(xiàn)和cA；二是由基本變量構(gòu)成的函數(shù)，分別稱為基本變量基元和基本函數(shù)基元。

將基本變量基元作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)第一隱含層的節(jié)點(diǎn)，建立基本變量層FVL，將基本函數(shù)基元作為網(wǎng)絡(luò)第二隱含層的節(jié)點(diǎn)，建立基本函數(shù)層FFL，每層輸出都作為網(wǎng)絡(luò)輸出層的輸入，模型前幾個時(shí)刻的輸出回饋?zhàn)鳛橄到y(tǒng)的內(nèi)部輸入，d表示輸出延遲的步長，w0表示網(wǎng)絡(luò)輸出層的閾值，網(wǎng)絡(luò)整體結(jié)構(gòu)如圖2所示。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)由反應(yīng)基元構(gòu)成，從而使系統(tǒng)的先驗(yàn)知識被分布描述于網(wǎng)絡(luò)中，因此，該網(wǎng)絡(luò)被稱為結(jié)構(gòu)逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。為描述方便，以下以y表示對象輸出，ym表示模型輸出(輸出變量cD)，u表示輸入變量(F)。

2.3 優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)建立間歇反應(yīng)器的灰箱模型

結(jié)構(gòu)逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)見圖 2。其中，輸出變量ym(k)可被下式近似表示：

式中：wi為網(wǎng)絡(luò)隱含層與輸出層之間的權(quán)值；xi(k)表示各最優(yōu)反應(yīng)基元(所選定的輸出y的各歷史狀態(tài)y(k?j)也作為最優(yōu)變量基元，采用xi(k)表示，j=1, 2, …,d)；p為最優(yōu)變量基元個數(shù)；q?p為函數(shù)基元個數(shù)(q≥p)，q為總反應(yīng)基元個數(shù)。

圖2 結(jié)構(gòu)逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Architecture of SANN

式中：Wq為具有q項(xiàng)最優(yōu)反應(yīng)基元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層與輸出層之間的權(quán)值；q=p，p+1，…。

采用逐步回歸分析方法選擇最優(yōu)反應(yīng)基元：

(1) 初始化。在圖 2所示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，選擇如上所述的5項(xiàng)初始反應(yīng)基元放入最優(yōu)反應(yīng)基元池中，即q=5，以最優(yōu)反應(yīng)基元作為網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點(diǎn)，建立圖2所示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用遞推最小二乘算法進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，并計(jì)算初始Jq。將這些初始基元從候選的反應(yīng)基元池中剔除，更新候選反應(yīng)基元為78?q=7 373項(xiàng)。為候選反應(yīng)基元進(jìn)入最優(yōu)反應(yīng)基元池設(shè)定需要滿足的最小損失性能指標(biāo)δJ。

(2) 設(shè)q=q+1，訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)并計(jì)算ΔJqj(j=1，2，…，78?q)。從候選反應(yīng)基元池中依次選出每個反應(yīng)基元，分別與最優(yōu)反應(yīng)基元池中的基元共同作為網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點(diǎn)，分別建立圖2所示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用遞推最小二乘算法進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，并計(jì)算相應(yīng)的ΔJqj。

(3) 最優(yōu)反應(yīng)基元的選擇。在得到的上述ΔJqj中，選擇最小值，記作minΔJq，且當(dāng)ΔJqj≤δJ時(shí)，對應(yīng)的xq+1即為第q+1項(xiàng)最優(yōu)反應(yīng)基元；否則結(jié)束選擇。

(4) 更新。將xq+1增加到最優(yōu)反應(yīng)基元池，并將其從候選反應(yīng)基元池中刪除，轉(zhuǎn)到(2)，直至結(jié)束。

通過上述選擇過程，找到了反映系統(tǒng)特性的最優(yōu)反應(yīng)基元，確定了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)目，同時(shí)避免了系統(tǒng)變量的冗余，達(dá)到優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、實(shí)現(xiàn)反應(yīng)基元關(guān)聯(lián)的目標(biāo)。

在對圖1所示的實(shí)驗(yàn)裝置建模時(shí)，以5 s為采樣時(shí)間，連續(xù)采樣 250 min，在不同的操作條件下多次采樣，作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)。其中，最小損失性能指標(biāo) δE設(shè)定為0.05。

經(jīng)過訓(xùn)練，找到反映系統(tǒng)特性的最優(yōu)反應(yīng)基元共12項(xiàng)，即在建立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，2個隱含層共包含12個節(jié)點(diǎn)，分別為

3 模型驗(yàn)證

以5 s為采樣時(shí)間，對圖1所示的實(shí)驗(yàn)裝置連續(xù)采樣250 min，作為泛化數(shù)據(jù)，進(jìn)行模型驗(yàn)證。

定義模型預(yù)測性能指標(biāo)：

式中：e(i)是模型輸出ym與系統(tǒng)輸出y在第i時(shí)刻的絕對誤差。驗(yàn)證分為2種情況進(jìn)行。

第1種情況：ym(k)=f(y(k?i)，u(k))，利用系統(tǒng)輸出的歷史數(shù)據(jù)y(k?i)自反饋?zhàn)鳛槟Ｐ偷妮斎搿?/p>

第2種情況：ym(k)=f(ym(k?i)，u(k))，利用模型輸出的歷史數(shù)據(jù)ym(k?i)自反饋?zhàn)鳛槟Ｐ偷妮斎?，它對?yīng)許多產(chǎn)品濃度的測量存在嚴(yán)重滯后或不可在線測量的情況。

在第1種情況下得到的泛化曲線和泛化誤差曲線分別見圖 3和圖 4，采用式(7)得到的泛化指標(biāo)為0.058%。第2種情況下的泛化曲線和泛化誤差分別見圖5和圖6，泛化指標(biāo)為2.36%。

為更好地進(jìn)行模型驗(yàn)證，本文建立了以F和cA作為輸入變量，cD和T作為輸出變量的B樣條神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和對角遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的并聯(lián)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。仿真結(jié)果見表1。

由泛化結(jié)果知：采用反應(yīng)基元的灰箱建模方法，間歇反應(yīng)器的輸出預(yù)測精度較高。

圖3 情況1的泛化曲線Fig.3 Test result in the 1st case

圖4 情況1的泛化誤差Fig.4 Test error in the 1st case

圖5 情況2的泛化曲線Fig.5 Test result in the 2nd case

圖6 情況2的泛化誤差Fig.6 Test error in the 2nd case

表1 2種方法仿真結(jié)果對比Table 1 Results of two methods

4 結(jié)論

(1) 提出基于反應(yīng)基元的灰箱建模方法。該方法能夠在先驗(yàn)知識不足、不能明確描述系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)的情況下建立系統(tǒng)模型，并達(dá)到較高精度。

(2) 引入描述系統(tǒng)各部分特性的反應(yīng)基元，充分挖掘和利用了有限的系統(tǒng)先驗(yàn)知識。

(3) 采用反應(yīng)基元作為節(jié)點(diǎn)建立結(jié)構(gòu)逼近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)具有物理意義，可實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的合理化。

(4) 采用逐步回歸分析方法選擇最優(yōu)反應(yīng)基元，優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，避免冗余，提高模型預(yù)測精度。

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(編輯 楊幼平)

Grey-box modeling based on fundamental genes for nonlinear system

CAO Liu-lin, SUN Ya-ping, WU Hai-yan

(Institute of Automation, Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029, China)

An approach of grey-box modeling based on fundamental genes was developed for modeling dynamic processes with non-linear characteristics. By combination the prior knowledge and systematic behaviors, structure approaching neural network (SANN) was established based on fundamental genes, and the nodes of SANN were given actual significance. Then the optimal fundamental genes were chosen through minimizing the proposed predicted error with stepwise regression analysis (SRA) to optimize the structure of SANN, so as to get the grey-box model. Detailed process of modeling was described in modeling of batch condensation reaction of producing promoter for vulcanizing rubber. The simulation result proves that the approach is effective.

grey-box modeling; nonlinear system; system identification; batch reaction; structure approaching neural network

TQ 316.37

A

1672?7207(2011)02?0414?05

2010?02?02；

2010?04?25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60704011, 60974031)

曹柳林(1951?)，女，山西臨汾人，教授，博士生導(dǎo)師，從事聚合反應(yīng)過程的微觀建模與控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模與控制、自適應(yīng)控制與先進(jìn)控制等方向的研究；電話：010-64434930；E-mail：caoll@mail.buct.edu.cn