GRACE時(shí)變重力位系數(shù)誤差的改進(jìn)去相關(guān)算法

詹金剛，王 勇，郝曉光

1.中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所，湖北武漢430077；2.中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京100049

1 引 言

重力場(chǎng)及其變化反映了地球表層和內(nèi)部的物質(zhì)密度分布及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因此，根據(jù)重力場(chǎng)的時(shí)空變化，可以推演和監(jiān)測(cè)地球系統(tǒng)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)和交換過(guò)程。過(guò)去，人們主要通過(guò)地面重復(fù)重力測(cè)量獲得重力場(chǎng)隨時(shí)間的變化信息。由于地面連續(xù)重力觀測(cè)站點(diǎn)相對(duì)較少，高精度的重復(fù)重力觀測(cè)又較耗時(shí)，難以獲得連續(xù)的時(shí)空重力場(chǎng)信息。2002年GRACE的成功運(yùn)行使得研究地球重力場(chǎng)隨時(shí)間的變化信息成為現(xiàn)實(shí)。起初，由于GRACE資料解算得到的時(shí)變重力場(chǎng)的精度較差以及資料積累的周期較短，主要利用GRACE資料驗(yàn)證和研究大尺度上的重力季節(jié)變化［1－9］，國(guó)內(nèi)也有一些學(xué)者利用GRACE資料對(duì)重力場(chǎng)的恢復(fù)方法、仿真及在海平面變化中的應(yīng)用等方面進(jìn)行研究并取得一定成果［10－12］。隨著重力場(chǎng)恢復(fù)方法的改進(jìn)和濾波技術(shù)的進(jìn)一步提高，目前由一個(gè)月的GRACE重力衛(wèi)星資料反演大地水準(zhǔn)面的精度在400km尺度上已達(dá)到1～2cm［13－14］。

針對(duì)GRACE衛(wèi)星資料，目前展開(kāi)的工作主要包含兩方面：一是利用GRACE資料解算時(shí)變重力場(chǎng)模型，二是時(shí)變重力場(chǎng)的應(yīng)用。由于目前解算的GRACE時(shí)變重力場(chǎng)模型的高階系數(shù)存在較大的誤差，由模型系數(shù)恢復(fù)地球時(shí)變重力場(chǎng)結(jié)果中表現(xiàn)為嚴(yán)重的條帶誤差，給地球物理信號(hào)的識(shí)別帶來(lái)一定的困難，因此必須進(jìn)行濾波提高信噪比。針對(duì)消除條帶誤差常用的處理方法，按照其濾波思想主要分為兩類(lèi)：一類(lèi)是通過(guò)引入濾波因子，降低模型高階系數(shù)的權(quán)重，從而達(dá)到平滑的效果，這類(lèi)方法主要包括各向同性和非各向同性的高斯濾波、維納濾波以及扇形濾波［15－18］，其實(shí)質(zhì)是以犧牲模型的空間分辨率為代價(jià)來(lái)?yè)Q取空間平滑的效果，濾波半徑越大，模型空間分辨率的犧牲程度也越大；另一類(lèi)方法是通過(guò)消除模型系數(shù)之間的相關(guān)誤差，從而達(dá)到去條帶誤差的效果，這類(lèi)方法主要包括文獻(xiàn)［19］的基于階l的變滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差方法，文獻(xiàn)［20—21］提出的多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差方法以及文獻(xiàn)［22］提出的基于階l次m的變滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差方法。其中尤以文獻(xiàn)［19］提出的滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差方法效果最為顯著，文獻(xiàn)［22］的濾波方法計(jì)算過(guò)于復(fù)雜，而濾波效果和文獻(xiàn)［19］的滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差方法并無(wú)顯著差異。這類(lèi)方法的優(yōu)點(diǎn)是直接消除系數(shù)間的相關(guān)誤差，而不會(huì)犧牲模型的空間分辨率，其缺點(diǎn)是在赤道附近區(qū)域去條帶誤差的效果并不顯著?；谏鲜鲈颍ǔ２捎脤深?lèi)濾波技術(shù)相結(jié)合的組合濾波方法。

第二類(lèi)去相關(guān)誤差方法效果的優(yōu)劣，直接決定著高斯濾波半徑選取的大小。去相關(guān)誤差效果越顯著，則高斯平滑半徑的選取就越小，對(duì)模型空間分辨率的損失也就越?。环粗?，則對(duì)模型空間分辨率的損失越大。文獻(xiàn)［19］提出的變滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差方法在赤道兩側(cè)區(qū)域取得了很好的去條帶誤差效果，但因其在文獻(xiàn)中并沒(méi)有公開(kāi)具體的實(shí)現(xiàn)步驟，因而許多學(xué)者按照其思想濾波時(shí)并未實(shí)現(xiàn)其文獻(xiàn)中的理想效果，目前國(guó)際上根據(jù)其思想常用的做法是采用多項(xiàng)式擬合去相關(guān)技術(shù)，而沒(méi)有采用滑動(dòng)窗［20－21］。根據(jù)文獻(xiàn)［19］的思想，針對(duì)滑動(dòng)窗的特點(diǎn)，詳細(xì)分析了滑動(dòng)窗在時(shí)變重力場(chǎng)數(shù)據(jù)處理中的不足，提出滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差的改進(jìn)方法。將改進(jìn)方法應(yīng)用于GRACE時(shí)變重力場(chǎng)數(shù)據(jù)處理時(shí)，在赤道兩側(cè)區(qū)域取得了較為顯著的去條帶濾波效果。

2 滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差方法的改進(jìn)

在抑制條帶噪聲方面，文獻(xiàn)［19］提出的滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)方法的思想是：固定時(shí)變重力場(chǎng)模型的次m，對(duì)模型系數(shù)的偶數(shù)階系數(shù)序列（l＝0，2，4，…）以及奇數(shù)階系數(shù)序列（l＝1，3，5，…）分別采用滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合，并以該擬合值作為相應(yīng)系數(shù)的相關(guān)誤差改正值。這里以窗口寬度為7點(diǎn)，m＝11和45時(shí)為例說(shuō)明（假定模型最大展開(kāi)為60階）：當(dāng)m＝11時(shí)，系數(shù)序列為C11，11、C13，11、C15，11、C17，11、C19，11、…、C51，11、C53，11、C55，11、C57，11、C59，11。由于窗口的寬度為7點(diǎn)，按照滑動(dòng)窗的基本原理，得到去相關(guān)誤差改正的系數(shù)依次是C17，11、C19，11、…、C51，11、C53，11，這樣數(shù)據(jù)序列的兩端各有三個(gè)系數(shù)沒(méi)有得到去相關(guān)誤差改正。當(dāng)m＝45時(shí)，系數(shù)序列C45，45、C47，45、C49，45、C51，45、C53，45、C55，45、C57，45、C59，45中僅有C51，45、C53，45兩個(gè)系數(shù)得到去相關(guān)誤差改正，而數(shù)據(jù)序列兩端的其他6個(gè)系數(shù)并沒(méi)有得到去相關(guān)誤差改正。這種情況下，滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差改正方法實(shí)際上已經(jīng)沒(méi)有多大意義，因?yàn)闆](méi)有得到誤差改正或者說(shuō)舍棄的系數(shù)數(shù)量已遠(yuǎn)大于改正系數(shù)的數(shù)量。顯然滑動(dòng)窗去條帶誤差方法在m＞45時(shí)，已經(jīng)失去了去相關(guān)誤差改正的作用和意義。

為減少兩端數(shù)據(jù)的舍棄，同時(shí)使得滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差方法在模型系數(shù)的更高次數(shù)m上得到應(yīng)用，本文根據(jù)相鄰高階系數(shù)間具有相關(guān)誤差這一特點(diǎn)，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，先對(duì)數(shù)據(jù)序列的兩端做反向邊界延拓，向邊界兩端各延伸1／2窗寬的數(shù)據(jù)。仍然以窗口寬度為7點(diǎn)，m＝11為例說(shuō)明（假定模型最大展開(kāi)為60階），經(jīng)反向邊界延拓后，系數(shù)序列變?yōu)椋瑿19，11、－C15，11、－C13，11、C11，11、C13，11、C15，11、C17，11、C19，11、…、C51，11、C53，11、C55，11、C57，11、C59，11、－C57，11、－C55，11、－C53，11。這樣，在計(jì)算C13，11系數(shù)的誤差改正時(shí)，用到了－C15，11、－C13，11、C11，11、C13，11、C15，11、C17，11、C19，117個(gè)系數(shù)間的相關(guān)性。這樣處理后，不但使得原數(shù)據(jù)序列兩端的數(shù)據(jù)得到滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差改正，同時(shí)也使得滑動(dòng)窗去相關(guān)誤差方法可以在更高階次系數(shù)中得到應(yīng)用。圖1是滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差方法改進(jìn)前后的系數(shù)變化曲線(xiàn)。圖1（a）與圖1（b）為普通滑動(dòng)窗結(jié)果，（a）為每階系數(shù)變化曲線(xiàn)，（b）為奇偶階系數(shù)變化曲線(xiàn)；圖1（c）與圖1（d）為改進(jìn)后的滑動(dòng)窗結(jié)果，（c）為每階系數(shù)變化曲線(xiàn)，（d）為奇偶階系數(shù)變化曲線(xiàn)。從圖1中可以明顯看出，模型系數(shù)經(jīng)原滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差方法改正后，高階次的系數(shù)仍然存在較大的誤差，表現(xiàn)為高階次的系數(shù)變化不收斂，例如m＝15、18時(shí)尤為明顯；圖1（c）、（d）顯示，模型系數(shù)經(jīng)改進(jìn)后的滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差方法處理后，模型系數(shù)隨著階l的增大趨于穩(wěn)定和收斂，表明系數(shù)受誤差的影響較小。例如當(dāng)m＝15時(shí)，經(jīng)改進(jìn)后的滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去相關(guān)誤差方法處理后，高階次系數(shù)誤差得到顯著改善，曲線(xiàn)變化的幅度減小了一個(gè)量級(jí)。

圖1 去相關(guān)誤差方法改進(jìn)前后系數(shù)變化曲線(xiàn)對(duì)比Fig.1 Coefficients change before and after improvement of de－correlation method

3 效果對(duì)比與檢驗(yàn)

為檢驗(yàn)改進(jìn)后數(shù)據(jù)處理方法的效果，以CSR RL04數(shù)據(jù)為例進(jìn)行驗(yàn)證。由于在RL04數(shù)據(jù)的解算中，引入了更高精度的地球重力場(chǎng)背景模型、海潮模型以及極潮模型等，使得模型的低階次系數(shù)的精度得到進(jìn)一步提高，系數(shù)變化曲線(xiàn)顯示系數(shù)間相關(guān)誤差在m≥15時(shí)開(kāi)始越來(lái)越明顯；其次，CSR RL04數(shù)據(jù)的階能譜顯示模型系數(shù)約在l≥15時(shí)，系數(shù)誤差逐漸震蕩放大。綜合以上因素，本文選取在m≥15時(shí)，開(kāi)始做去相關(guān)誤差改正，而對(duì)于低階系數(shù)盡量不做改動(dòng)。文獻(xiàn)［19］和文獻(xiàn)［22］中，對(duì)低階次系數(shù)去相關(guān)誤差改正采用了較大的窗口寬度。這主要是因?yàn)槟Ｐ偷碗A次系數(shù)間的相關(guān)誤差小或者說(shuō)其精度相對(duì)較高，利用大的窗寬進(jìn)行弱相關(guān)的多項(xiàng)式擬合，以減小對(duì)低階次系數(shù)的改正量。由于本文采用精度較高的RL04數(shù)據(jù)且起算階數(shù)取為15，所以采用固定的窗口寬度。大量數(shù)據(jù)試算后發(fā)現(xiàn)，窗口寬度越大，去條帶誤差效果越差，表現(xiàn)為結(jié)果中的條帶噪聲越明顯，而當(dāng)窗口寬度為5時(shí)，計(jì)算結(jié)果過(guò)于平滑，有效信號(hào)的幅度削弱過(guò)多。因此，本文計(jì)算中選擇窗口寬度為7點(diǎn)，多項(xiàng)式擬合次數(shù)為3。

圖2為隨機(jī)抽取的2008年1～4月GRACE時(shí)變重力場(chǎng)模型計(jì)算結(jié)果。其中，圖2（a）為沒(méi)有進(jìn)行任何濾波的月重力異常結(jié)果，從圖中可以看出月重力異常結(jié)果主要表現(xiàn)為條帶噪聲。圖2（b）、（c）分別為滑動(dòng)窗去相關(guān)誤差方法改進(jìn)前后的重力異常圖。從圖2（b）、（c）中可以明顯看出，改進(jìn)后的方法在赤道兩側(cè)區(qū)域抑制條帶噪聲的效果得到顯著改善，說(shuō)明了新方法在赤道兩側(cè)區(qū)域抑制條帶誤差的有效性。此外，對(duì)2003年1月至2008年12月共72個(gè)月的GRACE數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證對(duì)比和統(tǒng)計(jì)。統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明：新方法在赤道兩側(cè)區(qū)域抑制條帶噪聲的效果較原方法均具有顯著的改善。這一結(jié)果有效證明新方法在GRACE數(shù)據(jù)處理中抑制條帶誤差的有效性。

圖2結(jié)果說(shuō)明了滑動(dòng)窗去相關(guān)誤差的改進(jìn)方法在抑制條帶誤差方面的效果及有效性。在證明新方法去條帶誤差的有效性之后，通常還需要驗(yàn)證該方法的正確性，即新方法是否會(huì)對(duì)真實(shí)信號(hào)產(chǎn)生扭曲以及是否會(huì)產(chǎn)生虛假信號(hào)。為此，采用全球陸地資料同化系統(tǒng)GLDAS土壤濕度模型數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證。GLDAS模型同化了四個(gè)不同的全球水文模型，并采用NASA新一代的空間對(duì)地觀測(cè)技術(shù)和地面數(shù)據(jù)來(lái)約束地球表面的狀態(tài)，進(jìn)而獲得地球表面的近實(shí)時(shí)信息，是目前最好的全球水文模型之一［23］。土壤濕度變化對(duì)全球重力場(chǎng)變化趨勢(shì)的影響如圖3所示，其中圖3（a）為沒(méi)有采用任何濾波器的結(jié)果，圖3（b）為只采用滑動(dòng)窗去相關(guān)誤差改進(jìn)方法的濾波結(jié)果。從圖3中可以看出，滑動(dòng)窗去相關(guān)誤差改進(jìn)方法除在高緯度地區(qū)對(duì)信號(hào)的強(qiáng)度或振幅稍微有削弱外，并沒(méi)有改變信號(hào)的位置和形狀，也沒(méi)有產(chǎn)生虛假信號(hào)。圖3結(jié)果證明本文提出的滑動(dòng)窗去相關(guān)誤差改進(jìn)方法的可靠性和正確性。

圖2 GRACE月重力異常圖Fig.2 Maps of monthly anomaly of GRACE gravity field（1Gal＝1cm／s2）

圖3 去相關(guān)誤差改進(jìn)方法對(duì)重力場(chǎng)變化趨勢(shì)的影響Fig.3 Effects of improved de－correlation method on gravity trend

4 結(jié) 論

（1）在滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)處理技術(shù)上做了相應(yīng)改進(jìn)，改進(jìn)后的數(shù)據(jù)處理方法在不影響原滑動(dòng)窗去相關(guān)誤差方法的前提下，不僅使得數(shù)據(jù)序列兩端的系數(shù)得到去相關(guān)誤差改正，而且使得滑動(dòng)窗去條帶誤差技術(shù)能夠應(yīng)用到模型的更高階次。將改進(jìn)后的滑動(dòng)窗多項(xiàng)式擬合去條帶誤差方法應(yīng)用于CSR解算的GRACE數(shù)據(jù)時(shí)，在抑制條帶噪聲的效果和誤差的改善范圍上較改進(jìn)前方法結(jié)果均有顯著提高，表明新方法對(duì)于消除模型系數(shù)間的相關(guān)誤差具有顯著效果。

（2）將改進(jìn)方法應(yīng)用于全球土壤濕度變化數(shù)據(jù)，計(jì)算土壤濕度變化對(duì)全球重力場(chǎng)變化趨勢(shì)的影響。計(jì)算結(jié)果表明，本文提出的改進(jìn)方法僅對(duì)高緯度區(qū)域內(nèi)信號(hào)的強(qiáng)度即振幅變化有稍微消弱，而對(duì)信號(hào)的位置和形狀并沒(méi)有明顯的改變，也沒(méi)有產(chǎn)生虛假信號(hào)。

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