用奇異函數(shù)建立變參數(shù)連續(xù)梁撓度統(tǒng)一方程的新方法

曾紀(jì)鵬

(華信郵電咨詢設(shè)計(jì)研究院有限公司，浙江杭州310014)

我們通常把δ函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)和各階積分的函數(shù)族稱為“奇異函數(shù)”，在式子中采用麥考利(W．H．Macauley)＜＞括號(hào)來表示［1］，奇異函數(shù)的最大優(yōu)越性是在處理不連續(xù)問題(例如荷載、構(gòu)件截面參數(shù)等)。以往的方法在處理不連續(xù)問題時(shí)，需要在間斷處分段，在每一段分別處理，然后在交接處通過邊界條件來求解，這樣求解的方法導(dǎo)致變量很多，計(jì)算過程復(fù)雜。而利用奇異函數(shù)來求解，不需要分段分別處理，可以列一個(gè)計(jì)算式子來統(tǒng)一表達(dá)，從而使問題能夠完整地、簡單地表述，在求解上也能夠得到很大的簡化，并且利于編制程序?qū)崿F(xiàn)電算化。

奇異函數(shù)于20世紀(jì)60年代開始在力學(xué)、振動(dòng)問題中得到應(yīng)用，而在我國，奇異函數(shù)于20世紀(jì)70年代末80年代初才得到廣泛地介紹，在力學(xué)領(lǐng)域的更廣泛的介紹和研究則是最近十多年來的探討的課題。我國在進(jìn)入20世紀(jì)90年代后，一些學(xué)者把奇異函數(shù)用于力學(xué)問題的求解，發(fā)表了一些學(xué)術(shù)論文，但論文數(shù)量仍然極少，把奇異函數(shù)更加深入地用于力學(xué)和結(jié)構(gòu)分析中還有待于進(jìn)一步研究。

在結(jié)構(gòu)的分析計(jì)算中，必須求解連續(xù)梁的內(nèi)力，以往的方法是要在不同荷載、截面變參數(shù)處分段，在不同段分別建立撓度方程，再聯(lián)立相鄰段的位移邊界條件來求解，整個(gè)過程煩瑣，邊界條件多。本文利用奇異函數(shù)，不再進(jìn)行分段求解，而是在全長范圍內(nèi)統(tǒng)一建立撓度微分方程，從而使計(jì)算大為簡化。

1 奇異函數(shù)的定義

奇異函數(shù)是指δ函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)和各階積分的函數(shù)族，可以用以下式子表達(dá)［1］:

當(dāng)n=0時(shí)稱為單位階躍函數(shù)，n=－1時(shí)稱為δ函數(shù)，它的基本微分、積分公式為:

微分公式:

2 用奇異函數(shù)表示集中量和分布量

(1)作用于x=xi的集中力Fi(見圖1a):

我們可以把集中力Fi視為當(dāng)h=(x－xi)→0時(shí)的分布力:

(2)作用于x=xi的集中力偶Mi(見圖1b):

(3)作用于區(qū)間(xi，xi+1)的分布集度為qi+1的分段橫向均布線荷載(見圖1c):

(4)階形變化量(見圖1d):

設(shè)在x=xi處構(gòu)件的截面尺寸或材料性質(zhì)發(fā)生變化(例如梁的抗彎剛度EI)，其改變量為C，利用單位階躍函數(shù)，可以寫出連續(xù)函數(shù)的形式［2］，表示為:

對受彎構(gòu)件，假設(shè)它的抗彎剛度EI沿整個(gè)構(gòu)件長度方向發(fā)生階形變化，截面抗彎剛度EI變化k次，令第t次的抗彎剛度的倒數(shù)(即柔度)的改變量為βt，稱為變?nèi)岫认禂?shù)［2、3］，則有:

圖1 荷載的線分布集度函數(shù)

其中，當(dāng)t=1時(shí)，有βt=，再令=0。

由式(8)可以寫出受彎構(gòu)件的變參數(shù)(抗彎剛度表現(xiàn)為EI發(fā)生改變)對構(gòu)件的影響:

3 用奇異函數(shù)表示結(jié)構(gòu)中連續(xù)梁、板的受力

圖2 計(jì)算簡圖

設(shè)有一根連續(xù)梁、板，計(jì)算簡圖如圖2。假設(shè)其上每跨受到均布線荷載，并且每跨上無集中力和集中力偶作用，截面有變參數(shù)表示為EI。再考慮到結(jié)構(gòu)中連續(xù)梁還要對活荷載進(jìn)行不利布置，在進(jìn)行活荷載不利內(nèi)力組合時(shí)，可在本文計(jì)算式中取相應(yīng)情況下的跨的線荷載集度為零或不為零即可。

由微分關(guān)系式:

對式(11)利用式(4)積分可得彎矩方程:

由梁的撓曲線方程:EIy″(x)=－M(x)，這里EI不再是常數(shù)，引入式(10)，可得:

4 兩個(gè)奇異函數(shù)連乘的簡化公式的推導(dǎo)

由式(14)可看出，方程是由兩個(gè)奇異函數(shù)乘積之后再求和的函數(shù)。為了簡化便于積分，我們由奇異函數(shù)的定義式(1)和單位階躍函數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則，可以通過運(yùn)算把分別具有下標(biāo)t和i的兩個(gè)奇異函數(shù)進(jìn)一步簡化，表示為只具有一個(gè)下標(biāo)s的奇異函數(shù)［2］，即:

其中:

其中:

現(xiàn)在我們可以把式(15)～式(17)代入式(14)，得:

其中:

從式(18)可以看出，對變參數(shù)構(gòu)件，變參數(shù)的影響通過系數(shù)βt和構(gòu)件上變參數(shù)的位置來體現(xiàn)，當(dāng)EI為常數(shù)時(shí)，只需取k=1即可。

當(dāng)利用式(18)求解時(shí)，假設(shè)式中的作用荷載qi(i=1，2，…i，…n)和截面參數(shù)EI的變化為已知，而支座反力Ri(i=0，1，2，…i，…n)為未知，可以參照文獻(xiàn)［4］的方法進(jìn)行求解，具體求解過程，讀者可參見文獻(xiàn)［4］。當(dāng)求解出所有的支座反力之后，我們可以對式(18)進(jìn)行積分，再利用式(12)即可求解出各處截面的剪力Q(xi)和彎矩M(xi)，畫出相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖。

5 結(jié)論

本文利用奇異函數(shù)的理論，對變參數(shù)連續(xù)梁的撓曲線方程進(jìn)行了推導(dǎo)，建立了連續(xù)梁撓曲線的統(tǒng)一方程，它克服了原來對變參數(shù)問題要進(jìn)行分段求解的不足，并且它的求解過程規(guī)整，有利于編制程序?qū)崿F(xiàn)電算化，為這類問題提供了新的思路和方法。奇異函數(shù)在力學(xué)領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用前景，把奇異函數(shù)更加深入地用于力學(xué)和結(jié)構(gòu)分析還有待于做進(jìn)一步的研究。

［1］王燮山．奇異函數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用［M］．科學(xué)出版社，1993

［2］徐彬．高層建筑結(jié)構(gòu)分析的奇異函數(shù)方法［D］．華南理工大學(xué)，2000

［3］徐彬．奇異函數(shù)建立高層結(jié)構(gòu)分析模型的方法及應(yīng)用［J］．昆明理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，25(6):106－109

［4］劉念超．奇異函數(shù)解幾種超靜定結(jié)構(gòu)［J］．長沙交通學(xué)院學(xué)報(bào)，1998，14(2):20－25

［5］荊振華．奇異函數(shù)在材料力學(xué)中的應(yīng)用［J］．遼寧省交通高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1997，5(1):52－58