磁共振成像中數(shù)據(jù)空間與k空間轉(zhuǎn)化的推導(dǎo)及討論*①

侯淑蓮 王廣新 趙強(qiáng) 謝寰彤 李石玉

(河北聯(lián)合大學(xué) 河北 唐山 063000)

磁共振成像(Magnetic Resonance Imaging，簡(jiǎn)稱 MRI)與X-CT、超聲、SPECT等成像的最大不同是沒有外在的放射源，產(chǎn)生的信號(hào)強(qiáng)度沒有與坐標(biāo)的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系.MRI利用處于磁場(chǎng)中具有磁矩的氫原子核受到射頻脈沖的激勵(lì)后，在接收線圈中產(chǎn)生感生電信號(hào)；通過一系列的物理手段使信號(hào)既帶有生物組織信息又帶有坐標(biāo)(位置)信息，然后采集這些信號(hào).用射頻脈沖激發(fā)，這涉及到射頻脈沖的類型、幅度、寬度、施加的時(shí)刻、持續(xù)的時(shí)間.如果把成像斷層分成體素，各體素產(chǎn)生的信號(hào)強(qiáng)度依賴于體素內(nèi)自旋核密度及環(huán)境，采集這些信號(hào)還原自旋核密度的空間分布就是實(shí)現(xiàn)圖像重建.為了使信號(hào)中帶有坐標(biāo)信息，目前通用的方法是通過施加梯度磁場(chǎng)用頻率去標(biāo)示這些體素的坐標(biāo).這就涉及到梯度磁場(chǎng)施加的方向、時(shí)刻、順序、持續(xù)的時(shí)間等.其次是信號(hào)的采集，是直接采集FID信號(hào)還是采集回波，是梯度回波還是自旋回波，在哪一時(shí)刻采集，用什么方式采集，要采集反映生物組織哪一方面特征的信息，如何加快采集速度提高信噪比等等.出現(xiàn)了各種各樣的參數(shù)和各種各樣的脈沖序列,使得磁共振成像原理變得異常復(fù)雜和難以理解.為了更方便地處理以上問題，使采集到的時(shí)間域信號(hào)更快地實(shí)現(xiàn)模 - 數(shù)轉(zhuǎn)換，更好地利用在頻率域處理信號(hào)簡(jiǎn)單、快捷的優(yōu)勢(shì),通過傅里葉變換實(shí)現(xiàn)圖像重建引入“k空間”的概念.實(shí)際是用計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的一個(gè)方法.由于它不是一個(gè)物理空間,而與成像的物理空間又有非常密切的關(guān)系,所以對(duì)于初學(xué)者來說，k空間既是一個(gè)很難理解的概念，又是一個(gè)很重要的空間.它是為傅里葉變換圖像重建提供數(shù)據(jù)、提供重要圖像解釋方式的基礎(chǔ).有了它，不必采用復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算就可以進(jìn)行脈沖序列的信號(hào)強(qiáng)度、組織對(duì)比、優(yōu)勢(shì)、缺陷以及對(duì)應(yīng)的偽像、分辨率、信噪比的討論.它也是MRI儀器制造過程中的關(guān)鍵技術(shù)之一.

現(xiàn)行教科書中,k空間的引入大多數(shù)僅限于定性討論，很難深入理解;有的推導(dǎo)雖然注意了科學(xué)性與嚴(yán)密性，但又太高深，使數(shù)理基礎(chǔ)不太深厚的醫(yī)學(xué)專業(yè)的學(xué)生理解起來有困難.現(xiàn)嘗試用普通物理學(xué)的方法引入k空間，并對(duì)其實(shí)質(zhì)給予進(jìn)一步的分析.

1 一維傅里葉變換圖像重建與k空間的引入

傅里葉變換及逆變換如下

(1)

(2)

時(shí)域信號(hào)與頻域信號(hào)可通過傅里葉變換相互轉(zhuǎn)化，MRI中坐標(biāo)是用頻率與相位表示的，所以傅里葉變換圖像重建是MRI的最佳選擇.圖1給出了傅里葉變換圖像重建用頻率表示空間位置的原理.

圖1

(3)

圖2 旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)在靜止線圈中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)

由此出發(fā)考查一個(gè)自旋核一維分布的樣本.設(shè)體素沿x方向，自旋核密度為ρ(x)，設(shè)主磁場(chǎng)B0方向?yàn)閦方向.由于氫核自旋對(duì)于外磁場(chǎng)的取向作用使氫核的基態(tài)能級(jí)發(fā)生分裂，使樣本中每一個(gè)體素產(chǎn)生沿主磁場(chǎng)方向的磁矩dMz，整個(gè)樣本沿主磁場(chǎng)產(chǎn)生的總磁矩為M0，如圖3(a).設(shè)沿x方向施加90°射頻(RF)脈沖，則各dMz或M0一方面繞主磁場(chǎng)

圖3 磁共振信號(hào)的產(chǎn)生

B0旋進(jìn)，另一方面繞射頻磁場(chǎng)BRF旋進(jìn)，如圖3(b)，總效果是旋轉(zhuǎn)著倒向xOy平面(可設(shè)倒向y軸)，一般忽略弛豫衰減有dMxy=dM0，各體素磁矩同相位，如圖3(c).此后RF結(jié)束橫向磁化強(qiáng)度矢量失去射頻脈沖的束縛，自由地在xOy平面旋進(jìn)，由于局部磁場(chǎng)的差異很快散相即所謂弛豫，產(chǎn)生信號(hào)，如圖3(d).為了建立信號(hào)的坐標(biāo)，90°RF后加線性梯度場(chǎng)Gx進(jìn)行頻率編碼，如圖3(e).頻率編碼的同時(shí)，采集時(shí)域信號(hào)，并把此信號(hào)轉(zhuǎn)化為用k表示的頻域信號(hào)數(shù)據(jù)，存貯到計(jì)算機(jī)的一個(gè)空間叫做k空間填充，后面有專門的介紹，見圖3(f).設(shè)90°RF結(jié)束時(shí)，t=0，各體素有相同的初相位，且φ0=0，并假設(shè)主磁場(chǎng)均勻，不存在橫向分量，則由

ω=γB[3]

(4)

傾倒后的橫向磁化強(qiáng)度矢量dMxy進(jìn)動(dòng)頻率為

ω=ω0+Δω=ω0+γGxx

(5)

用頻率標(biāo)記坐標(biāo).設(shè)接收線圈法線沿y軸，將dMxy用復(fù)數(shù)表示將更方便[3]

dMxy= (dMy+idMx)e-t/T2=

dM0(cosωt+isinωt)e-t/T2=

dM0eiωte-t/T2

(6)

其中e-t/T2為橫向弛豫(衰減)項(xiàng)，t=TE時(shí)采集信號(hào).當(dāng)TE?T2時(shí)，可忽略弛豫衰減(也可歸入等效自旋密度之中)，所以有dMxy=dM0eiωt.由式(3)可知，信號(hào)(感生電動(dòng)勢(shì))的強(qiáng)度與旋轉(zhuǎn)角頻率ω成正比，與磁感應(yīng)強(qiáng)度成正比;在本問題中也就是與磁化強(qiáng)度矢量dM0成正比，而dM0∝自旋核密度ρ(x)，每個(gè)體素產(chǎn)生的信號(hào)

dε∝ρ(x)ω(x)eiωtdx

信號(hào)的強(qiáng)度還與弛豫時(shí)間、溫度、電子線路、場(chǎng)及其他一些復(fù)雜因素有關(guān)，但自旋核密度是最基本的成像參數(shù)，不存在自旋核的地方不會(huì)有信號(hào)，其他因素依賴于自旋核密度，把上式寫為等式

dε=Λρ(x)ω(x)eiωtdx

為了研究方便,引入有效自旋密度概念.于是令ρ(x)=Λωxρ作為有效自旋密度，其中Λ為比例系數(shù)，包括了影響信號(hào)的一些因素，采集到的信號(hào)

(7)

積分范圍是自旋核密度不為零的區(qū)域.為了旋進(jìn)的穩(wěn)定性，射頻脈沖是一個(gè)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，其角頻率與dMz繞著主磁場(chǎng)旋進(jìn)的角頻率相同為ω0.建立旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，與實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系z(mì)軸相同.若以旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系為參考系(相當(dāng)于信號(hào)解調(diào))，由

ω=ω0+Δω=ω0+γGx·x

則在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中,dMxy旋轉(zhuǎn)的角速度為Δω=γxGx.把相位用角度表示，式(7)變?yōu)?/p>

(8)

負(fù)號(hào)表示橫向矢量旋進(jìn)角速度方向與確定相位角(逆時(shí)針為正)的方向相反.令kx=γGx·t,量綱為Hz·cm-1,稱做空間頻率，表示沿空間某一方向單位距離內(nèi)波動(dòng)的周期數(shù)，是一個(gè)矢量，又稱為波數(shù).這樣就把時(shí)間t隱含到空間頻率之中，式(8)可寫為

(9)

顯然，(9)式恰恰是等效自旋核密度ρ(x)的傅里葉變換式.通過線性變換把用時(shí)域信號(hào)S(t)表示的采集信號(hào)轉(zhuǎn)化為用頻域信號(hào)S(kx)表示出來，把信號(hào)與自旋密度聯(lián)系起來.從傅里葉的逆變換則很容易得到自旋核的密度分布，重建圖像

(10)

由以上研究可見，用k標(biāo)記的信號(hào)就是有效自旋核密度沿線性梯度方向的傅里葉變換，變換的變量是空間頻率k，隨時(shí)間和梯度強(qiáng)度變化.所以一維空間成像通過頻率編碼用頻率記錄空間位置的信息，用這些以頻率表示的數(shù)據(jù)組成新的結(jié)構(gòu)——k空間.具體形成過程如下：設(shè)一維樣本含有Nx個(gè)體素，每次采集到的信號(hào)是所有體素信號(hào)的和，從數(shù)學(xué)原理上來說，需有Nx次采集才能解出各體素的信號(hào)強(qiáng)度(或密度).在施加頻率編碼持續(xù)時(shí)間t2內(nèi),在t=τ,2τ,3τ,…以等間隔時(shí)間τ連續(xù)采集Nx次，形成Nx個(gè)以k表示的數(shù)據(jù)點(diǎn)，組成一行，形成一維的一個(gè)數(shù)據(jù)空間，由于用k作變量就稱為k空間，相鄰點(diǎn)間的頻率差為Δω=γGxΔx.顯然以一定順序儲(chǔ)存數(shù)據(jù)S(k)的空間就是k空間.以上是從理論上對(duì)傅里葉變換、k空間的物理意義而作的簡(jiǎn)化推導(dǎo),淺顯易懂.在MRI實(shí)際制造中，直接把接收到的時(shí)域信號(hào)S(t)通過傅里葉變換化為頻域函數(shù)

(11)

進(jìn)行傅里葉空間填充，然后作傅里葉逆變換實(shí)現(xiàn)圖像重建，式(11)與式(9)是等價(jià)的.

2 二維傅里葉變換及k空間的形成

對(duì)于二維樣本假設(shè)由Nx×Ny個(gè)體素構(gòu)成.要想使每一個(gè)體素都具有用頻率表示的坐標(biāo)，除了在x方向施加線性梯度場(chǎng)Gx頻率編碼外，還要在y方向施加相位編碼線性梯度場(chǎng)Gy，使二維斷面上的體素再獲得用頻率表征的縱坐標(biāo).具體過程是RF脈沖后核磁矩倒向y軸，首先，施加相位編碼梯度場(chǎng)持續(xù)時(shí)間t1,結(jié)束時(shí)不同y坐標(biāo)的體素獲得不同的相位，接著施加頻率編碼梯度場(chǎng)同時(shí)采集時(shí)間域信號(hào)S(t1,t2)，轉(zhuǎn)化成用kx，ky表示的一行數(shù)據(jù)，形成k空間的一行，將式(8)應(yīng)用到二維

S(kx,ky)=?dxdyρ(x,y)e-i2π(kxx+kyy)

(12)

其中

ky=γGy·t1kx=γGx·t2

(13)

積分范圍遍及自旋核存在的區(qū)域.與一維一樣，式(12)是等效自旋核密度ρ(x)的傅里葉變換式，所以對(duì)(12)式進(jìn)行二維傅里葉逆變換即得到有效自旋密度分布函數(shù)，實(shí)現(xiàn)圖像重建

ρ(x,y)=?S(kx,ky)ei2π(kxx+kyy)dkxdky

(14)

與一維情況一樣，S(kx,ky)可通過采集的時(shí)域函數(shù)S(t1,t2)的二維傅里葉變換得到

S(kx,ky)=?S(t1,t2)e-2πi(kxx+kyy)dxdy

(15)

對(duì)Nx×Ny體素平面，需要采集到Nx×Ny個(gè)信號(hào);所以相位編碼需進(jìn)行Ny次.現(xiàn)在加相位編碼梯度場(chǎng)的方法是由負(fù)向最大等間隔增加到正向最大，一次相位編碼對(duì)應(yīng)一次頻率編碼采集Nx個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)k空間的一行，Gy=0對(duì)應(yīng)k空間中央行.相位編碼進(jìn)行Ny次后，填滿Ny行，組成Nx×Ny的二維k空間.最終圖像重建信號(hào)經(jīng)傅里葉逆變換實(shí)現(xiàn)，一般經(jīng)計(jì)算機(jī)軟件處理來完成.二維傅里葉變換結(jié)果一般用復(fù)數(shù)表示，其實(shí)部作為幅度頻譜表示強(qiáng)度或灰度，虛部為相位頻譜表示坐標(biāo).

3 關(guān)于k空間

(1)k空間與成像物理空間

k空間每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都是斷層上所有體素貢獻(xiàn)的.雖然二維空間是由二維數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)成，但并不與物理空間直接對(duì)應(yīng).k空間內(nèi)的頻率編碼軸不直接對(duì)應(yīng)最終圖像的頻率編碼軸，頻率編碼軸的左右兩極并不對(duì)應(yīng)MR圖像的左側(cè)和右側(cè)部分，而是對(duì)應(yīng)此軸線上圖像的細(xì)節(jié).但k空間與真實(shí)成像平面物理空間是有關(guān)系的,若以Δωmax表示成像物體兩端對(duì)應(yīng)的最大頻率差有

Δωmax=γGxNxΔx=γGxFOVx

(16)

上式中，視野(Field of View,FOV)FOVx=NxΔx.設(shè)k空間一行中相鄰點(diǎn)間頻率差為Δω，可見要得到同樣Δω，增加磁場(chǎng)梯度即可減小Δx，就是提高了分辨力，增加采集次數(shù)可增大視野.相位編碼方向與x方向類似.又由頻率與周期的倒數(shù)關(guān)系可得到同一行中相鄰點(diǎn)之間點(diǎn)距Δkx

(17)

(2)k空間數(shù)據(jù)在圖像重建中的作用

在ky=0的中央行，MR信號(hào)是在Gy=0時(shí)獲得的，不存在相位編碼梯度磁場(chǎng)產(chǎn)生的散相，信號(hào)的幅度也就最大；隨著Gy正負(fù)方向的增加，相位編碼梯度磁場(chǎng)引起的散相也開始增加，信號(hào)的幅度也就降低了.在x方向也是如此.kx=0時(shí)采集的信號(hào)正好是每個(gè)回波的中心，因而幅度最大；而在k空間的周圍列，MR信號(hào)采集時(shí)則是回波的旁邊部分.總之，越靠近k空間邊緣，信號(hào)越弱.所以k空間中心部分對(duì)應(yīng)的MR信號(hào)幅度大，主要形成圖像的對(duì)比度.由k空間中的行距Δky和同一行Δkx及Δωx=γGxΔx,Δωy=γΔyGy表明，對(duì)于同樣的空間兩點(diǎn)間的距離Δx或Δy梯度場(chǎng)越大,對(duì)應(yīng)的頻率差別越大,則兩點(diǎn)分得越開，分辨率越好.所以對(duì)k空間的外圍部分雖然信號(hào)幅度低,但能很好的分辨細(xì)節(jié)，用來產(chǎn)生圖像的分辨率.通過k空間分析磁共振成像已成為最方便最重要的手段.所以k空間是MRI研究中非常重要的空間.

參考文獻(xiàn)

1 E.Mark Haacke,Robert W.Brown,et al著.曾曉莊，包尚聯(lián)譯.核磁共振成像物理原理和脈沖序列設(shè)計(jì). 北京：中國(guó)醫(yī)藥科技出版社,2007

2 趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué). 北京：高等教育出版社,1985

3 俎棟林.核磁共振成像學(xué). 北京：高等教育出版社,2004