準(zhǔn)一維無序體系電子局域化及輸運(yùn)特性

宋招權(quán)，徐慧, 馬松山，劉小良

（中南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083）

準(zhǔn)一維無序體系電子局域化及輸運(yùn)特性

宋招權(quán)，徐慧, 馬松山，劉小良

（中南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083）

在單電子緊束縛近似下，利用多對(duì)角全隨機(jī)厄米矩陣算法，結(jié)合負(fù)本征值理論和無限階微擾理論及傳輸矩陣方法，研究準(zhǔn)一維多鏈無序體系中電子波函數(shù)局域化特性及其電子輸運(yùn)特性。研究結(jié)果表明：由于格點(diǎn)能量無序，準(zhǔn)一維多鏈無序體系電子波函數(shù)呈現(xiàn)出局域化特性；格點(diǎn)能量無序度減小會(huì)導(dǎo)致在中間能區(qū)發(fā)生退局域化現(xiàn)象，表現(xiàn)為在中間能區(qū)電子波函數(shù)的局域長(zhǎng)度大于體系格點(diǎn)數(shù)，即出現(xiàn)擴(kuò)展態(tài)，且出現(xiàn)擴(kuò)展態(tài)的能量區(qū)間隨著無序度的減小而增大的趨勢(shì)；同時(shí)，隨著鏈數(shù)的增加，體系有向退局域化方向發(fā)展的趨勢(shì)；在中間能區(qū)電子輸運(yùn)透射系數(shù)較大，而在低能區(qū)及高能區(qū)透射系數(shù)較小，同時(shí)，格點(diǎn)能量無序與維度效應(yīng)對(duì)體系的電子輸運(yùn)存在競(jìng)爭(zhēng)效應(yīng)，當(dāng)體系格點(diǎn)數(shù)及鏈數(shù)一定時(shí)，體系的透射系數(shù)隨著格點(diǎn)能量無序度的增大而減小，而當(dāng)體系格點(diǎn)數(shù)及格點(diǎn)能量無序度一定時(shí)，準(zhǔn)一維多鏈無序體系的透射系數(shù)隨著體系鏈數(shù)的增大而增大。

準(zhǔn)一維無序體系；電子局域化；電子輸運(yùn)

近年來，隨著納米科技和分子電子學(xué)的發(fā)展，碳納米管、納米線及DNA分子導(dǎo)線等一維、準(zhǔn)一維體系由于具有獨(dú)特的電學(xué)性能而具有廣闊的應(yīng)用前景，如可用作納米電子器件的導(dǎo)線、構(gòu)筑特殊的納電子元件（如場(chǎng)效應(yīng)管、電子開關(guān)）及生物分子器件等，同時(shí)，由于在碳納米管、納米線及DNA分子導(dǎo)線等低維體系電子材料和器件的生產(chǎn)、制備過程中不可避免地會(huì)存在雜質(zhì)態(tài)、缺陷等無序因素，而無序的引入會(huì)導(dǎo)致體系的電子波函數(shù)呈現(xiàn)局域化特性[1]，從而對(duì)其電子輸運(yùn)特性產(chǎn)生影響；因此，對(duì)于一維、準(zhǔn)一維等低維無序體系電子輸運(yùn)性質(zhì)的研究已成為國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)[2?6]。對(duì)于一維單鏈無序體系，其電子波函數(shù)是局域化的，電子只能通過熱激發(fā)，在不同局域態(tài)之間跳躍輸運(yùn)，而對(duì)于準(zhǔn)一維無序體系，在弱無序情況下，在能帶中心出現(xiàn)退局域化現(xiàn)象[7?8]；同時(shí)，由于現(xiàn)實(shí)的碳納米管、納米線及DNA分子導(dǎo)線等都有一定的寬度，準(zhǔn)一維無序模型更能反映其真實(shí)特征。因此，很多研究者注重于準(zhǔn)一維無序體系電學(xué)特性的研究。如Hjort等[9]利用傳輸矩陣方法研究了準(zhǔn)一維聚乙烯、聚乙炔等無序體系的電子波函數(shù)局域化現(xiàn)象；徐慧等[10?12]利用五對(duì)角隨機(jī)厄米矩陣的求解方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)準(zhǔn)一維無序體系的態(tài)密度及本征矢的數(shù)值計(jì)算；Gallos等[13]利用蒙特卡羅方法計(jì)算了準(zhǔn)一維無序體系電子的平均遷移率對(duì)溫度的依賴性；Ivanov等[14]計(jì)算研究了準(zhǔn)一維無序體系中具有很小能量差的幺正對(duì)稱態(tài)的局域態(tài)密度關(guān)聯(lián)函數(shù)。然而，人們對(duì)于準(zhǔn)一維體系中電子波函數(shù)的局域化特性的研究，特別是維度效應(yīng)對(duì)準(zhǔn)一維無序體系電子波函數(shù)局域化及電子輸運(yùn)的影響的研究很少。在此，本文作者通過構(gòu)建準(zhǔn)一維多鏈無序模型，在單電子緊束縛近似下，研究準(zhǔn)一維多鏈無序體系中電子波函數(shù)局域化特性及其電子輸運(yùn)特性。

1 模型與方法

對(duì)1個(gè)有k條平行鏈的準(zhǔn)一維無序系統(tǒng)（見圖1），考慮到雖然次近鄰格點(diǎn)間的相互作用對(duì)體系電子結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生附加的影響，但其影響相對(duì)最近鄰格點(diǎn)間的相互作用來說小近1個(gè)數(shù)量級(jí)[15]，因此，為了使問題簡(jiǎn)化，只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)間跳躍積分，即對(duì)第i個(gè)格點(diǎn)僅考慮它與i?k，i?1，i+1和i+k格點(diǎn)間的相互作用時(shí)，體系的哈密頓量可表示為[16]：

其中：N為體系的格點(diǎn)總數(shù)；Z為格點(diǎn)i最近鄰格點(diǎn)的數(shù)目；εi為第i格點(diǎn)的位能；tij為描述電子在i與j格點(diǎn)之間轉(zhuǎn)移的躍遷矩陣元。本研究只考慮對(duì)角無序，即εi取一組均勻分布在區(qū)間[?W/2,W/2]的隨機(jī)數(shù)，其中，W代表體系的格點(diǎn)能量無序度，非對(duì)角項(xiàng)tij取常數(shù)tij= ?1。

圖1 準(zhǔn)一維多平行鏈無序模型Fig.1 Model of quasi-one-dimensional disordered system

顯然，上述準(zhǔn)一維多鏈無序體系的哈密頓量可表示為一多對(duì)角的對(duì)稱矩陣，即：

利用多對(duì)角全隨機(jī)厄米矩陣算法結(jié)合負(fù)本征值理論[17?18]和無限階微擾理論[19]很容易求解其能量本征值及本征矢。對(duì)于每一能量本征值，其對(duì)應(yīng)的本征矢擴(kuò)展范圍λ（Ei）可表述示為：其中：ulmax為本征矢分量最大值；Li和Llmax分別為各本征矢分量和分量最大值對(duì)應(yīng)的格點(diǎn)。若電子波函數(shù)是局域化的，其擴(kuò)展范圍通常稱為波函數(shù)的局域長(zhǎng)度；因此，對(duì)應(yīng)于能量本征值Ei電子波函數(shù)局域長(zhǎng)度，可以通過數(shù)值計(jì)算得出。

同時(shí)，將體系重新編號(hào)。假定每條鏈所含原子個(gè)數(shù)都為l，且N=k×l，則沿鏈方向和垂直于鏈的方向建立坐標(biāo)后，體系中每個(gè)格點(diǎn)原子的坐標(biāo)可記為（m,n），其中，1≤m≤k，1≤n≤l。體系的電子波函數(shù)表示為格點(diǎn)軌道波函數(shù)的線性組合，體系的哈密頓量作用在波函數(shù)ψ上則可以將薛定諤方程Hψ=Eψ表示為：

因此，在整個(gè)體系兩端波函數(shù)的幅值可以表示為：

其中：T（E）為整個(gè)體系的總的透射系數(shù)[20?21]；Tm,n為進(jìn)入第m條鏈的電子從第n條鏈透射出來的概率。

2 計(jì)算結(jié)果與分析

對(duì)于無序體系，當(dāng)格點(diǎn)數(shù)達(dá)2×103時(shí)，其電子結(jié)構(gòu)已趨向穩(wěn)定，其電子波函數(shù)局域化特性及其局域態(tài)分布都具有很好的穩(wěn)定性[22]，因此，選擇包含3×103個(gè)格點(diǎn)的準(zhǔn)一維多鏈，計(jì)算其電子波函數(shù)局域化特性及其輸運(yùn)特性。

2.1 電子波函數(shù)局域態(tài)

在準(zhǔn)一維無序體系中，由于無序的存在，其電子波函數(shù)同樣呈現(xiàn)出局域化特性。計(jì)算了格點(diǎn)數(shù)量N= 3 000，且格點(diǎn)能量無序度W=1.0的準(zhǔn)一維三鏈無序體系電子波函數(shù)，如圖2所示。從圖2可見：對(duì)于本征能量為Ei= ?0.993 39 eV的電子態(tài)，其電子波函數(shù)被局限在一個(gè)有限的范圍內(nèi)，在其局域中心位置（格點(diǎn)857處）的電子波函數(shù)的分量最大，但隨著離局域中心位置距離的增大而迅速減小；因此，電子波函數(shù)分量的衰減快慢反映了其電子波函數(shù)的局域化程度，可以通過局域長(zhǎng)度來描述。

圖2 準(zhǔn)一維多平行鏈電子波函數(shù)的局域化Fig.2 Electronic localization of quasi-one-dimensional disordered system

2.2 電子波函數(shù)局域長(zhǎng)度

準(zhǔn)一維多平行鏈無序體系電子局域長(zhǎng)度與能量的關(guān)系如圖3所示。

由圖3（a）可知：當(dāng)格點(diǎn)原子數(shù)及鏈數(shù)確定時(shí)，隨著格點(diǎn)能量無序度的減小，在能區(qū)中間電子波函數(shù)的局域化程度減弱，局域長(zhǎng)度增大；當(dāng)W＜2.0時(shí)，在能區(qū)中央開始出現(xiàn)電子波函數(shù)局域長(zhǎng)度大于鏈長(zhǎng)現(xiàn)象（對(duì)格點(diǎn)總數(shù)為N=3 000，鏈數(shù)為k=3體系，每條鏈所含原子個(gè)數(shù)為1 000），即出現(xiàn)了擴(kuò)展態(tài)，并且隨著格點(diǎn)能量無序度的進(jìn)一步減小，電子波函數(shù)擴(kuò)展長(zhǎng)度進(jìn)一步擴(kuò)大，出現(xiàn)擴(kuò)展態(tài)的能量區(qū)間也呈增大的趨勢(shì)。由圖3（b）可知：在格點(diǎn)原子數(shù)及格點(diǎn)能量無序度一定時(shí)，當(dāng)鏈數(shù)較小時(shí)（如圖中k＜3的情況），在整個(gè)能量范圍內(nèi)電子波函數(shù)的局域長(zhǎng)度均小于系統(tǒng)的格點(diǎn)數(shù)，電子波函數(shù)局域化程度比較強(qiáng)。而對(duì)于k=5的多鏈無序體系，在中間一定的能量區(qū)間內(nèi)，存在著局域長(zhǎng)度大于鏈長(zhǎng)的擴(kuò)展態(tài)?？梢?，隨著鏈數(shù)的增加，體系有向退局域化方向發(fā)展的趨勢(shì)。這是因?yàn)椋涸诙噫滙w系中，相鄰格點(diǎn)原子之間的交疊積分的數(shù)目增加，擴(kuò)大了格點(diǎn)間短程關(guān)聯(lián)相互作用，而關(guān)聯(lián)的引入會(huì)導(dǎo)致體系出現(xiàn)退局域化現(xiàn)象[7?8]。雖然存在無序，體系電子波函數(shù)具有局域化的傾向，但當(dāng)無序度一定時(shí)，隨著關(guān)聯(lián)引入，中間能區(qū)可以出現(xiàn)擴(kuò)展態(tài)，體現(xiàn)了維度效應(yīng)的影響。

圖3 準(zhǔn)一維無序體系的局域長(zhǎng)度隨能量的變化Fig.3 Relationship between localization length and energy of quasi-one-dimensional system

2.3 準(zhǔn)一維多鏈無序體系的電子輸運(yùn)特性

準(zhǔn)一維多平行鏈無序體系透射系數(shù)與能量的關(guān)系如圖4所示。

圖4 準(zhǔn)一維無序體系的透射系數(shù)隨能量的變化Fig.4 Relationship between transmission coefficient and energy of quasi-one-dimensional system

由圖4可知，準(zhǔn)一維多鏈無序體系的透射系數(shù)總體上都呈現(xiàn)出在中間能區(qū)透射系數(shù)較大，而在低能區(qū)及高能區(qū)透射系數(shù)較小的特性。這是因?yàn)樵跍?zhǔn)一維多鏈無序體系的中間能區(qū)電子波函數(shù)局域化程度弱，電子波函數(shù)擴(kuò)展范圍大，所以，電子輸運(yùn)的透射系數(shù)也大。同時(shí)，由圖4（a）可知：當(dāng)體系格點(diǎn)數(shù)及鏈數(shù)一定時(shí)，準(zhǔn)一維多鏈無序體系的透射系數(shù)隨著格點(diǎn)能量無序度的增大而減小。正是由于存在無序，體系電子波函數(shù)呈現(xiàn)局域化的特性，無序度越大，電子波函數(shù)局域化程度越大；因此，隨著體系格點(diǎn)能量無序度的增大，體系電子輸運(yùn)的透射系數(shù)減小。而由圖4（b）可知：當(dāng)體系格點(diǎn)數(shù)及格點(diǎn)能量無序度一定時(shí)，準(zhǔn)一維多鏈無序體系的透射系數(shù)隨著體系鏈數(shù)的增大而增大，同樣體現(xiàn)了維度效應(yīng)的影響。一方面，隨著體系鏈數(shù)的增加，體系電子波函數(shù)發(fā)生退局域化現(xiàn)象，其局域化程度降低，擴(kuò)展范圍增大；另一方面，隨著體系鏈數(shù)的增加，體系電子輸運(yùn)的通道增加，同時(shí)，在格點(diǎn)數(shù)一定的情況下，鏈數(shù)越多，每條鏈上的格點(diǎn)原子數(shù)目越小，電子透射的距離越短，所以，體系電子輸運(yùn)透射系數(shù)隨著鏈數(shù)的增大而增大?？梢?，在準(zhǔn)一維無序體系，格點(diǎn)能量無序與維度效應(yīng)對(duì)體系的電子輸運(yùn)存在競(jìng)爭(zhēng)特性。

3 結(jié)論

（1） 準(zhǔn)一維多鏈無序體系中由于格點(diǎn)能量無序的存在，其電子波函數(shù)同樣呈現(xiàn)出局域化特性。

（2） 當(dāng)體系格點(diǎn)數(shù)及鏈數(shù)確定時(shí)，格點(diǎn)能量無序度的減小會(huì)導(dǎo)致在中間能區(qū)發(fā)生退局域化現(xiàn)象，表現(xiàn)為在中間能區(qū)電子波函數(shù)的局域長(zhǎng)度大于體系格點(diǎn)數(shù)，即出現(xiàn)擴(kuò)展態(tài)，且出現(xiàn)擴(kuò)展態(tài)的能量區(qū)間隨著無序度的減小而呈增大的趨勢(shì)；同時(shí)，隨著鏈數(shù)的增加，體系有向退局域化方向發(fā)展的趨勢(shì)。

（3） 準(zhǔn)一維多鏈無序體系的透射系數(shù)在中間能區(qū)較大，而在低能區(qū)及高能區(qū)透射系數(shù)較小；同時(shí)，格點(diǎn)能量無序與維度效應(yīng)對(duì)體系的電子輸運(yùn)存在競(jìng)爭(zhēng)效應(yīng)，當(dāng)體系格點(diǎn)數(shù)及鏈數(shù)一定時(shí)，準(zhǔn)一維多鏈無序體系的透射系數(shù)隨著格點(diǎn)能量無序度的增大而減小，當(dāng)體系格點(diǎn)數(shù)及格點(diǎn)能量無序度一定時(shí)，準(zhǔn)一維多鏈無序體系的透射系數(shù)隨著體系鏈數(shù)的增大而增大。

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（編輯 趙俊）

Characteristics of electronic localization and transportation in quasi-one-dimensional disordered systems

SONG Zhao-quan, XU Hui, MA Song-shan, LIU Xiao-liang
（School of Physical Science and Technology, Central South University, Changsha 410083, China）

Based on a tight-binding disordered model describing a single electron band, a model of quasi-onedimensional disordered systems with several chains was established using the negative eignvalue theory, infinite order perturbation theory and transfer matrix method. The characteristics of electronic localization and transportation in quasi-one-dimensional disordered systems with several chains were discussed. The results indicate that the electronic states of the quasi-one-dimensional disordered systems are localized due to energy disorder of the lattices. The localization length increases with the decrease of the strength of energy disorder of the lattices. At the energy band center, there exist some extent states whose localization lengths are lager than that of the atoms of the chains in weak disorder. Meanwhile, with the increase of the number of the chains, the delocalization can be found. In addition, the transmission coefficient of electron transportion in quasi-one-dimensional disordered system is much higher in the energy band center than that in high and low energy region, and decreases with the increase of the energy disorder degree of the lattices, but increases with the increase of the number of the chains.

quasi-one-dimensional disordered systems; electronic localization; electronic transportation

O482.4，TB303

A

1672?7207（2011）01?0125?05

2009?09?16；

2010?12?27

高等學(xué)校博士點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目（20070533075）；湖南省科技計(jì)劃項(xiàng)目（2009FJ3004）

徐慧（1958?），男，湖南常德人，博士，教授，從事材料性能計(jì)算模擬研究；電話：13907488179；E-mail： xuhui@mail.csu.edu.cn