222002 江蘇省連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 姜 洋
面積比條件下的中考?jí)狠S題探究
222002 江蘇省連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 姜 洋
面積比條件下的問(wèn)題是指在圖形的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中,兩個(gè)圖形滿足一定的比值,從而在平面直角坐標(biāo)系中探求某點(diǎn)的坐標(biāo)、某直線的解析式、某拋物線的解析式等等.這樣的問(wèn)題常常作為中考?jí)狠S題,或作為壓軸題的一個(gè)子問(wèn)題出現(xiàn).本文對(duì)2010年的這類中考題進(jìn)行問(wèn)題的重構(gòu)(再發(fā)現(xiàn)、再發(fā)明),親歷問(wèn)題(可能)的生長(zhǎng)過(guò)程;自覺(jué)運(yùn)用波利亞的“解題表”中的回顧反思環(huán)節(jié),融會(huì)貫通面積問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維,以提高解決這類中考?jí)狠S題的有效度.
問(wèn)題1 (2010年深圳)如圖1,拋物線y=ax2+c(a>0)經(jīng)過(guò)梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn),梯形的底AD在x軸上,其中 A(-2,0),B(-1,-3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M到A,B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí),求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)在第(2)問(wèn)的結(jié)論下,拋物線上的點(diǎn)P使S△PAD=4S△ABM成立,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
圖1
解 求得拋物線的解析式為 y=x2-4,點(diǎn) M(0,-2).由于△AOM,△BNM 都為等腰直角三角形,從而△ABM是直角三角形,求出S=×2×=2.如
△ABM圖 2,由于 S△PAD=4S△ABM,可求得△ADP的邊AD上的高為4,從而點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是4或-4,代入拋物線解析式得 P1(2,4),P2(- 2,4),P3(0,-4).
圖2
問(wèn)題2 (改編于2010年成都市中考?jí)狠S題)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-3,0),B(-1,0),C(0,3),點(diǎn) P 是線段 AC 上一點(diǎn),設(shè)△ABP,△BPC 面積分別是 S△ABP,S△BPC,且 S△ABP:S△BPC=2∶3,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
解 根據(jù)高相同,三角形面積之比等于底之比,S△ABP∶S△BPC=2 ∶3,稍作轉(zhuǎn)化可得點(diǎn)P將線段 AC分割為2∶3.過(guò)點(diǎn)P作x,y軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)D,E.PD與CO組成A型,AP ∶AC=2 ∶5,從而 PD ∶CO=2 ∶5,可求出 PD=;同理PE=
圖3
將問(wèn)題2稍作拓展:
問(wèn)題3 將問(wèn)題1中的“點(diǎn)P是線段AC上一點(diǎn)”改為“點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)”.
解 此時(shí)點(diǎn)P可能出現(xiàn)在線段AC的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上.當(dāng)點(diǎn) P在線段 AC的延長(zhǎng)線上時(shí),S△ABP>S△BPC,與題意不符;當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的反向延長(zhǎng)線上時(shí),S△ABP< S△BPC,則一定會(huì)出現(xiàn) S△ABP∶S△BPC=2 ∶3.仍然是過(guò)點(diǎn)P作x,y軸的垂線,垂足分別為點(diǎn) D,E,構(gòu)造A型或X型求解得 P(-9,-6).因此點(diǎn) P的坐標(biāo)為(),(-9,-6).
點(diǎn)評(píng) 問(wèn)題1中,△ABM是確定的,即靜止不動(dòng)的,而△ADP是底靜止,點(diǎn)P待定,有了以上的動(dòng)靜分析,根據(jù)面積比列出方程就容易了.問(wèn)題2中,△ABC是靜止不動(dòng)的,而直線PB繞著定點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),從而△ABP,△BPC變化運(yùn)動(dòng).△ABP,△BPC分別以AP,PC為底,則高相同,面積比轉(zhuǎn)化為線段比,從而點(diǎn)P易求.
問(wèn)題4 將問(wèn)題1中的“點(diǎn)P是線段AC上一點(diǎn)”改為“點(diǎn)P在直線x=-5上”.
解 設(shè)點(diǎn)P(-5,t),直線x=-5與x軸的交點(diǎn)為D.
情況1 當(dāng) t≥0時(shí),如圖4,直接求△BPC的面積很困難,轉(zhuǎn)而用四邊形PDOC的面積減去△BPD(若 t=0,則 S△BPD=0),△BOC 的面積,從而
圖4
由于 S△ABP∶S△BPC=2 ∶3,
建立方程,解得 t=6,即 P(-5,6).
當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí),要注意特殊情況:點(diǎn)P與AC共線(此時(shí)t=-2),點(diǎn)P與BC共線(此時(shí)t=-12).
情況2 當(dāng) -2<t<0時(shí),如圖5,設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)E,由PD與CO構(gòu)造的X型,求得DE=,BE=4 -DE=
從而 S△ABP= - t,S△BPC=S+S=12+t.
△BEC△BEP2
圖5
由 S△ABP:S△BPC=2 ∶3,解得 t= -3,即 P(-5,-3).
這里我們發(fā)現(xiàn)t=-3不符合情況2的條件,應(yīng)當(dāng)舍去.但是仔細(xì)觀察,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)-12<t<-2時(shí),解題的方法及最后所構(gòu)成的方程不變,所以分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)調(diào)整.預(yù)想的“情況3,當(dāng) -12<t< -2時(shí)”不需要,t= -2不應(yīng)作為分類的標(biāo)準(zhǔn).應(yīng)與情況2合并,情況2的條件應(yīng)改為“-12<t<0”結(jié)論是 t= -3,即 P(-5,-3).
點(diǎn)評(píng) (1)情況3舍去的t=6恰好與情況1的結(jié)果相同,這是偶然的,還是必然的呢?其實(shí)當(dāng)t>3時(shí),直線PC與x軸交于點(diǎn)E,運(yùn)用與情況2,3相同的方法,所構(gòu)造的方程與情況3恰好是同解的.
(2)求解S△BPC的方法中,情況1與2,3不同,而情況2,3的方法具有一般性.若按照情況2,3采用構(gòu)造點(diǎn)E(直線PC與x軸的交點(diǎn))的方法,分類的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)調(diào)整,分為t>3;t=3;0<t<3;-12<t<0;t< -12五種情況.
(3)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)不是一蹴而就的,教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)將分類的原因及分類的標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)生過(guò)程體現(xiàn)出來(lái),促進(jìn)學(xué)生生成數(shù)學(xué)體驗(yàn).
問(wèn)題5 將問(wèn)題1中的“點(diǎn)P是線段AC上一點(diǎn)”改為“點(diǎn)P在直線y=x+8上”.
類比問(wèn)題4,解決此題學(xué)生會(huì)更加充滿自信.
點(diǎn)評(píng) 問(wèn)題串的設(shè)置不僅能讓學(xué)生在探求三角形的面積時(shí)更具有技巧性,例如靈活地將目標(biāo)三角形與周圍的圖形結(jié)合成一個(gè)規(guī)則的整體,而且問(wèn)題2,3,4的逐步深入可以滿足不同層次的學(xué)生的需要.
問(wèn)題6 (2010年陜西省中考?jí)狠S題)問(wèn)題探究
(1)請(qǐng)你在圖6中作一條直線,使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分;
(2)如圖7點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn),請(qǐng)你在圖5中過(guò)點(diǎn)M作一條直線,使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分.
問(wèn)題解決
圖6
圖7
如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中,直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)用地示意圖,其中 DC∥OB,OB=6,CD=4,開(kāi)發(fā)區(qū)綜合服務(wù)管理委員會(huì)(其占地面積不計(jì))設(shè)在點(diǎn) P(4,2)處.為了方便駐區(qū)單位準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)P修一條筆直的道路(路寬不計(jì)),并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分,你認(rèn)為直線l是否存在?若存在求出直線l的表達(dá)式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
圖8
解 (1)如圖6;
(2)如圖7連接AC,BC相交于P,則P為矩形對(duì)稱中心.作直線MP,直線MP即為所求.
如圖8存在直線l,過(guò)點(diǎn)D作DA⊥OB,垂足為點(diǎn)A,則點(diǎn)P(4,2)為矩形ABCD的對(duì)稱中心.從而過(guò)點(diǎn)P的直線只要平分△DOA的面積即可.易知,在OD邊上必存在點(diǎn)H使得PH將△DOA面積平分,則直線PH平分梯形OBCD的面積,即直線PH為所求直線l.
設(shè)直線PH的表達(dá)式為y=kx+b,且過(guò)點(diǎn)P(4,2).
∴ 2=4k+b,即 b=2-4k;∴ y=kx+2-4k;
∵直線OD的表達(dá)式為y=2x,
而PH與線段AD的交點(diǎn)F(2,2-2k),
點(diǎn)評(píng) 從圖7遷移到圖8,學(xué)生還是比較困難的.一方面是因?yàn)閳D6,圖7運(yùn)用幾何作圖的方法找到了等積分割線,而圖6中梯形OBCD或△ODA不是中心對(duì)稱圖形,則它沒(méi)有中心,運(yùn)用同樣的幾何作圖法找到等積分割線很困難,圖8運(yùn)用了代數(shù)方法——待定系數(shù)法,或者稱之為解析法.另一方面,圖7中只是一個(gè)矩形(一個(gè)整體)利用中心找等積分割線,圖8則需要將原圖形轉(zhuǎn)化為兩部分來(lái)看待,學(xué)生不易轉(zhuǎn)化出來(lái),而點(diǎn)P恰恰是矩形ABCD的中心,這也是不易觀察出來(lái).
其實(shí)點(diǎn)P是否是矩形ABCD的中心并不是問(wèn)題的關(guān)鍵.若點(diǎn)P不是矩形ABCD的中心,則設(shè)HP交BC于點(diǎn)I,求出點(diǎn)I坐標(biāo),再求四邊形CDFI(可能是梯形或平行四邊形)的面積,四邊形CDFI與△DHF的面積之和等于梯形OBCD面積的一半,可構(gòu)造方程解決問(wèn)題.顯然以上的解析法具有一般性,不會(huì)因?yàn)辄c(diǎn)P的位置受到改變.但是點(diǎn)P的位置不同,可能導(dǎo)致等積分割線與梯形OBCD的交點(diǎn)位置不確定.
類比問(wèn)題6,我們可以將點(diǎn)P設(shè)置在梯形周長(zhǎng)上,形內(nèi),形外.
問(wèn)題7 在問(wèn)題6的條件下,試求過(guò)邊OD中點(diǎn)的面積平分線.
問(wèn)題8 在問(wèn)題6的條件下,試求過(guò)點(diǎn)(3,2)的面積平分線.
問(wèn)題9 在問(wèn)題6的條件下,試求過(guò)點(diǎn)(-1,0)的面積平分線.
點(diǎn)評(píng) 從問(wèn)題6到問(wèn)題7,8,9體現(xiàn)了問(wèn)題變化生長(zhǎng)的過(guò)程,突出方法的本質(zhì)不變性,而解析法的探究應(yīng)用反映了高觀點(diǎn)知識(shí)的滲透,為將來(lái)的高中學(xué)習(xí)作好理解上的鋪墊.
問(wèn)題10 (2010年天津)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為E.
(1)若b=2,c=3,求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)將(1)中的拋物線向下平移,若平移后,在四邊形ABEC中滿足 S△BCE=S△ABC,求此時(shí)直線 BC的解析式;
(3)將(1)中的拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭?,若平移后,在四邊形ABEC中滿足S△BCE=2S△AOC,且頂點(diǎn)E恰好落在直線y=-4x+3上,求此時(shí)拋物線的解析式.
圖9
解法1 (1)求得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,即y= -(x-1)2+4,拋物線頂點(diǎn) E的坐標(biāo)為(1,4).
(2)將(1)中的拋物線向下平移,則頂點(diǎn)E在對(duì)稱軸x=1上,有b=2,
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+c(c>0).
∴此時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)為C(0,c),頂點(diǎn)為E(1,1+c).
如圖10,過(guò)點(diǎn)E作EF∥CB與x軸交于點(diǎn)F,連接CF,則 S△BCE=S△BCF.
(3)根據(jù)題意,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 E(h,k)(h>0,k>0),則拋物線的解析式為 y=-(x-h(huán))2+k,此時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)為C(0,-h(huán)2+k),與x軸的交點(diǎn)為A(h-,0),B(h+,0)>h>0).
過(guò)點(diǎn)E作 EF∥CB與 x軸交于點(diǎn) F,連接 CF,則S△BCE=S△BCF.由 S△BCE=2S△AOC,∴ S△BCF=2S△AOC.得 BF=2AO=2(-h(huán)).
設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D,
點(diǎn)評(píng) (Ⅰ)(2)中通過(guò)等積變換構(gòu)造了點(diǎn)F,從而構(gòu)造了△EDF,利用Rt△EDF∽R(shí)t△COB構(gòu)造方程.這樣的解題思路比較精妙,筆者反思這樣的方法學(xué)生能想到嗎?能否有其它的方法呢?
解法2 采用“合”的方法,將△BCE與△OBC結(jié)合成一個(gè)整體,得四邊形OBEC,四邊形OBEC又可以看作梯形ODEC與△DBE結(jié)合而成,從而
解法3 采用“分”的方法,將△BCE分割成△GEC和△GEB兩部分.設(shè)BC與ED交于點(diǎn)G,GD∥CO,構(gòu)成A型,求得GD=1+c-,EG=DE -GD=從而
筆者認(rèn)為解法2、3種更合理、簡(jiǎn)潔.
(Ⅱ)顯然第解法2、3思路種在(3)中也是可行的,留給讀者解決,本文不再贅述.
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最佳途徑是反璞歸真,在學(xué)習(xí)者的頭腦中,經(jīng)歷知識(shí)(可能的)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程,需要教師為之設(shè)計(jì)一個(gè)知識(shí)可能的生長(zhǎng)過(guò)程,使學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程,像歷史在戲劇中的重演.設(shè)計(jì)(可能的)知識(shí)生長(zhǎng)過(guò)程,可以通過(guò)參與研究,從做數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué),積累豐富的經(jīng)歷.雖然數(shù)學(xué)問(wèn)題變化多端,但總有共性,數(shù)學(xué)研究的經(jīng)歷、經(jīng)驗(yàn),具有一般性,日常解題和重大數(shù)學(xué)發(fā)明發(fā)現(xiàn)之間,并沒(méi)有不可逾越的鴻溝(波利亞語(yǔ)).可見(jiàn),研究的經(jīng)歷有助于數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計(jì).
面積比條件下的中考?jí)狠S題屬于高認(rèn)知水平任務(wù),從教師的教學(xué)方式方面分析,不是要求教師進(jìn)行透徹講解或包辦代替學(xué)生的思維,而是要求教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)適合于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問(wèn)題情境,以利于學(xué)生探索,探索過(guò)程中教師通過(guò)適時(shí)的介入、引導(dǎo)、啟發(fā)與點(diǎn)撥,為學(xué)生提供教練式的教學(xué)支援,并與學(xué)生相互交流、共同進(jìn)行研究和評(píng)價(jià),同時(shí)還要對(duì)自己的思維方向及學(xué)生的探究活動(dòng)進(jìn)行適時(shí)調(diào)控以保持任務(wù)的高認(rèn)知水平.
20110323)