蔣志萍,李世杰
(1.浙江外國語學(xué)院理工學(xué)院,浙江杭州310012;2.浙江省衢州市教育局教研室,浙江衢州324002)
凸函數(shù)是一個重要的數(shù)學(xué)概念,在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論研究中它所發(fā)揮的作用是無可替代的[1-2].類比凸函數(shù)的概念,文獻(xiàn)[3]中提出如下的幾何凸函數(shù)概念:
設(shè)f(x)在區(qū)間M(?R+)上有定義,如果對于任意的x1,x2∈M和t∈[0,1],都有
則說f(x)在M上是幾何凸函數(shù),如果(1)中不等號反向,則說f(x)在M上是幾何凹函數(shù).
文獻(xiàn)[4]作了更廣泛的研究,從中可以看出幾何凸函數(shù)在不等式研究中具有重要的作用.文獻(xiàn)[5]提出〈l,t〉凸函數(shù)概念:
設(shè)f(x)是定義在實線性空間X中的凸集D上的實值連續(xù)函數(shù),若對?x1,x2∈M(?D),λ∈[0,1]和給定的常數(shù)l,t,都有λx1+(1-λ)x2+l∈D,且f[λx1+(1-λ)x2+l]+t≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),則稱f(x)為M上的〈l,t〉凸函數(shù).并對〈l,t〉凸函數(shù)及其應(yīng)用作了初步的研究,這啟發(fā)我們可以對幾何凸函數(shù)作類似的推廣研究.本文下面提出更一般的m維空間的〈l,t〉幾何凸函數(shù)概念.
為方便計,引入下列記號:M=M1×M2×…×Mm(Mi為[ai,bi],或(ai,bi),或無窮區(qū)間,i=1,2,…,m,m≥1).若Mi=R+=[0,+),i=1,2,…,m,則M記作Rm+.
下面給出〈l,t〉幾何凸函數(shù)的定義:
定義 設(shè)M是m個區(qū)間的笛卡爾積,f(X)是定義在M(?Rm+)上連續(xù)的數(shù)值函數(shù),t是常數(shù),l為正常數(shù),若對任意的
則稱f(X)是M上的〈l,t〉幾何凸函數(shù);如果上面不等式的不等號反向,則稱f(X)是M上的〈l,t〉幾何凹函數(shù).
值得指出的是,〈l,t〉幾何凸函數(shù)含有兩個參變數(shù)l,t,與它不同的幾何凸函數(shù)定義有:
(1)吳光耀在文[6]中提出的L-幾何凸函數(shù)的關(guān)系式:
中只含有一個參變數(shù)L,是〈l,t〉幾何凸函數(shù)當(dāng)l=1,t=0時的推廣.
(2)在專著[7]中,張小明采用的幾何凸函數(shù)定義,是〈l,t〉幾何凸函數(shù)當(dāng)→f(x)時的特殊情況(該定義由本文作者之一李世杰提出).
定理1 設(shè)f(X)是M上的〈l,t〉幾何凸函數(shù),即對任意的X1,X2∈M,λ∈[0,1],t是常數(shù),l為正
則對任意的
其中p表示滿足2p-1<n≤2p的整數(shù).
如果l+t=1,(2)中等式成立的條件是X1=X2,則(3)中等式成立的條件是X1=X2=…=Xn.
下面用反向數(shù)學(xué)歸納法來證明這一結(jié)論.
證明 當(dāng)l+t=1時,首先證明n=2p(p∈N,p≥2)時結(jié)論成立.
當(dāng)n=2時,由(2)及其等號成立的條件知結(jié)論成立.
假設(shè)n=2k(k∈N,k≥2)時,結(jié)論成立,即對?Xi∈M(i=1,2,…,k),有
等式成立的條件是X1=X2=…=X2k.則對Xi∈M(i=2k+1,2k+2,…,2k+1),有
等式成立的條件是X2k+1=X2k+2=…=X2k+1.
又根據(jù)n=2時的結(jié)論,在(2)中作置換
得
等式成立的條件是
故由上面方程組可推得(7)中等式成立的條件是X1=X2=…=X2k+1.
因此對n=2k+1(k∈N)結(jié)論也成立.可見,對n=2p(p∈N,p≥2)結(jié)論恒成立.
當(dāng)2p-1<n<2p時,令pn+1=pn+2=…=p2p→0,由n=2p時的(3)式得
綜上,就證明了不等式(3)結(jié)論對n≥2恒成立.
當(dāng)l+t≠1時,若X1=X2,(2)中等號不成立,但由不等式(2)仍可推出不等式(3)成立,證明過程完全類似,略.
注 當(dāng)l=1,t=0,f(X)=x時,定理1給出的是加權(quán)的算術(shù)——幾何平均值不等式.
推論1 設(shè)g(X)(X∈M)是正值函數(shù),若對任意的X1、X2∈M,λ∈[0,1],t,l是正常數(shù),都有
其中p表示滿足2p-1<n≤2p的整數(shù).
證明 在定理1中令f(X)=lng(X),lnt→t,(2)、(3)變形即得(8)、(9).
推論2 (乘積型函數(shù)不等式)設(shè)g(X)是定義在M上的正值函數(shù),t,l>0,,若對任意的X1、X2∈
其中p表示滿足2p-1<n≤2p的整數(shù).
證明 在定理1中令f(X)=lng(X),lnt→t,即可得證.
命題1 (算術(shù)型函數(shù)不等式)設(shè)正值函數(shù)f(X)的定義域為λ∈[0,1],t,l>0,若對任意的X1、X2∈都有
其中p表示滿足2p-1<n≤2p的整數(shù).
證明 在定理1中令f(x)=g(lnx),exi→xi,即可證明.
命題2 (方冪型函數(shù)不等式)設(shè)非負(fù)函數(shù)f(X)的定義域為,αi≠0,i=1,2,…,m,λ∈[0,1],r,t,l>0,若對任意的X1、X2∈,都有
其中p表示滿足2p-1<n≤2p的整數(shù).
〈l,t〉幾何凸函數(shù)的的應(yīng)用是十分廣泛的,上面我們得到的一系列不等式,是我們常見的一些著名不等式的共同來源.
如定理1,取m=l=1,t=0,可得丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen,1859-1925)1905年證明的著名的琴生不等式;如命題2的結(jié)果也是多姿多彩的,取m=r==l=1,t=0,則
①當(dāng)α1=-1時,可得調(diào)和型函數(shù)不等式;
②當(dāng)α1=k(k∈N,k≥1)時,可得乘方型函數(shù)不等式;
限于篇幅,其它結(jié)果不再一一列出.下面再舉二個應(yīng)用實例.
例1 設(shè)xi≥1,pi≥0(i=1,2,…,n,n≥2),
其中p是滿足2p-1<n≤2p的整數(shù),等號當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn=1時成立.
由琴生不等式,可得
所以
其中p是滿足2p-1<n≤2p的整數(shù),等號當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn=1時成立.
例2 設(shè)0≤xi≤2,pi≥0(i=1,2,…,n,n≥2),
其中p是滿足2p-1<n≤2p的整數(shù).
證明 當(dāng)n=2時,對任意的由于λ∈[0,1],0≤xi≤2(i=1,2),我們有
設(shè)f(x)=x2,x∈[0,2],上式即λf(x1)+(1-λ)f(x2)≤f[λx1+(1-λ)x2]+1,應(yīng)用命題2,即可證得:
其中p是滿足2p-1<n≤2p的整數(shù).
[1]Hardy G H,Little wood J E,Polya G.不等式[M].越民義,譯.北京:科學(xué)出版社,1965:76-85.
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[5]李世杰,石煥南.〈l,t〉凸函數(shù)初探[J].北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報,2005(3):19-24.
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[7]張小明.幾何凸函數(shù)[M].合肥:安徽大學(xué)出版社,2004:100-106.