地平式望遠鏡軸系誤差對指向精度和跟蹤精度的影響*

馬 錦，顧伯忠

(1.中國科學院國家天文臺南京天文光學技術(shù)研究所，江蘇 南京 210042;2.中國科學院天文光學技術(shù)重點實驗室，江蘇 南京 210042;3.中國科學院研究生院，北京 100049)

天文光學望遠鏡是大型高精密儀器，綜合應用當代光學、精密機械和精密控制的最新技術(shù)和成果，它是天文學家用來觀測天空星體、探索宇宙奧秘的重要設備。高性能的天文望遠鏡除了要有好的光學系統(tǒng)，還要有穩(wěn)定、高精度的指向和跟蹤系統(tǒng)［1］。隨著望遠鏡對口徑的要求越來越大，地平式望遠鏡成為現(xiàn)代望遠鏡的主流，而研究影響望遠鏡指向精度和跟蹤精度的因素是改進望遠鏡精確定位的重要課題。望遠鏡的指向誤差由很多因素造成的，包括大氣折射、望遠鏡的制造和裝配誤差、望遠鏡的重力變形以及因為溫度變化引起的變形誤差，望遠鏡的結(jié)構(gòu)因素包括軸系的誤差、鏡筒的彎沉、叉臂或軛架的變形等等都會影響望遠鏡的指向誤差［2］。在所有的誤差原因中絕大多數(shù)均有特殊的規(guī)律，它們具有重復性的特點，但是即使有規(guī)律的變化因素，其表現(xiàn)形式以及反映在指向誤差上的貢獻仍然很難掌握。本文以2米級地平式望遠鏡為例，應用球面幾何的方法建立模型分析軸系結(jié)構(gòu)位置誤差對天文望遠鏡指向精度和跟蹤精度的影響，為軸系精度及軸系位置要求提供理論依據(jù)，為后續(xù)的控制修正提供參考數(shù)據(jù)模型。

1 軸系位置誤差對指向、跟蹤精度影響的理論分析

僅考慮軸系結(jié)構(gòu)位置誤差引起的指向、跟蹤誤差，兩者其實是一致的，只是軸系工作狀態(tài)不同，指向需要是高速、大角度范圍，而跟蹤是低速、小角度范圍。誤差產(chǎn)生的機理和計算公式相同，單位角度范圍內(nèi)產(chǎn)生的誤差值相同。

當軸系之間為理論位置時，方位軸轉(zhuǎn)過角度A，高度軸轉(zhuǎn)動角度E，光軸精確指向需要觀測的目標天體T，當存在軸系誤差時，方位軸和高度軸分別轉(zhuǎn)過相同角度，則光軸指向的位置為T'，此時指向誤差即為T'T。下面分析軸系誤差對地平式望遠鏡指向、跟蹤精度的影響。

當高度軸水平誤差為α，方位軸垂直誤差為β時，如圖1，∠ZOP=α，∠ZOZ'=β。因為方位軸垂直誤差方向可能是任意方向，所以Z'所在的位置是以Z為圓心，弧ZZ'為半徑旋轉(zhuǎn)的某位置，如圖1中靠近Z點的虛線軌跡?，F(xiàn)以Z點、Z'點和P點在同一段大圓弧上為初始位置，Z'實際位置為繞Z點順時針轉(zhuǎn)過角度γ。

在天文ΔZZ'P中，根據(jù)余弦定理得:

根據(jù)正弦定理得:

圖1 軸系誤差對指向精度影響Fig.1 The effect of the shaft error on the pointing accuracy

在天文ΔT'Z'P'中，有關(guān)系∠T'P'Z'=90°－∠ZPZ'，Z'P'=Z'P根據(jù)余弦定理得:

根據(jù)正弦定理得:

在天文ΔT'Z'Z中，有關(guān)系∠T'Z'Z=360°－∠ZZ'P－A－∠T'Z'P'根據(jù)余弦定理得:

根據(jù)正弦定理得:

在天文ΔSZS'中，根據(jù)余弦定理得:

根據(jù)(1)、(3)、(6)求出的TZ值、T'Z值和∠T'ZZ'值代入(7)，即可求出軸系綜合誤差對指向誤差的影響。

2 軸系位置誤差檢測及數(shù)據(jù)處理

2.1 方位軸垂直誤差的檢測及數(shù)據(jù)處理

圖2 水平度測量圖Fig.2 Measurement chart of levelness

圖3 根據(jù)最小二乘法擬合數(shù)據(jù)Fig.3 Data constructed according to the Least-squares fit

表1 底座油墊面測量值Table 1 Measurements of the surface of the oil mat on the base

2.2 高度軸水平誤差的檢測及數(shù)據(jù)處理

圖4 高度軸水平度檢測圖Fig.4 Illustration of the detection of levelness of the altitude axis

圖5 赤道坐標和地平坐標的變換圖Fig.5 Illustration of the transformation between the equatorial coordinates and the altazimuth coordinates

如圖4，在高度軸A，B兩端的外側(cè)與內(nèi)側(cè)分別架上十字絲，通過轉(zhuǎn)動中間塊使得4個十字絲分別調(diào)到各軸頭的旋轉(zhuǎn)中心。然后利用調(diào)好中心的前后兩個十字系絲，將自準直測量望遠鏡準直到該軸頭的旋轉(zhuǎn)軸線上［3］，先準直到A軸頭記下測量望遠鏡自身的位置值，再準直到B軸頭，此時測量高度軸A、B兩頭十字絲的高低差即為高度軸水平差。自準直儀的刻度為0.02 mm，測量出的高低差為一格，即為0.02 mm，換算得高度軸水平誤差近似為1.1″。

3 建模仿真

建立了軸系位置誤差對指向精度的模型，根據(jù)實際檢測出的2米級地平式望遠鏡軸系位置誤差代入已建立模型中進行指向、跟蹤仿真。

3.1 赤道坐標與地平坐標之間的轉(zhuǎn)化

以上分析均基于地平坐標系而言，而天體的坐標以赤道坐標表示，在對目標星體的位置坐標及運行軌跡做指向和跟蹤的建模仿真時必須把坐標值從天球坐標系轉(zhuǎn)化到地平坐標系。

如圖5，X為觀測目標，設已知赤道坐標里赤緯δ和時角t，求地平坐標［4］里天定距z和方位角A:

在天文三角形ZPX中，以邊z和A角為主;

根據(jù)余弦公式得 cosz=cos(90°－φ)cos(90°－δ)+sin(90°－φ)sin(90°－δ)cost，即:

以及第一五元素公式可得

在觀測地點的緯度已知，天定距z和方位角A就可以唯一確定了。

3.2 指向誤差的仿真

找一組分布于天球的若干目標，轉(zhuǎn)動方位軸和高度軸使光軸依次指向不同目標星體，由于軸系之間存在位置誤差，每顆星的實測位置與期望位置存在一定偏離，即為指向誤差。在地平坐標系中采用方位角 (θ°～360°)每隔75°，高度角(天頂距10°～70°)每隔10°作為觀測位置，統(tǒng)計偏離數(shù)據(jù)見表2。由表2可以看出，在方位軸垂直誤差與高度軸水平誤差分別在1″左右時，其對望遠鏡在全天區(qū)范圍內(nèi)指向誤差貢獻最大值為3.3″。

3.3 跟蹤誤差仿真

選擇觀測地理緯度為40°，分別對赤緯從10°～80°，每隔10°作一次連續(xù)24 h跟蹤次仿真，每隔1 s記錄一次數(shù)據(jù)，仿真流程如圖6。節(jié)選赤緯為60°和30°跟蹤誤差仿真圖如圖7～8。圖7和圖8分別為軸系綜合誤差，赤緯為60°和30°時跟蹤誤差的仿真圖。

圖6 跟蹤精度程序流程圖Fig.6 Flowchart of the program for tracking precision

表2 觀測位置的指向誤差Table 2 Pointing errors at different directions

圖7 赤緯為60°跟蹤誤差Fig.7 Tracking error at Declination 60°

圖8 赤緯為30°跟蹤誤差Fig.8 Tracking error at Declination 30°

根據(jù)上述仿真圖形得(其余具有相同的規(guī)律，具體數(shù)據(jù)如表3)得:在做24 h連續(xù)跟蹤時，跟蹤誤差具有周期性;方位軸的垂直誤差對跟蹤精度影響較高度軸水平誤差對跟蹤精度的影響大;在地方緯度和赤緯之和為90°是跟蹤誤差的均方根值最大，變化最劇烈，赤緯增大或者減小跟蹤誤差值變化趨于平緩。

表3 軸系位置誤差引起跟蹤誤差Table 3 Shaft position error caused by the tracking error

選擇地方緯度為40°時觀測，由上面推論得:赤緯為50°時跟蹤誤差變化最劇烈?，F(xiàn)分別在變化最劇烈時作1 min、10 min的短周期開環(huán)跟蹤和2 h長周期閉環(huán)跟蹤，仿真圖形如圖9～11。

圖9 跟蹤1 min仿真圖Fig.9 Simulated tracking errors within one minute

圖10 跟蹤10 min仿真圖Fig.10 Simulated tracking errors within ten minutes

分析仿真數(shù)據(jù)可以得到當軸系位置誤差在1″左右時，其對跟蹤、指向的影響結(jié)果如下:

(1)全天區(qū)指向，可能出現(xiàn)對指向誤差最大貢獻值(方位角變化360°，高度角變化90°) 為3.3″;

(2)跟蹤誤差變化最劇烈時，1 min內(nèi)對跟蹤誤差的貢獻值RMS為0.0014″;

(3)跟蹤誤差變化最劇烈時，10 min內(nèi)對跟蹤誤差的貢獻值RMS為0.015″;

(4)跟蹤誤差變化最劇烈時，2 h內(nèi)對跟蹤誤差的貢獻值RMS為0.149″。

圖11 跟蹤2 h仿真圖Fig.11 Simulated tracking errors within two hours

4 結(jié)論

當軸系位置誤差在1″左右時，其對指向的影響比較大，需要控制系統(tǒng)在指向模型中加以校正;而對與小于10 min的短周期開環(huán)跟蹤，其影響非常小，可以忽略;對于長周期閉環(huán)跟蹤，其產(chǎn)生的誤差將被導星系統(tǒng)加以校正，其影響也可以忽略。

如若把軸系位置誤差放大一倍，指向誤差最大為6.27″，小于實際軸系誤差對指向誤差貢獻的2倍。跟蹤誤差變化最劇烈時，不同跟蹤時間對跟蹤誤差的貢獻如表4，相當于實際軸系誤差對跟蹤誤差貢獻的兩倍，其對跟蹤精度造成的影響仍然可以忽略。

表4 軸系誤差放大一倍跟蹤均方根值Table 4 RMS of tracking when the shaft error is doubled

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