有限域上的方程與不可約多項(xiàng)式

田 力，孫宗明

(泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東泰安 271021)

本文研究有限域上的若干方程與若干不可約多項(xiàng)式，根據(jù)具體情況，將用不同的記號表示有限域.本文中，0表示域的零元，e表示域的單位元.本文所使用的符號是標(biāo)準(zhǔn)的，有限域和有限群的基本知識被認(rèn)為是熟知的，見文獻(xiàn)［1－2］.

1 若干方程

本款討論有限域上的若干方程以及相關(guān)的若干問題.

1.1 方程xq+1=λ與xq+x=μ

本段在p2k元域上研究問題，記q=pk，則p2k=q2，并且，把p2k元域記為Fq2，把pk元域記為Fq，本段參見文獻(xiàn)［3－4］.

先研究Fq2的一個(gè)自同構(gòu)，它扮演著重要的角色.設(shè)

則σ是Fq2的自同構(gòu)，并且，σ的階為2，事實(shí)上，首先，σ不是恒等映射，因?yàn)?，若記Fq2的非零元素乘群為F*q2=〈c〉，則有σ(c)≠c;其次，σ2必為恒等映射，因?yàn)?，對于任意的a∈Fq2，均有

另外，對于a∈Fq2，有

因此，F(xiàn)q2的自同構(gòu)σ的固定子域是Fq.

現(xiàn)在研究Fq2上的方程xq+1=λ，而λ≠0，此時(shí)，可以在群F*q2中考慮.設(shè)

則τ是F*q的同態(tài)映射.記π的象為G，核為N.由群同態(tài)基本定理得F*q2/N與G同構(gòu)，且o(F*q2)= o(N)o(G).顯然，N是方程xq+1=e所有解的集合，所以，o(N)≤q+1.因?yàn)椋?/p>

所以，o(G)≥q－1.但是，G是F*q的子群，從而，o(G)=q－1，τ是滿射.因此，對于λ∈F*q2，一定有y0∈，使得τ(y0)=λ，即y0q+1=λ，方程xq+1=λ有解x=y0.由o()=q－1得o(N)=q+1，從而，方程xq+1=e恰有q+1個(gè)解.因?yàn)榉匠蘹q+1=λ的解y0乘以方程xq+1=e的任一個(gè)解均得到方程xq+1=λ的解.群中一方程的解就是域中該方程的根，這樣，就有下面的

定理1.1.1 有限域Fq2上的方程xq+1=λ(λ≠0)在Fq2中恰有q+1個(gè)根.

現(xiàn)在研究Fq2上的方程xq+x=μ.設(shè)

則ρ是加群Fq2到加群Fq的同態(tài)映射.類似于上面的討論可得，ρ是滿射.同樣類似于上面的討論可得，方程xq+x=0起著與方程xq+1=e一樣的作用，此處詳細(xì)的推導(dǎo)從略.這樣，就有下面的

定理1.1.2 有限域Fq2上的方程xq+x=μ在Fq2中恰有q個(gè)根.

1.2 方程xps－x－c=0

本段在pk元域上研究問題，將pk元域記為F.

視F為加群，當(dāng)s=1時(shí)，作

則σ是加群F到F的同態(tài)映射.σ的同態(tài)核是Fp，而Fp是F的p元子域.有下面的

定理1.2.1 設(shè)xp－x－c=0(c∈F)是F上的方程，則

1)xp－x－c=0(c∈F)在F中有根當(dāng)且僅當(dāng)有a∈F使c=ap－a;

2)F中恰有pk－1個(gè)c，使xp－x－c=0(c∈F)在F中有根;

3)若xp－x－c=0(c∈F)在F中有根，則其在F中恰有p個(gè)根;

當(dāng)s＞1且s|k時(shí)，pk元域F有ps元子域Fps.上面的σ變?yōu)?/p>

σ是加群F到F的同態(tài)映射，σ的同態(tài)核是Fps.可以得到下面的

定理1.2.2 設(shè)xps－x－c=0(c∈F)是F上的方程，s＞1且s|k，則

1)xps－x－c=0(c∈F)在F中有根當(dāng)且僅當(dāng)有a∈F使c=aps－a;

2)F中恰有pk－s個(gè)c，使xps－x－c=0(c∈F)在F中有根;

3)若xps－x－c=0(c∈F)在F中有根，則其在F中恰有ps個(gè)根.

當(dāng)s＞1但s不整除k時(shí)，記w=(s，k)，s=μw，此時(shí)，研究F的子域Fpw，有結(jié)論:對于?a∈Fpw，成立aps=apw.

仍然研究

σ是加群F到F的同態(tài)映射，σ的同態(tài)核包含F(xiàn)pw，從而就得到下面的

定理1.2.3 設(shè)xps－x－c=0(c∈F)是F上的方程，s＞1但s不整除k，記w=(s，k)，則

1)xps－x－c=0(c∈F)在F中有根當(dāng)且僅當(dāng)有a∈F使c=aps－a;

2)F中至多有pk－w個(gè)c，使xps－x－c=0(c∈F)在F中有根;

3)若xps－x－c=0(c∈F)在F中有根，則該方程在F中至少有pw個(gè)根.本段中定理的詳細(xì)證明參見［5］，此處從略.

1.3 降次定理

一般而言，方程的次數(shù)越低，討論問題越相對容易.本段從這一角度研究有限域上的方程，本段參見［6］.

本段在pk元域上研究問題，將pk元域記為F.因?yàn)?，F(xiàn)pl=F(l為正整數(shù))，所以，得到下面的

定理1.3.1 設(shè)是F［x］中的多項(xiàng)式，ni，mi，ni=plmi(i=0，1，…，k－1，k)均為正整數(shù)，則

1)若α∈F是方程f(x)=0的一個(gè)根，則αpl是方程g(x)=0的一個(gè)根;

2)若β∈F是方程g(x)=0的一個(gè)根，則有γ∈F是方程f(x)=0的一個(gè)根.

求F上的方程的根，可以轉(zhuǎn)化為求F上的次數(shù)＜pk的某一方程的根，即有下面的

定理1.3.2 設(shè)

h(x)，r(x)∈F［x］，并且r(x)=0或deg(r(x))＜pk，則

1)當(dāng)r(x)=0時(shí)，F(xiàn)的元素均為方程f(x)=0的根;

2)當(dāng)r(x)≠0時(shí)，方程f(x)=0與r(x)=0在F中的根的集合相同.在上面定理的1)中，方程f(x)=0在F必有重根，于是，就有下面的問題1.3.3 在定理1.3.2的1)的情況下，方程f(x)=0在F中重根的狀況.

1.4 二項(xiàng)方程的降次與求根

本段在pk元域上研究問題，將pk元域記為F，本段參見文獻(xiàn)［7－8］.研究二項(xiàng)方程的降次，有下面的

定理1.4.1 設(shè)

其中q，r是整數(shù)，則方程xn=b與xr=b在F中有相同的根的集合.

實(shí)際上，方程的次數(shù)可以進(jìn)一步降低，即有下面的

定理1.4.2 設(shè)

其中r，d均為正整數(shù)，s是整數(shù)，則xr=b在F中的根是xd=bs的根.

定理1.4.3 設(shè)d|(pk－1)，m是c在F的非零元素乘群F*中的階，則xd=c在F中的根是xdm=e的根.

定理1.4.4 設(shè)

則a1，a2，…，ad是xd=e在F中的不同的根.

定理1.4.5 設(shè)a0是xd=c在F中的一個(gè)根，

a1，a2，…，ad

是xd=e在F中的不同的根，則

是xd=c在F中的不同的根.

上述的五個(gè)定理容易證明，此處從略.根據(jù)這五個(gè)定理，設(shè)計(jì)出求根的具體方法，有下面的

方法1.4.6 求二項(xiàng)方程的根的方法如下:

第一步，由定理1.4.1與1.4.2，將xn=b的次數(shù)降低，化為xd=bs=c，并且，d|(pk－1);

第二步，記定理1.4.3中的dm=w，解決xw=e，由定理1.4.1與1.4.2，將xw=e轉(zhuǎn)化為xd1=e，并且，d1|(pk－1)，再由定理1.4.4，求出xd1=e的d1個(gè)根;

第三步，由定理1.4.3，xd=c是xw=e的根，求得xw=e的一切根后，代入驗(yàn)證，得到xd=c的一個(gè)根a0;

第四步，由定理1.4.4，得到xd=e的d個(gè)根a1，a2，…，ad，從而，由定理1.4.5得到xd=c的d個(gè)根a0a1，a0a2，…，a0ad;

第五步，由定理1.4.2，將xd=c的根代入xn=b，進(jìn)行驗(yàn)證，以得到xn=b的根.

2 不可約多項(xiàng)式

本款中，將pk元域記為F.

2.1 篩法

本段給出確定F上的不可約多項(xiàng)式的方法.

F上的次數(shù)≥1而≤n的多項(xiàng)式有有限個(gè).一般地，F(xiàn)上的s次多項(xiàng)式有(q－1)qs個(gè)，其中，q=pk，并且，可以按一定程序?qū)⑺鼈兣帕谐鰜?于是，就可以將F上的次數(shù)≥1而≤n的多項(xiàng)式按一定程序全部排列出來，且次數(shù)小的在前，次數(shù)大的在后.

這樣排好之后，就可以仿照求素?cái)?shù)的篩法進(jìn)行.做法是:將排在最前面的多項(xiàng)式圈起來，而后劃去它的一切倍式，剩下的沒有圈且沒有劃去的多項(xiàng)式中，排在最前面的是不可約多項(xiàng)式，將它圈起來，再劃去它的一切倍式，如此下去，直至最后一個(gè)被圈的多項(xiàng)式為止.所有被圈起來的多項(xiàng)式都是F上的不可約多項(xiàng)式，且是次數(shù)≥1而≤n的全部不可多項(xiàng)式.

所給出的方法稱為確定F上的不可約多式的篩法.

2.2 Berlekamp法

熟知，在有理數(shù)域上，有下面的

克朗奈格定理.設(shè)f(x)是n(n＞0)有理系數(shù)多項(xiàng)式，則f(x)可以經(jīng)有限次有理運(yùn)算在有理數(shù)域上分解為不可約多項(xiàng)式的乘積.

克朗奈格定理的證明同時(shí)給出了具體做法，但是太麻煩了，麻煩到簡直無法實(shí)施的地步.

有Berlekampd的一個(gè)方法，利用該方法，總是可以將F上的任一個(gè)多項(xiàng)式f(x)分解為F上的兩兩兩不同的不可約多項(xiàng)式的冪的乘積，從而也就判定了f(x)是否為不可約多項(xiàng)式，進(jìn)一步，可以求出F上的次數(shù)≥1而≤n的全部的不可約多項(xiàng)式.

Berlekampd的這個(gè)方法，此處從略，參見［9］.將Berlekampd的這個(gè)方法稱為Berlekampd法.

2.3 多項(xiàng)式的可約性

為了確定有限域上的不可約多項(xiàng)式，了解并掌握一些多項(xiàng)式的可約性當(dāng)然是有益的和必要的.本段中為了方便而將域的單位元記為1，本段參見［10］.對于任意的域，成立下面的

定理2.3.1

1)若域F上的多項(xiàng)式f(x)的零次項(xiàng)為零，則f(x)在F上可約?f(x)的次數(shù)＞1;

2)域F上的二次多項(xiàng)式f(x)在F上的可約?存在α∈F，使得f(α)=0;

3)域F上的三次多項(xiàng)式f(x)在F上的可約?存在α∈F，使得f(α)=0;

4)若f(x)是域F上的多項(xiàng)式，a，b∈F，a≠0，則f(x)在F上可約?f(ax+b)在F上可約;

5)若域F上的多項(xiàng)式f(x)滿足條件(f(x)，f'(x))≠1，則f(x)在F上可約.

上面的定理中的4)是多項(xiàng)式的未定元的替換問題，參見［11］，此處從略.而其他的均容易得出.

定理2.3.2 設(shè)f(x)是pk元域F上的多項(xiàng)式.若f(x)的每一項(xiàng)的次數(shù)均為p的方冪，則f(x)在F上可約.

定理2.3.3 設(shè)f(x)是2k元域F上的多項(xiàng)式.若f(x)的項(xiàng)的系數(shù)均為1，并且有偶數(shù)個(gè)項(xiàng)，則f(x)在F上可約.

作為定理的應(yīng)用，有下面的

例2.3.4 二元域F上的三次不可約多項(xiàng)式.記F={0，1}，F(xiàn)［x］中有8個(gè)三次多項(xiàng)式:x3+x2+x +1，x3+x2+x，x3+x2+1，x3+x2，x3+x+1，x3+x，x3+1，x3.根據(jù)定理2.3.1的1)，x3+x2+x，x3+x2，x3+x，x3均可約;因?yàn)?是x3+x2+x+1，x3+1的根，所以，根據(jù)定理2.3.1的3)，它們均不可約;因?yàn)?，1均不是x3+x2+1，x3+x+1的根，所以，根據(jù)定理2.3.1的3)，它們均不可約.因此，F(xiàn)［x］中的三次不可約多項(xiàng)式是:x3+x2+1，x3+x+1.

2.4 任意高次的不可約多項(xiàng)式

熟知，有理數(shù)域上存在任意高次的不可約多項(xiàng)式，有限域也是如此，本段參見文獻(xiàn)［12－14］.設(shè)F是pk元域，作F［x］中的多項(xiàng)式xpkm－x在F上的分裂域

E=F(α1，α2，…，αpkm)，其中α1，α2，…，αpkm是xpkm－x的全部根，則E恰由xpkm－x的兩兩互異的pkm個(gè)根組成，E是pkm元域.E是F的m次擴(kuò)域，又E是F的單擴(kuò)域，E=F(α)，α在F上的極小多項(xiàng)式f(x)是F上的m次不可約多項(xiàng).這樣，就得到下面的

定理2.4.1 設(shè)F是pk元域，m是任意正整數(shù)，則F上存在m次不可約多項(xiàng)式.

實(shí)際上，該定理前面的敘述，已經(jīng)給出了該定理的一個(gè)證明.為了給出該定理的另一個(gè)證明，要用到下面的引理，證明從略.為方便，記pk=q.

引理2.4.2

1)qn－1|qm－1?n|m;

2)xqn－1－1|xqm－1－1?n|m;

3)設(shè)p(x)是F中的n次不可約多項(xiàng)式且p(0)≠0，則p(x)|xqm－1－1?n|m.

定理2.4.1的證明:當(dāng)m=1時(shí)，x就是F上的m次不可約多項(xiàng)式.

當(dāng)m＞1時(shí)，研究F上的多項(xiàng)式

它分解為F［x］中的不可約多項(xiàng)式的乘積，而由引理知，f(x)的不可約因式的次數(shù)必整除m，從而其次數(shù)≤m.現(xiàn)在計(jì)算f(x)的次數(shù)＜m的一切不可約因式的次數(shù)之和M.

因?yàn)?，xqs－1－1與其導(dǎo)數(shù)

互素，所以，xqs－1無重因式.當(dāng)s＜m時(shí)，由引理知，f(x)的一切s次不可約因式均為xqs－1的因式，它們兩兩互素，從而它們的乘積也為xqs－1－1的因式，所以，它們的次數(shù)之和≤qs－1.于是，讓s=1，2，…，m－1，就得到

因此，f(x)必有m次不可約因式g(x)，即F［x］中有m次不可約多項(xiàng)式g(x).

定理2.4.3 設(shè)pd(x)是F［x］中所有首項(xiàng)系數(shù)為1的d次不可約多項(xiàng)式的乘積，當(dāng)d=1時(shí)x除外，則

證明 F［x］中首項(xiàng)系數(shù)為1的任一個(gè)d次不可約多項(xiàng)式都是pd(x)的因式，而pd(x)的任意兩個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的d次不可約因式都彼此互素，所以，由引理2.4.2，當(dāng)d|m時(shí)

另一方面，由引理2.4.2，xqm－1－1的每一個(gè)d次不可約因式都是dΠ|mPd(x)的因式，而xqm－1－1沒有重因式，所以

因此，根據(jù)dΠ|mPd(x)的首項(xiàng)系數(shù)為1，就得到

2.5 多項(xiàng)式的根與不可約性

本段中，就一類多項(xiàng)式研究其有根與不可約性的關(guān)系.所研究的域F仍然是pk元域，1表示域的單位元.

定理2.5.1 若xp－x－c=0(c∈F)在域F中沒有根，則多項(xiàng)式xp－x－c(c∈F)在F［x］中不可約.

證明 用反證法.設(shè)f(x)=xp－x－c在F［x］可約，則可取f(x)的m(0＜m＜p)次首項(xiàng)系數(shù)為1的因式g(x)∈F［x］.在f(x)的分裂域E中，g(x)有根r，從而，有Fp的m個(gè)元素f1，f2，…，fm，使r+f1，r+ f2，…，r+fm為g(x)在E中的m個(gè)互異的根.于是，在E［x］中，就有

從而

又

12m，

所以，mr∈F.再由于mr=(me)r，me∈F，me≠0，所以r∈F，引出矛盾.

容易證明，xp－x－c=0(c∈F)在F中或者有p個(gè)根，或者沒有根.于是，就有下面的

定理2.5.2 F上的多項(xiàng)式xp－x－c(c∈F)在F［x］或者不可約，或者完全分裂.

在下面的情況下，僅成立

定理2.5.3 設(shè)s是正整數(shù)且s|k，xps－x－c=0(c∈F)在F中沒有根，則多項(xiàng)式xps－x－c(c∈F)在F［x］中沒有m次真因式，其中p不整除m.

證明 反證法.設(shè)f(x)=xps－x－c在F［x］中有m次首項(xiàng)系數(shù)為1的真因式g(x).在f(x)的分裂域E中，g(x)有根r，從而，有Fps的m個(gè)元素f1，f2，…，fm，使r+f1，r+f2，…，r+fm為g(x)在E中的m個(gè)互異的根.于是，在E［x］中，就有

由于g(x)∈F［x］，所以

又

所以，mr∈F.再由于mr=(me)r，me∈F，并且，p不整除m，所以me≠0，因此，r∈F，引出矛盾.

對于一般的情況，類似的結(jié)論如何，作為遺留問題，需要作進(jìn)一步的研究，參見［5］.

3 不可約多項(xiàng)式的根號解

本款中，就不可約多項(xiàng)式的根，進(jìn)一步作一些探討.為方便，記pk=q，記pk元域?yàn)镕q.

先研究Fq［x］中不可約多項(xiàng)式的根的一些性質(zhì)，證明見［15－16］.

定理3.1 Fq［x］中的不可約多項(xiàng)式?jīng)]有重根.

定理3.2 設(shè)f(x)∈Fq［x］是Fq上的m次不可約多項(xiàng)式，α是f(x)的一個(gè)根，則

恰為f(x)的m個(gè)互不相同的根，α在Fq的擴(kuò)域Fqm中且Fqm=Fq(α)就是f(x)在Fq上的分裂域.

多項(xiàng)式的根號解曾經(jīng)是16至18世紀(jì)的250余年期間的熱門問題，吸引并困惑了諸如拉格朗日這樣的大數(shù)學(xué)家，19世紀(jì)20至30年代，相繼被挪威年輕(只活了27歲)數(shù)學(xué)家阿貝爾和法國更年輕的(只活了20歲)數(shù)學(xué)家伽羅瓦所解決，并開啟了抽象代數(shù)學(xué)的新紀(jì)元.

對于有限域而言，不可約多項(xiàng)式的根號解問題卻較為簡單，［17］討論了這一問題，將主要結(jié)果列出

如下，證明從略.

引理3.3

1)Fq恰由Fq［x］中的約多項(xiàng)式xpk－x的所有的根組成.

2)設(shè)f(x)∈Fq［x］是Fq上的m次不可約多項(xiàng)式，則f(x)|xqn－x?m|n.3)設(shè)Fqm是Fq的m次擴(kuò)域，則Fqm的保持Fq的元素不變的所有自同構(gòu)組成的群G是m階循環(huán)群.引理中的群G稱為Fqm對于Fq的伽羅瓦群，并且，有Fq［x］中的m次多項(xiàng)式f(x)，使得Fqm= Fq(α)，而α是f(x)的一個(gè)根，就將G稱為f(x)的伽羅瓦群.

定理3.4 設(shè)f(x)∈Fq［x］是Fq上的m次不可約多項(xiàng)式，則f(x)的伽羅瓦群G同構(gòu)于某個(gè)置換群〈(12…m)〉.

定理3.5 設(shè)f(x)∈Fq［x］是Fq上的m次不可約多項(xiàng)式，F(xiàn)q的特征p不整除m，則f(x)可以根號解.

在討論根號解時(shí)，要用到單位根和本原單位根的結(jié)論，［18］和［19］較多地進(jìn)行了研究，所得的結(jié)果是重要的，不少情況下都要用到，此處均從略.

4 其他相關(guān)問題

4.1 線性矩陣方程組

［20］類似于［21］建立了pk元域F上的線性矩陣方程組的理論，給出了下面的結(jié)果，證明從略.

定理4.1.1 設(shè)Aij是F上的mi×nj(i=1，2，…，t:j=1，2，…，w)矩陣，Xj是nj×s(j=1，2，…，w)未×swAX=B知矩陣，Bi是mi(i=1，2，…，t)矩陣，則線性方程組∑ijji(i=1，2，…，t)在F上有解當(dāng)且僅當(dāng)

定理4.1.2 設(shè)

1)Aij，Xj如定理4.1.1所述，0i是F上的mi×s(i=1，2，…，t)零矩陣; 2)記

秩(A)=r;

3)當(dāng)r＜n時(shí)，η1，η2，…，ηn－r(列向量)是以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系;

4)作

并且將Mqu從第一行開始依次按n1，n2，…，nw行的數(shù)目分塊而得到一組w個(gè)矩陣，仍然以Mqu表示該組的w個(gè)矩陣，則

1)線性齊次方程組∑

j=w1AijXj=0i(i=1，2，…，t)的一切解構(gòu)成線性空間Fn×s的一個(gè)子空間;

2)當(dāng)r＜n時(shí)，Mqu(q=1，2，…，s:u=1，2，…，n－r)是子空間的一個(gè)基，從而是(n－r)s維子空間，它的一切都是，其中aqu取遍F的一切元素，并且將組合得到的矩陣從第一行開始依次按n1，

［4］討論了p2k元域中的一個(gè)n元pk+1次齊次方程的解的個(gè)數(shù)，給出了下面的

定理4.1.4 p2k元域中的n元pk+1次齊次方程x2pk+x2pk+1+…+xpnk+1=1在該域中有((pk)n－(－1)n)(pk)n－1個(gè)非零解，其中1表示域的單位元.

4.2 方程的求根公式

方程的求根公式就是用方程的系數(shù)表示其根的式子.在比較久遠(yuǎn)的古代，二次方程的求根公式就已經(jīng)被埃及和巴比倫的先民們發(fā)現(xiàn)并記載.在16世紀(jì)的一段時(shí)間里，尋找三次方程的求根公式成為意大利數(shù)學(xué)家們的熱門問題，并流傳下來一些動人的故事，求根公式終于被找到，從而促使人們向著四次和更高次的方程挺進(jìn)，促進(jìn)了代數(shù)學(xué)的發(fā)展，奠定了近代數(shù)學(xué)產(chǎn)生的直接基礎(chǔ).對于有限域上的方程，同樣存在求根公式的問題.

對于2k元域F上的二次方程，筆者曾就一種情況得到根的表示公式，寫成［22］，于2001年發(fā)表;后來，鄭州解放軍信息學(xué)院王念平進(jìn)行了研究，寫成［23］，于2004年發(fā)表;筆者認(rèn)為，這一問題尚待進(jìn)一步研究，此處從略.至于三次方程的求根公式，當(dāng)然也可以考慮.

4.3 本原多項(xiàng)式與本原元素

本段中，p元域記為Fp，對于Fp［x］中的多項(xiàng)式，建立其周期的概念，進(jìn)而，建立本原多項(xiàng)式的概念.Fp的m次擴(kuò)域Fpm是Fp的單擴(kuò)域，若有

則稱β是Fpm的一個(gè)本原元素，其中1表示域的單位元.本原多項(xiàng)式是不可約多項(xiàng)式.β是Fpm的一個(gè)本原元素當(dāng)且僅當(dāng)β是m次本原多項(xiàng)式的根.詳細(xì)的討論見［24］.

4.4 n 方元素

［25］給出了n方元素的概念，并進(jìn)行了討論;［19］進(jìn)一步討論了n方元素，并給出了完全的解決.

5 結(jié)束語

從1983年筆者的［26］到2001年筆者的［27］，其間的十幾年筆者與其他代數(shù)學(xué)同行一起，解決了pk元域F上的二次方程和三次方程的問題，筆者的［28］對此作了總結(jié).

筆者的［29］－［35］討論了pk元域及其單超越擴(kuò)域上的二項(xiàng)方程、三項(xiàng)方程、因式方程，［36］對此作了總結(jié).

應(yīng)該指出，還有一些問題有待進(jìn)一步研究，本文所列的文獻(xiàn)中就提出了一些問題，另外，組合設(shè)計(jì)等有的學(xué)科也將不斷推動這方面的研究.n2，…，nw行的數(shù)目分塊而得到一組w個(gè)矩陣，仍然以Mqu表示該組的w個(gè)矩陣，分別作為X1，X2，…，Xw所取的矩陣，稱Mqu(q=1，2，…，s:u=1，2，…，n－r)為一個(gè)基礎(chǔ)解系;

3)解的個(gè)數(shù)為pks(n－r).

定理4.1.3 設(shè)Aij，Xj，Bi，0i如定理4.1.1和定理4.1.2所述，N是

的一個(gè)特解，則

是其解的集合，其中N與M均取定理4.1.2中的那種分塊形式.

［1］熊全淹.近世代數(shù)［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1978.

［2］張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，1978.

［3］孫宗明.p2m元域上的某些方程的解的狀況［J］.吉安師專自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1986，(2):34－36.

［4］孫宗明，等.pk元域上的方程xq+1=λ與x+xq=μ［J］.山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1994，(2):11－13.

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［6］孫宗明.pk元域上一元方程的幾個(gè)降次定量［J］.山東教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1991，(2):31－33.

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［9］萬哲先.代數(shù)與編碼［M］.北京:科學(xué)出版社，1976.

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［15］孫宗明.p元域上的一類不可約多項(xiàng)式［J］.殷都學(xué)刊(自然科學(xué)版)，1990，(1):22－23.

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［22］孫宗明.2k元域上的二次方程根的公式［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2001，(6):132－133(美國，Math.Riews，2002年索引).

［23］王念平.關(guān)于“2k元域上的二次方程根的公式”的注記［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2004，(11):148－152.

［24］孫宗明.F［x］中的本原多項(xiàng)式與GF(pn)中的本原元素［J］.泰安師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1990，(1):1－5.

［25］孫宗明，等.pk元域上的n方元素［J］.廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1995，(增刊):6－8.

［26］孫宗明.pk(p≥3)元域上的二次方程的根的狀況［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，1983，(4):29－31(美國，Math.Riews，85i:11104).

［27］孫宗明.pk元域上的三次方程根的狀況［J］.內(nèi)蒙古師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版)，2001，(3):28－31.

［28］孫宗明.pk元域上的二次方程與三次方程［J］.泰山學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，(3):8－16.

［29］孫宗明.pk元域上的方程xq=d與ax2q+bxq+c=0［J］.內(nèi)蒙古師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版)，1990，(1):22－26(美國，Math.Riews，92h:11110).

［30］孫宗明.pk元域上的二項(xiàng)方程和三項(xiàng)方程根的狀況［J］.內(nèi)蒙古師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版)，1991，(3):20－24(美國，Math.Riews，96 f:12001).

［31］孫宗明.pk元域F的單超越擴(kuò)域E上的方程yn=D與Ay2n+Byn+C=0［J］.內(nèi)蒙古師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版)，2000，(3):9－12.

［32］孫宗明.pk元域上的一類方程根的狀況［J］.河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1996，(2):23－35.

［33］孫宗明.2k元域上的方程∑(－1)iaixn－1－i=0［J］.山東科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2001，(1):10－12(美國，Math.Riews，2002b:11172).

［34］孫宗明.pk元域上的方程∑aixn－1－i=0與∑(－a)ixn－1－i=0［J］.商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，(2):57－59.

［35］孫宗明.pk元域F的單超越擴(kuò)域E上的方程∑Aixn－1－i=0與∑(－A)ixn－1－i=0［J］.集美大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，(2):129－132.

［36］孫宗明.pk元域及其單超越擴(kuò)域上的二項(xiàng)方程三項(xiàng)方程和因式方程［J］.內(nèi)蒙古師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)漢文版)，2011，(5):21－26.