基于漸消卡爾曼濾波器的永磁同步電機(jī)的仿真

余 躍，何鳳有，鮑衛(wèi)寧

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)，江蘇徐州221008)

0 引 言

隨著電力電子技術(shù)的進(jìn)步，永磁同步電機(jī)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)PMSM)控制技術(shù)得到了長(zhǎng)足發(fā)展。由于這類(lèi)電機(jī)具有很高的功率體積比，且永磁體轉(zhuǎn)子沒(méi)有磁損，因此PMSM在機(jī)器人、數(shù)控機(jī)床、電動(dòng)車(chē)、水泵、壓縮機(jī)等應(yīng)用領(lǐng)域被廣泛采用。如何降低成本，減小電機(jī)的尺寸已成為無(wú)傳感器PMSM控制技術(shù)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。很多學(xué)者進(jìn)行了研究并提出了各種方法，總結(jié)以前的方法基本可以歸納為以下幾類(lèi):1)利用定子端電壓和電流直接計(jì)算轉(zhuǎn)速;2)高頻注入法;3)觀測(cè)器基礎(chǔ)上的估計(jì)方法;4)基于模型參考自適應(yīng)的估計(jì)方法;5)基于智能辨識(shí)算法的估計(jì)方法等［1］。

卡爾曼濾波器屬于隨機(jī)型觀測(cè)器，是一種無(wú)偏的線性最小方差估計(jì)算法，可以對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行在線估計(jì)。該算法建立 iα、iβ、ωr或者 id、iq、ωr的非線性狀態(tài)方程，線性化后疊代尋優(yōu)，以使?fàn)顟B(tài)變量的協(xié)方差矩陣最小。在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型足夠準(zhǔn)確時(shí)，隨著時(shí)間的推移，觀測(cè)數(shù)據(jù)增多，卡爾曼濾波估計(jì)精度越來(lái)越高。但在實(shí)際應(yīng)用中，描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型和噪聲的統(tǒng)計(jì)模型很難準(zhǔn)確，使模型與獲得的觀測(cè)值不匹配，有可能導(dǎo)致濾波不準(zhǔn)確，甚至發(fā)散。因此許多學(xué)者提出了衰減卡爾曼濾波、漸消卡爾曼濾波等一系列方法。其中，漸消卡爾曼濾波器使用最為廣泛［2］。

1 永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

本文采用的PMSM數(shù)學(xué)模型是基于同步旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系，并且假設(shè)交、直軸電感相等，即Ld=Lq=L［3］。

式中:ud、uq為 d、q 軸定子電壓;id、iq為 d、q 軸定子電流;R為定子電阻;L為定子電感:TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;B為粘滯摩擦系數(shù);p為極對(duì)數(shù);ω為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度;Ψf為永磁磁通。

2 漸消卡爾曼濾波器

建立電機(jī)非線性數(shù)學(xué)模型并將其離散化［4］:

式中:W(k)為k時(shí)刻的系統(tǒng)噪聲;V(k)為k時(shí)刻的測(cè)量噪聲。其方差陣分別為Qk和Rk。

卡爾曼濾波器的濾波估計(jì)算式:

濾波增益為:

采用自適應(yīng)的卡爾曼濾波器，式(11)變?yōu)?

其中，λ(k+1)≥1為漸消因子。

顯然，當(dāng)λ(k+1)=1時(shí)，即為基本的卡爾曼濾波方程。當(dāng)λ(k+1)＞1時(shí)，P*(k+1|k)總比P(k+1|k)大，所以總有K*(k+1)＞K(k+1)。因此采用新的濾波算法加重了當(dāng)前信息的比重，減小了陳舊信息的影響，充分利用了新數(shù)據(jù)所包含的信息［5］。

漸消濾波器采用λ(k+1)強(qiáng)迫殘差，具有正交性或近似正交性，最大限度地提取殘差中的有效信息，提高跟蹤性能［2］。

其中，tr為矩陣求跡操作符號(hào)。為了提高濾波器的收斂速度，提高卡爾曼濾波的跟蹤能力，需要選用比較大的漸消因子，但由于觀測(cè)噪聲的存在，過(guò)大的漸消因子往往會(huì)造成估計(jì)值的波動(dòng)，甚至不穩(wěn)定直至發(fā)散。因此需適當(dāng)提高λ(k)的最低值，本文設(shè)為1.008。

系統(tǒng)殘差協(xié)方差:

式中:ρ為遺忘因子，0 ＜ρ≤1，一般取 ρ=0.95;γ(k)為系統(tǒng)殘差。

文獻(xiàn)［6］給出了漸消濾波器最佳自適應(yīng)算法的推導(dǎo)過(guò)程。

3 系統(tǒng)仿真分析

系統(tǒng)總體框圖如圖1所示。其中電機(jī)參數(shù)為:定子電阻R=3 Ω，極對(duì)數(shù)p=2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.001 kg·m2，永磁磁通 Ψf=0.8 Wb，定子電感為 L=0.006 H，粘滯摩擦系數(shù)為B=0.000 1。

圖1 控制系統(tǒng)總體框圖

圖2 PI控制器框圖

系統(tǒng)采用雙閉環(huán)控制方案，如圖2所示。速度控制器采用PI控制，速度控制器的輸出為給定的交軸電流，直軸采用=0控制方案。兩個(gè)電流調(diào)節(jié)器也使用PI調(diào)節(jié)，其輸出再與解耦模塊運(yùn)算得到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下電壓Vd、Vq。同時(shí)給控制器加入轉(zhuǎn)矩前饋，提高控制系統(tǒng)的抗負(fù)載干擾性能。

仿真算法為ode4，固定步長(zhǎng)，步長(zhǎng)值為1×10－6。系統(tǒng)給定速度為100 r/min，空載起動(dòng)，0.01 s時(shí)突加轉(zhuǎn)矩為10 N·m，仿真結(jié)果如圖3～圖7所示。

由于無(wú)法得知負(fù)載轉(zhuǎn)矩的數(shù)學(xué)模型，因此假設(shè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩的導(dǎo)數(shù)為零，也就是假設(shè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩沒(méi)有發(fā)生變化，這適合于恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載。而當(dāng)負(fù)載發(fā)生變化時(shí)，從圖3可以看到，卡爾曼濾波器便無(wú)法正確的計(jì)算，存在辨識(shí)誤差較大，收斂速度較慢的缺點(diǎn)。圖4表明，采用漸消卡爾曼濾波器能顯著地改善這一缺點(diǎn)，在系統(tǒng)建模不準(zhǔn)確的情況下，加快了收斂速度，提高了辨識(shí)精度，保持轉(zhuǎn)速辨識(shí)在轉(zhuǎn)矩變化時(shí)基本上無(wú)誤差。

圖5表明了兩種卡爾曼濾波器在t=0.008～0.02 s時(shí)的速度辨識(shí)局部情況。圖6、圖7表明了濾波器在轉(zhuǎn)矩變化時(shí)(0.01 s時(shí)突加轉(zhuǎn)矩為10 N·m)的轉(zhuǎn)矩辨識(shí)性能。其中，圖6為采用普通卡爾曼濾波器的轉(zhuǎn)矩辨識(shí)。圖7為采用漸消卡爾曼濾波器的轉(zhuǎn)矩辨識(shí)。

電機(jī)參數(shù)保持不變，卡爾曼濾波器參數(shù)保持不變。系統(tǒng)給定速度為100 r/min，帶載起動(dòng)，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為10 N·m。仿真結(jié)果如圖8、圖9所示。

由圖8可見(jiàn)，由于卡爾曼濾波器轉(zhuǎn)矩初值誤差較大，且負(fù)載轉(zhuǎn)矩模型不準(zhǔn)確的情況下導(dǎo)致觀測(cè)器較長(zhǎng)時(shí)間無(wú)法正確辨識(shí)轉(zhuǎn)速。而從圖9上可以看出，采用漸消卡爾曼濾波器在很短的時(shí)間內(nèi)收斂到正確的值。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文應(yīng)用了帶漸消因子的漸消卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)了永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速觀測(cè)器，并且通過(guò)仿真對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，該觀測(cè)器可以比普通的卡爾曼濾波器更有效地實(shí)現(xiàn)電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩的觀測(cè)，具有良好的動(dòng)、靜態(tài)特性。

［1］王成元.電機(jī)現(xiàn)代控制技術(shù)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

［2］耿延睿，李大宇，郭文榮.衰減因子自適應(yīng)估計(jì)卡爾曼濾波比較研究［J］.控制工程，2006，13(9):70－72.

［3］Zheng Z，Li Y，F(xiàn)adel M，et al.A Rotor Speed and Load Torque Observer for PMSM Based on Extended Kalman Filter［C］//IEEE International Conference on Industrial Technology.Mumbai，2006:233－238.

［4］Zhang J，Jin Z，Tian W.A Suboptimal Kalman Filter with Fading Factors for DGPS/MEMS－IMU/Magnetic Compass Integrated Navigation［C］//Intelligent Transportation Systems Conference.2003:1229－1234.

［5］徐景碩，秦永元，彭蓉.自適應(yīng)卡爾曼濾波器漸消因子選取方法研究［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2004，26(11):1552－1554.

［6］夏啟軍，孫友賢，周春暉.漸消卡爾曼濾波器的最佳自適應(yīng)算法及其應(yīng)用［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，1990，16(3):210－216.