不變本征算符法在含時(shí)二維雙耦合諧振子系統(tǒng)中的應(yīng)用

成泰民， 葛崇員

(沈陽(yáng)化工大學(xué)數(shù)理系，遼寧沈陽(yáng)110142)

最近，凌瑞良［1］等對(duì)不同頻率、不同質(zhì)量并含時(shí)雙耦合諧振子系統(tǒng)進(jìn)行了研究，并得到系統(tǒng)的簡(jiǎn)正頻率的表達(dá)式及系統(tǒng)的嚴(yán)格波函數(shù)解.坐標(biāo)與動(dòng)量通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)變換［1-2］對(duì)系統(tǒng)的哈密頓量進(jìn)行退耦合處理.凌瑞良［1-2］等的工作沒(méi)有給出很明顯的系統(tǒng)的簡(jiǎn)正頻率解析解表達(dá)式，并且對(duì)系統(tǒng)哈密頓量的退耦合處理較復(fù)雜.凌瑞良［3］等利用二次型理論及三次保對(duì)易的辛變換研究了三維各向異性耦合諧振子體系.徐世民［4］等利用有序算符乘積內(nèi)的積分技術(shù)(IWOP)處理了兩非全同諧振子體系，并推導(dǎo)出系統(tǒng)的波函數(shù).上述系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)的哈密頓量中只包含力學(xué)量的二次項(xiàng).因此，上述系統(tǒng)的哈密頓量是線性的.范洪義［5-6］等對(duì)不同的哈密頓量系統(tǒng)，利用量子力學(xué)的不變本征算符法處理系統(tǒng)的元激發(fā)能量和能級(jí)差.為此，本文利用不變本征算符法推導(dǎo)明顯的系統(tǒng)的簡(jiǎn)正頻率解析解表達(dá)式及嚴(yán)格波函數(shù)，并討論不變本征算符法對(duì)于線性哈密頓量系統(tǒng)的退耦合方面的普遍性和簡(jiǎn)捷性.

1 利用不變本征算符法對(duì)含時(shí)二維雙耦合各向異性諧振子系統(tǒng)哈密頓量退耦合

考慮一般的情形，令m1(t)≠m2(t)、ω1(t)≠ω2(t)且坐標(biāo)與動(dòng)量耦合強(qiáng)度也均含時(shí)的雙耦合諧振子系統(tǒng)的哈密頓量為:

因?yàn)椋踴i，pj］=iˉhδij，［xi，xj］=［pi，pj］= 0(其中i，j=1，2)，所以有如下對(duì)易關(guān)系:

引入關(guān)于坐標(biāo)的不變本征算符OCe=x1+ τCx2，由(2)式可得OCe與H的對(duì)易關(guān)系:

根據(jù)不變本征算符法可知:

由(4)與(5)式可得:

由(6)式可得:

其中:

由(7)式可得關(guān)于坐標(biāo)的不變本征算符:

由(4)式、(5)式、(7)式可得系統(tǒng)的簡(jiǎn)正頻率:

為得到與簡(jiǎn)正坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的共軛動(dòng)量，引入關(guān)于動(dòng)量的不變本征算符OMe=p1+τMp2，由(2)式可得OMe與H的對(duì)易關(guān)系:

同理根據(jù)不變本征算符法可知:

［［OMe，H］，H］=ˉh2Ω2OMe=

由(11)與(12)式可得:

由(13)式可得:

由(11)、(12)、(14)式，同樣可得系統(tǒng)的簡(jiǎn)正頻率(9)式，并由(14)式可得關(guān)于動(dòng)量的不變本征算符:

因?yàn)?8)式與(15)式分別對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)正坐標(biāo)與其對(duì)應(yīng)的共軛動(dòng)量［7］，為滿足［Qi，Pj］=iˉhδij，［Qi，Qj］=［Pi，Pj］=0，對(duì)(8)式與(15)式的系數(shù)進(jìn)行處理可得:

(16)式的逆變換為:

把(17)式代入(1)式可得:

2 嚴(yán)格波函數(shù)的確定

將(18)式改寫(xiě)成:

其中:

利用分離變量法，令:

那么，可得:

系統(tǒng)的薛定諤方程為:

根據(jù)(16)式、(19)式和文獻(xiàn)［1-2］的處理方法及步驟，可得系統(tǒng)的嚴(yán)格波函數(shù)為:

其中ρ1和ρ2由相應(yīng)的輔助方程決定:

(27)式對(duì)應(yīng)的能量本征值為:

3 討論

以兩諧振子的質(zhì)量和簡(jiǎn)正頻率均相等且含時(shí)的系統(tǒng)為例，討論不變本征算符法在含時(shí)二維雙耦合各向異性諧振子系統(tǒng)處理中的正確性、簡(jiǎn)捷性、普適性.當(dāng)

時(shí)，把(31)式代入到(7)、(9)、(14)、(16)、(19)、(27)式，可得:

(32)～(35)式與文獻(xiàn)［1-2］的結(jié)果相比較完全相同.

4 結(jié)論

根據(jù)以上推導(dǎo)及討論可知:對(duì)于線性哈密頓量系統(tǒng)，利用不變本征算符法進(jìn)行退耦合非常簡(jiǎn)捷，而且能夠得到明顯的系統(tǒng)簡(jiǎn)正頻率的解析表達(dá)式，也不涉及耦合項(xiàng)前系數(shù)為零等處理.只要體系的哈密頓量中只含有力學(xué)量的二次項(xiàng)(線性化)時(shí)，利用“不變本征算符”方法計(jì)算體系的元激發(fā)能量非常簡(jiǎn)捷.因此，原則上利用“不變本征算符”方法也可計(jì)算多維多耦合各向異性諧振子系統(tǒng)的簡(jiǎn)正頻率解析解與波函數(shù).

［1］ 凌瑞良，馮金福，胡云.含時(shí)二維雙耦合各向異性諧振子的嚴(yán)格波函數(shù)［J］.物理學(xué)報(bào)，2010，59(2): 759-764.

［2］ 凌瑞良，馮金福.質(zhì)量和頻率均含時(shí)的耦合諧振子的嚴(yán)格波函數(shù)［J］.物理學(xué)報(bào)，2009，58(4):2164-2167.

［3］ 凌瑞良，馮進(jìn)，馮金福.三維各向異性耦合諧振子體系的量子化能譜與精確波函數(shù)［J］.物理學(xué)報(bào)，2010，59(12):8348-8358.

［4］ 徐世民，蔣繼建，李洪奇，等.兩體組合坐標(biāo)表象的建立、性質(zhì)及應(yīng)用［J］.物理學(xué)報(bào)，2008，57(12): 7430-7437.

［5］ Fan HongYi，Li Chao.Invariant‘Eigen-operator’of the Square of Schr?dinger Operator for Deriving Energy-level Gap［J］.Phys.Lett.A，2004，321(2):75 -78.

［6］ Fan HongYi，Wu Hao.Deriving Vibrating Modes of Some Multiatom Molecules by Virtue of the Invariant Eigenoperator Method［J］.Modern Physics Letters B，2005，19(26):1361-1366.

［7］ 黃萬(wàn)霞.簡(jiǎn)正坐標(biāo)的另一種求法［J］.大學(xué)物理，2008，27(9):14-15.