簡(jiǎn)論學(xué)生數(shù)學(xué)編題策略

●牟素珍 (城北中學(xué) 浙江樂(lè)清 325600) ●吳立建 (樂(lè)清市教研室 浙江樂(lè)清 325600)

簡(jiǎn)論學(xué)生數(shù)學(xué)編題策略

●牟素珍 (城北中學(xué) 浙江樂(lè)清 325600) ●吳立建 (樂(lè)清市教研室 浙江樂(lè)清 325600)

學(xué)生編題到目前為止還沒(méi)有明確和統(tǒng)一的定義，仁者見(jiàn)仁、智者見(jiàn)智．筆者認(rèn)為學(xué)生編題是根據(jù)自己對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，在給出某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基礎(chǔ)上，進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造后，編擬出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題．學(xué)生編題的過(guò)程是從一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題出發(fā)，逐步演繹深化、探究創(chuàng)新的過(guò)程．讓學(xué)生編題不僅可以加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，而且有助于培養(yǎng)思維的獨(dú)立性和創(chuàng)造性;對(duì)防止題海戰(zhàn)術(shù)，提高課堂效率也大有裨益．因此，筆者結(jié)合自己的所教、所感談?wù)剬W(xué)生數(shù)學(xué)編題策略，供參考．

1 擬制題

擬制題一般以原有題為基礎(chǔ)，對(duì)其進(jìn)行一定變形后成為另一形式的題，俗稱為改編題．這樣可以通過(guò)對(duì)典型題進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠饰?、深入研究、充分演變，揭示其深刻性，領(lǐng)悟其奧妙性．

1．1改變問(wèn)題的條件

改變問(wèn)題的條件，就是對(duì)某一個(gè)問(wèn)題的條件進(jìn)行變化探討，并針對(duì)問(wèn)題的內(nèi)涵與外延進(jìn)行深入與擴(kuò)展，得到一類變式題組．通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析解決，掌握某類問(wèn)題的題型結(jié)構(gòu)，深入認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的連動(dòng)性和變通性．

例1如圖1，一只螞蟻從棱長(zhǎng)為2的正方體的頂點(diǎn)A爬到與它相距最遠(yuǎn)的另一個(gè)頂點(diǎn)G，則螞蟻爬行的最短路程是多少?

變化1如圖2，一只螞蟻從長(zhǎng)為3、寬為1、高為2的長(zhǎng)方體頂點(diǎn)A爬到與它相距最遠(yuǎn)的另一個(gè)頂點(diǎn)G，則螞蟻爬行的最短路程是多少?

圖1

圖2

變化2如圖3，圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，一只螞蟻從底面圓周上的點(diǎn)B出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行到圓錐AB的軸截面上的另一母線AC的中點(diǎn)D，問(wèn)螞蟻沿怎樣的路線爬行，可使路程最短，最短路程是多少?

(浙教版九年級(jí)上冊(cè)93頁(yè)練習(xí)題)

變化3如圖4，螞蟻從圓柱母線AB的端點(diǎn)A沿著圓錐側(cè)面爬到點(diǎn)B，若圓柱底面半徑為1，高為3，則螞蟻爬行的最短路程是多少?

圖3

圖4

編題意圖此題將引例中的正方形演變?yōu)殚L(zhǎng)方形、圓錐、圓柱，通過(guò)對(duì)螞蟻爬行的最短路程的求解，掌握立體圖形上兩點(diǎn)之間最短距離的求法．就是把立體圖形展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面圖形，再利用兩點(diǎn)之間線段最短去求解．

在擬制時(shí)，可以嘗試把問(wèn)題條件中的圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可將特殊圖形向普通圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化;特殊圖形(如特殊的三角形)之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化;三角形的角平分線向高線、中線轉(zhuǎn)化;看是否還存在某些相同的方法或結(jié)論．也可對(duì)條件中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行改變．

1．2 改變問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方向

改變問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方向，就是針對(duì)綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生將其分解為幾個(gè)基本問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基本問(wèn)題的求解，逐步達(dá)到解決問(wèn)題的目的．當(dāng)一個(gè)問(wèn)題獲得解決后，啟發(fā)探索問(wèn)題解決后產(chǎn)生的一系列更深刻的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性．例如在初三專題復(fù)習(xí)時(shí)擬制了如下題目:

圖5

例2已知在△ABC中，∠B=90°，O 是 BA上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓與BA交于點(diǎn) E，與 AC切于點(diǎn) D，AD=2，BE=3，如圖 5．設(shè) P 是線段BA上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) P與點(diǎn) A，B不重合)，BP=x．

(1)求AE的長(zhǎng);

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，以P，A，D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?

變化1當(dāng)x為何值時(shí)，以P，A，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?

變化2當(dāng)x為何值時(shí)，PD+PC的和最小?

變化3當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形PBCD的面積與x有何關(guān)系?

編題意圖把知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合與滲透，讓學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)與技巧，去解決有關(guān)問(wèn)題．并掌握解決動(dòng)態(tài)幾何型問(wèn)題的策略:化動(dòng)為靜——利用運(yùn)動(dòng)中特殊點(diǎn)的位置將圖形分類;靜中求動(dòng)——針對(duì)各類圖形，分別解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題．

改變習(xí)題的設(shè)問(wèn)方向，進(jìn)行多角度、多方位、多層次的討論和思考，使知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，從而建立起高效、合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，更好地培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

1．3 變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)

變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，就是以基本圖形為“基準(zhǔn)點(diǎn)”，通過(guò)基本圖形的運(yùn)動(dòng)，將一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成更一般的問(wèn)題，把所研究的圖形擴(kuò)展到更大范圍內(nèi)進(jìn)行考查，開(kāi)闊解決問(wèn)題的視野，培養(yǎng)舉一反三、觸類旁通的思維品質(zhì)和創(chuàng)新精神．以浙教版八年級(jí)上冊(cè)第27頁(yè)練習(xí)2為例:

如圖6，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到AB和AC的距離相等．請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖6

圖7

變化1如圖7，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(中點(diǎn)除外)，則點(diǎn)D到AB和AC的距離相等嗎?當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B或點(diǎn)C重合時(shí)，你發(fā)現(xiàn)了什么?

圖8

圖9

如果讓點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到CB的延長(zhǎng)線上(如圖8)，結(jié)果如何?再進(jìn)一步，若點(diǎn)D是正三角形內(nèi)(如圖9)或外(如圖10)的一點(diǎn)，關(guān)于高線之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

編題意圖不斷的變換問(wèn)題的條件和結(jié)論，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用“同一圖形的面積相等，表示方法不同”證明一類含有線段的等式，揭示問(wèn)題的實(shí)質(zhì)與條件、結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系．

由于運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致圖形的形狀發(fā)生變化，從而導(dǎo)致數(shù)量關(guān)系的變化，而這種數(shù)量關(guān)系恰好就是問(wèn)題所研究的．通過(guò)探究問(wèn)題實(shí)質(zhì)的變與不變，學(xué)會(huì)從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律．

圖10

1．4 從具體到一般

從具體到一般就是將原問(wèn)題的條件在元素的數(shù)量上或幾何緯度上進(jìn)行推廣以尋求更普遍的規(guī)律;幾何中常表現(xiàn)為線段或邊數(shù)、角度的增加;代數(shù)中常表現(xiàn)為變量個(gè)數(shù)的遞增、常量向變量的轉(zhuǎn)換，從而培養(yǎng)學(xué)生的變換能力及思維的靈活性和多向性．以浙教版教科書(shū)七年級(jí)上冊(cè)第156頁(yè)練習(xí)3(1)為例:

在圖11中有幾條線段?把它們都寫(xiě)出來(lái)．

變化1如圖12，在直線a上取n個(gè)不同的點(diǎn)，那么直線a上一共有多少條線段?

圖11

圖12

圖13

變化2如圖13，若變成角，則圖中一共有多少個(gè)銳角?

變化3平面內(nèi)n個(gè)不同的點(diǎn)中任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，那么過(guò)其中每2個(gè)點(diǎn)畫(huà)直線，一共可以畫(huà)出幾條直線?

變化4一次聚會(huì)出席的每位代表都和其他代表各握過(guò)一次手，統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，一共握手45次，問(wèn)參加聚會(huì)的代表有多少人?

(浙教版教科書(shū)八年級(jí)下冊(cè)第33頁(yè)練習(xí)5)

編題意圖在解決復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)尋找其特有的規(guī)律，這樣才能做到不重不漏．從本題可以看出，有時(shí)記住一些常見(jiàn)且有用的知識(shí)結(jié)論，可以迅速、有效的聯(lián)系問(wèn)題中的未知與已知，從而達(dá)到解題的目的．

在找規(guī)律過(guò)程中，會(huì)涉及到一個(gè)或者幾個(gè)變化的量，通常按照一定的順序給出，且包含事物的序列號(hào)，要善于總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并按規(guī)律去解題．相近、相似的同類數(shù)學(xué)題可從中領(lǐng)略多題一解、異形同解的妙趣．

2 編制題

編制題就是學(xué)生根據(jù)自己的體驗(yàn)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造出新的練習(xí)題，一般要對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行抽象加工，俗稱原創(chuàng)題．學(xué)生除了要具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)外，還要具備一定的生活常識(shí)、想像力及創(chuàng)造力．

2．1 編制基礎(chǔ)知識(shí)題

新知識(shí)點(diǎn)若不經(jīng)過(guò)及時(shí)的復(fù)習(xí)、反思，則很容易遺忘．?dāng)?shù)學(xué)復(fù)習(xí)從梳理基礎(chǔ)知識(shí)入手，通過(guò)對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行加工、整理，并納入相應(yīng)的“知識(shí)庫(kù)”，使之結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，形成“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)”．這樣，運(yùn)用時(shí)可準(zhǔn)確、迅捷地從“知識(shí)庫(kù)”中提取有效的知識(shí)信息解決問(wèn)題，進(jìn)而掌握《課程標(biāo)準(zhǔn)》中應(yīng)掌握的知識(shí)，形成《課程標(biāo)準(zhǔn)》中應(yīng)形成的能力．例如在復(fù)習(xí)“等腰三角形的性質(zhì)”時(shí)，可這樣編制:

問(wèn)題1已知在△ABC中，AB=AC，你可得出什么結(jié)論?

問(wèn)題2在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，你能求出△ABC的面積嗎?

問(wèn)題3如圖14，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)MH⊥AB于點(diǎn)H，ME⊥AC于點(diǎn)E則MH=ME?如果點(diǎn)M為BC上的動(dòng)點(diǎn)，那么結(jié)論還成立嗎?，，

圖14

問(wèn)題4在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在AC上，D是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD=AE，DE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，則DF⊥BC嗎?

編題意圖進(jìn)一步理解和掌握等腰三角形的知識(shí)要點(diǎn)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．在解題過(guò)程中，不斷學(xué)習(xí)和積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

對(duì)于編制基礎(chǔ)知識(shí)題，學(xué)生應(yīng)先對(duì)照教材把知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)地梳理一遍，然后根據(jù)重點(diǎn)、難點(diǎn)，設(shè)計(jì)有層次、有梯度、題型多變的練習(xí)題，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)、梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高自主學(xué)習(xí)的能力．

2．2 編制實(shí)際應(yīng)用題

對(duì)于編制實(shí)際應(yīng)用題，一般是用一段文字描述一個(gè)與自己生活經(jīng)驗(yàn)貼近的故事或事件．它需要學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的方法了解世界，逐步學(xué)會(huì)“做數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)地思考”．

2．2．1 將生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化

將生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，就是學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決日常生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題．它需要學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察周圍的生活現(xiàn)象，思考能否用數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、觀點(diǎn)和思想去解決所遇到的問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．筆者在初三總復(fù)習(xí)講解“如何解決實(shí)際問(wèn)題”時(shí)，曾給出2個(gè)數(shù)據(jù)讓學(xué)生嘗試編題:

教師看見(jiàn)一家商店廣告上醒目地寫(xiě)著大削價(jià):大杯10元/只，小杯8元/只．現(xiàn)在請(qǐng)你添加合理的情境和數(shù)據(jù)，使之成為一個(gè)完整的實(shí)際問(wèn)題，并能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決．

在教學(xué)過(guò)程中，把學(xué)生編制的以下問(wèn)題作為研究對(duì)象:

(1)王老師買(mǎi)了13只杯子作為運(yùn)動(dòng)會(huì)的獎(jiǎng)品．已知大杯10元/只，小杯8元/只，共花了114元．請(qǐng)問(wèn):王老師買(mǎi)了大杯、小杯各幾只?

(2)小明“五一”節(jié)去超市買(mǎi)杯子，其中大杯10元/只，小杯8元/只，付了30元找回2元，問(wèn)小明買(mǎi)了幾個(gè)杯子?

(3)冰冰準(zhǔn)備在家舉辦生日晚會(huì)．她去買(mǎi)杯子，大杯10元/只，小杯8元/只．總共買(mǎi)15只杯子．如何買(mǎi)才能使總價(jià)格不超過(guò)120元?

(4)某商店水杯的進(jìn)價(jià)為4元/只，售價(jià)為10元/只，每天可賣100只．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每降價(jià)1元，每天可多售出20只，問(wèn)單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲利最大?

從學(xué)生熟悉的生活情景出發(fā)，選擇學(xué)生身邊感興趣的事物，提出有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以激發(fā)學(xué)生的興趣與動(dòng)機(jī)，使學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系．

2．2．2 將數(shù)學(xué)問(wèn)題生活化

現(xiàn)實(shí)生活是數(shù)學(xué)的豐富源泉，只要細(xì)心觀察就不難發(fā)現(xiàn)，生活中到處都有數(shù)學(xué)知識(shí)．我們可以把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中去，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活的樂(lè)趣．例如在復(fù)習(xí)“圓的基本性質(zhì)”時(shí)可這樣編題:

2011年3月11日，日本氣象廳表示，當(dāng)?shù)貢r(shí)間14時(shí)46分，日本東北部海域發(fā)生里氏8．9級(jí)地震并引發(fā)海嘯，造成重大人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失．

問(wèn)題1受11日大地震的影響，日本東京電力公司福島第一核電站3號(hào)機(jī)組當(dāng)?shù)貢r(shí)間14日上午11點(diǎn)過(guò)后發(fā)生氫氣爆炸．在爆炸中某排污管道井蓋炸裂(如圖15)，你能盡快找出圓心的位置嗎?

問(wèn)題2如圖14，經(jīng)過(guò)測(cè)量得井蓋的直徑為2 m，在福島電站工作人員的搶修下，井蓋在當(dāng)天下午3點(diǎn)修復(fù)好．安裝時(shí)發(fā)現(xiàn)污水正快速流出，此時(shí)的液面寬度剛好為1．5 m(如圖16)，請(qǐng)你求出污水的最大深度．

圖15

圖16

圖17

問(wèn)題3半小時(shí)后，井蓋裝好．晚上7時(shí)工作人員通過(guò)電腦顯示發(fā)現(xiàn)污水管液面已恢復(fù)到正常深度水位1．6 m(如圖17)，你能求出此時(shí)液面CD的寬嗎?

在現(xiàn)實(shí)世界中，我們要開(kāi)闊視野、拓展思維，認(rèn)真地鉆研教材，用生活中的事情呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)生活情境，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與日常生活的密切聯(lián)系．

以上編題的方法在實(shí)際運(yùn)用中可以互相結(jié)合、靈活運(yùn)用．在編題時(shí)，要目的明確、表述清楚、準(zhǔn)確無(wú)誤、設(shè)問(wèn)可解．在此基礎(chǔ)上，盡量突出習(xí)題的應(yīng)用性、層次性、開(kāi)放性．通過(guò)編題，讓學(xué)生在無(wú)窮的變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，在曼妙的演變中體會(huì)數(shù)學(xué)的快樂(lè)，自覺(jué)地學(xué)習(xí)和感悟數(shù)學(xué)，從而促進(jìn)有效建構(gòu)．

［1］ 王偉．?dāng)?shù)學(xué)變式百例精講［M］．寧波:寧波出版社，2006．

［2］ 徐衛(wèi)東．變式習(xí)題 變換思維［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教育，2009(7-8):63-65．

［3］ 王明山．題的理解進(jìn)展探究［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2011(1):42-45．