由一道考題引出一類二次曲線的等角性質(zhì)

●陳重陽 (溫州中學(xué) 浙江溫州 325100)

由一道考題引出一類二次曲線的等角性質(zhì)

●陳重陽 (溫州中學(xué) 浙江溫州 325100)

翻閱2011年浙江省普通高中數(shù)學(xué)會(huì)考試卷，其中第41題第(2)小題引起了筆者的興趣．筆者對(duì)該題進(jìn)行探究后，引出了一類二次曲線的等角性質(zhì)，供參考．

1 引題

如圖1所示，圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0，2)，與x軸正半軸相交于點(diǎn)N，M(點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè))，且|MN|=3．

(1)求圓C的方程．

(2)過點(diǎn)N任作直線與圓O:x2+y2=4相交于點(diǎn) P，Q，連結(jié) PM，QM．求證:∠PMN=∠QMN．

分析 (2)由已知易得，N(1，0)，M(4，0)，要證∠PMN=∠QMN，只需證斜率kPM=－kQM，即證kPM+kQM=0，于是可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系

具體求解過程略．

2 激疑

圖1

圖2

3 追問

在圓錐曲線中是否也有相應(yīng)的等角性質(zhì)呢?筆者經(jīng)過探求，得到以下性質(zhì)定理．

圖3

證明設(shè)過點(diǎn)N的直線PQ的方程為x=ky+m(k為參變量)，則

(3)當(dāng) A=F=0，B=1，D= －2p時(shí)，二次曲線Γ表示拋物線:y2=2px，此時(shí)使等角性質(zhì)成立的定點(diǎn)是 M(－m，0)．

對(duì)任意二次曲線，也可通過變換得到相應(yīng)的性質(zhì)，這里不再贅述．

［1］ 聞杰．圓錐曲線結(jié)構(gòu)思想與解題策略［M］．杭州:浙江大學(xué)出版社，2010．