基于ICMCM法的GARTEUR結(jié)構(gòu)有限元模型修正研究

王金明，李偉明，彭明峰

(上海航天精密機(jī)械研究所，上海 201600)

基于ICMCM法的GARTEUR結(jié)構(gòu)有限元模型修正研究

王金明，李偉明，彭明峰

(上海航天精密機(jī)械研究所，上海 201600)

改進(jìn)的正交模型正交模態(tài)(ICMCM)法在進(jìn)行模型修正過程中需要同時(shí)使用實(shí)驗(yàn)測得的頻率及模態(tài)振型等數(shù)據(jù)。本文利用有限元模型的模態(tài)振型代替實(shí)驗(yàn)測量的模態(tài)振型并通過迭代解決了模型修正過程中缺少實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型數(shù)據(jù)的問題，使ICMCM法具有更廣的應(yīng)用范圍。根據(jù)國際認(rèn)可的三級評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)使用ICMCM法對GARTEUR飛機(jī)模型進(jìn)行了修正，并與國際上其他單位的模型修正結(jié)果進(jìn)行橫向比較，結(jié)果證明了本文改進(jìn)方法的可行性及修正結(jié)果的優(yōu)越性。

有限元法;模型修正;GARTEUR模型;迭代

為了能夠方便、快捷的掌握工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，研究人員大多采用對其建立有限元模型進(jìn)行分析。現(xiàn)階段，航天器、橋梁等特殊用途的工程結(jié)構(gòu)對有限元模型的精度及可靠性提出了更高的要求。但是，由于有限元建模過程中不準(zhǔn)確的模型簡化以及材料、幾何參數(shù)的不確定性等因素造成有限元模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的測試結(jié)果之間往往存在著較大的差距，使得根據(jù)工程圖紙和經(jīng)驗(yàn)建立的有限元模型并不可靠，這時(shí)就需要利用模型修正技術(shù)來修正結(jié)構(gòu)的有限元模型，提高其精度及可靠性［1－4］。

從1958年Gravitz［5］為解決飛機(jī)地面共振實(shí)驗(yàn)中測量振型的正交化問題，提出依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)修正飛機(jī)結(jié)構(gòu)的柔度矩陣以來，有限元模型修正技術(shù)取得了飛速的發(fā)展。目前有限元模型修正方法主要分為矩陣型模型修正方法和參數(shù)型模型修正方法兩大類，其中參數(shù)型模型修正方法由于其修正結(jié)果具有明確的物理意義并且便于大型工程分析軟件利用，因此受到越來越多的重視。2007年，Hu等［6］提出了一種參數(shù)型的模型修正方法，稱為正交模型正交模態(tài)法(Cross-model cross-mode method，簡稱CMCM法)，該方法不需要進(jìn)行靈敏度分析并且具有良好的建模誤差判斷能力。另外，CMCM法不需要將實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)與有限元模態(tài)進(jìn)行一一配對，在修正過程中實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)可以與任意一階有限元模型的模態(tài)進(jìn)行組合，增加了修正方程的數(shù)量，從而極大地增加了修正參數(shù)的個(gè)數(shù)。然而李劍等人［7］指出在有限元模型計(jì)算得到的模態(tài)振型與實(shí)驗(yàn)測量得到的模態(tài)振型相關(guān)性很好的情況下，CMCM方法容易在求解過程中出現(xiàn)分母為零或近似為零的情況而造成數(shù)值病態(tài)問題，并對CMCM法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了改進(jìn)的正交模型正交模態(tài)法(Improved cross-model cross-mode method，簡稱ICMCM法)。使用ICMCM法進(jìn)行模型修正，需要同時(shí)使用有限元模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念l率及模態(tài)振型數(shù)據(jù)，然而復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)實(shí)驗(yàn)有時(shí)很難測量得到理想的模態(tài)振型數(shù)據(jù)，因此就會(huì)造成模型修正中缺少實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的問題，這種情況下就無法使用ICMCM法進(jìn)行模型修正。

為了能夠?qū)δＰ托拚馁|(zhì)量進(jìn)行評估，Link和Friswell［8］提出了評價(jià)模型修正效果的準(zhǔn)則，對于頻率可以簡化為以下三條:① 修正后的有限元模型必須能夠準(zhǔn)確地復(fù)現(xiàn)所使用頻段范圍內(nèi)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念l率;②修正后的有限元模型應(yīng)當(dāng)能夠預(yù)示修正所使用頻段范圍以外實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念l率;③ 修正后的有限元模型能夠準(zhǔn)確預(yù)示實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)修改后的動(dòng)力學(xué)特性，此處僅對實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行修改，有限元模型不重新進(jìn)行修正，而是在上一步修正的基礎(chǔ)上根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)修改情況做出相應(yīng)的結(jié)構(gòu)調(diào)整，獲得模態(tài)參數(shù)。

GARTEUR飛機(jī)模型是由法國國家航空航天研究院設(shè)計(jì)制造并由多家機(jī)構(gòu)先后進(jìn)行了多次動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)［8］，目前該結(jié)構(gòu)已成為國際公認(rèn)的用于評估動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)與模型修正技術(shù)的基準(zhǔn)模型［8－10］。本文首先解決ICMCM法因缺少實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)而無法進(jìn)行模型修正的問題，然后根據(jù)上述的三條模型修正評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)并通過具體的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對GARTEUR飛機(jī)模型進(jìn)行模型修正，最后與國際同行的修正結(jié)果進(jìn)行橫向比較，驗(yàn)證了ICMCM法以及本文所提出方法的優(yōu)越性及可行性。

1 ICMCM法

假設(shè)有限元模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷南到y(tǒng)矩陣之間存在如下關(guān)系

其中:K*和M*分別為實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣;K、M為有限元模型的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，Kn、Mn分別為有限元模型第n個(gè)子單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣對系統(tǒng)整體矩陣的貢獻(xiàn);αn、βn分別為第n個(gè)單元的剛度修正因子及質(zhì)量修正因子，Ne表示有限元模型單元的個(gè)數(shù)。

Hu等［6］對特征方程考慮實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)與有限元模態(tài)的混合加權(quán)后得到:

CMCM法在公式推導(dǎo)過程中采用式(2)除以式(3)的方法得到修正方程。但是，當(dāng)有限元模型的模態(tài)振型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜏y量得到的模態(tài)振型之間相關(guān)性較好時(shí)容易在修正公式中出現(xiàn)分母為零或者近似為零的情況而造成數(shù)值病態(tài)問題。李劍等［7］對此做出改進(jìn)，使用式(2)減去式(3)并利用式(1)，經(jīng)過整理得到:

假設(shè)使用的有限元模態(tài)為nf階，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)為nt階，則式(6)代表了nf×nt個(gè)線性方程。對式(6)進(jìn)行求解得到參數(shù)修正量αn及βn，然后通過式(1)獲得修正后的有限元模型。通過對CMCM進(jìn)行改進(jìn)得到的新的模型修正方法稱為ICMCM法。

使用ICMCM法進(jìn)行模型修正時(shí)，需要同時(shí)使用有限元模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念l率及模態(tài)振型數(shù)據(jù)，然而對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)實(shí)驗(yàn)有時(shí)很難測量得到實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)據(jù)，因此就會(huì)造成模型修正過程中缺少實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的問題。為了解決該問題，本文采用傳統(tǒng)的模態(tài)擴(kuò)展方法，即直接使用有限元模型的模態(tài)振型Φ代替實(shí)驗(yàn)測試得到的模態(tài)振型Φ*，并通過迭代來不斷的修正臨時(shí)使用的模態(tài)振型，通過這種迭代過程不但可以解決缺少實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的問題而且還可以避免自由度匹配的過程，極大的增加模型修正方程的個(gè)數(shù)，進(jìn)而增加修正參數(shù)的數(shù)量。具體的迭代過程如圖1所示，其中ωk+1與Φk+1為第k次迭代過程中計(jì)算得到的有限元模型的頻率及模態(tài)振型。

圖1 模型修正流程圖Fig.1 Simulation procedure of model updating

2 GARTEUR飛機(jī)模型有限元模型修正

GARTEUR飛機(jī)模型是具有12個(gè)成員的歐洲航空科技研究組織結(jié)構(gòu)與材料工作組建立的一個(gè)典型的標(biāo)準(zhǔn)飛機(jī)模型，該項(xiàng)目啟動(dòng)于1995年由法國國家航空航天研究院設(shè)計(jì)制造并由多家機(jī)構(gòu)先后進(jìn)行了多次動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)。該飛機(jī)模型具有真實(shí)飛機(jī)的高柔度、模態(tài)頻率低且密集的特點(diǎn)，目前已經(jīng)被歐洲航空科技組織作為評估實(shí)驗(yàn)分析技術(shù)與模型修正技術(shù)的基準(zhǔn)模型。該模型機(jī)身全長1.5 m，翼展2 m，結(jié)構(gòu)總重44kg。為了增加機(jī)身阻尼，機(jī)翼上附著了一層1.1×76.2×1 700 mm3的粘彈性阻尼層，如圖2所示。

為了能更深入的評價(jià)有限元模型修正的效果，Link和Friswell［8］詳細(xì)介紹了兩種對于初始GARTEUR飛機(jī)模型的局部修改的情況，如圖2所示。修改1為在飛機(jī)的水平尾翼上增加一個(gè)0.92 kg的集中質(zhì)量;修改2為用0.72 kg的黃銅代替飛機(jī)機(jī)翼左側(cè)翼尖的0.15 kg的集中質(zhì)量。對初始GARTEUR模型的結(jié)構(gòu)修改對于評價(jià)有限元模型修正的結(jié)果以及評價(jià)模型修正參數(shù)的準(zhǔn)確性具有重要的價(jià)值。GARTEUR模型小組對初始模型以及兩種修改后的模型分別進(jìn)行了高精度的模態(tài)實(shí)驗(yàn)。初始模型共測量得到14階頻率及模態(tài)振型，其中在模型修正過程中僅使用前9階實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，后5階實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)根據(jù)模型修正評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的第二條校核修正后有限元模型的準(zhǔn)確性;兩種結(jié)構(gòu)修改的目的為根據(jù)模型修正評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的第三條，分別使用結(jié)構(gòu)修改后實(shí)驗(yàn)測得的前10階數(shù)據(jù)，對上一步修正后有限元模型的可靠性做進(jìn)一步檢驗(yàn)。

2.1 對初始GARTEUR結(jié)構(gòu)模型的修正

本文利用Ansys軟件對GARTEUR飛機(jī)結(jié)構(gòu)建立有限元模型，如圖3所示。有限元模型含有50個(gè)節(jié)點(diǎn)，49個(gè)梁單元，2個(gè)集中質(zhì)量，共51個(gè)單元，300個(gè)自由度，有限元模型總重42.339 kg。使用梁單元模擬機(jī)身與機(jī)翼、機(jī)身與垂直尾翼、垂直尾翼與水平尾翼以及機(jī)翼與左右兩小翼之間的復(fù)雜連接，然后將Ansys軟件建立的模型導(dǎo)入到Matlab軟件中進(jìn)行模型修正。修正前有限元模型頻率與實(shí)驗(yàn)實(shí)測頻率的對比見表1。由表1可以看到，初始有限元模型的前9階頻率最大誤差為7.335 3%，平均誤差為4.596 4%，后5階頻率的最大誤差為5.985 1%，平均誤差為2.947 2%，這說明由于GARTEUR結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性及參數(shù)的不確定性，造成了有限元建模的困難，導(dǎo)致有限元建模結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果相差較大，需要使用模型修正技術(shù)提高有限元模型的精度及可靠性。

表1 修正前后有限元模型與實(shí)驗(yàn)測試頻率比較Tab.1 Frequency comparison between finite element model and test data before and after model updating

由于在進(jìn)行模型修正前只獲得了GARTEUR模型實(shí)驗(yàn)的頻率數(shù)據(jù)，未能得到模態(tài)振型數(shù)據(jù)，對此采用本文提出的改進(jìn)方法即利用有限元模型的模態(tài)振型代替實(shí)驗(yàn)的模態(tài)振型，并結(jié)合迭代過程不斷的進(jìn)行修正。修正時(shí)僅使用實(shí)驗(yàn)的前9階頻率數(shù)據(jù)，10－14階頻率用來檢查修正后的模型是否具有預(yù)示修正頻段外頻率的能力。

在模型修正中，為了能夠得到滿意的模型修正結(jié)果，需要合理的選取待修正參數(shù)。目前選取待修正參數(shù)的方法大多依賴靈敏度分析，該類方法主要選取一些對目標(biāo)函數(shù)靈敏度大的參數(shù)進(jìn)行修正。但是，靈敏度大的參數(shù)不一定是存在建模誤差的參數(shù)［11，12］。因此，基于靈敏度分析的待修正參數(shù)選取結(jié)果有時(shí)并不符合結(jié)構(gòu)真實(shí)的情況。利用本文提出的方法對GARTEUR模型進(jìn)行模型修正，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取了建模中材料參數(shù)不確定的5個(gè)連接部位及其附近部位共26個(gè)單元作為待修正單元，添加修正后結(jié)構(gòu)總質(zhì)量為44 kg的物理約束，以單元的楊氏模量及密度作為待修正參數(shù)，修正參數(shù)總數(shù)為52，采用正則化方法對修正方程進(jìn)行求解，依靠數(shù)學(xué)方程自動(dòng)地對存在建模誤差的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，得到參數(shù)的修正量。

圖4 單元楊氏模量修正量Fig.4 Updating results of element Young’s modulus

圖4表示參與修正的26個(gè)單元的楊氏模量的修正情況。由圖4可以看出，單元楊氏模量的修正量與結(jié)構(gòu)真實(shí)的狀態(tài)基本相符，第5單元為機(jī)身與機(jī)翼之間的連接單元，是整個(gè)飛機(jī)結(jié)構(gòu)中參數(shù)最難以掌握的部位，由于初始建模時(shí)楊氏模量取值較小，而真實(shí)的連接部位剛度很大，因此該參數(shù)獲得了較大的修正量。圖5表示參與修正的26個(gè)單元密度的修正情況。由圖5可以看出，單元密度的修正量均未超過12%，符合結(jié)構(gòu)真實(shí)的狀態(tài)。

圖5 單元密度修正量Fig.5 Updating results of element density

頻率修正結(jié)果見表1。對初始有限元模型進(jìn)行修正后，有限元模型的總質(zhì)量由42.339 kg變?yōu)?4 kg整，質(zhì)量的誤差由3.78%變?yōu)?，由表1可以看到，修正過程中所使用的前9階頻率最大誤差由7.3353%變?yōu)?.203 7%，平均誤差由 4.596 4%變?yōu)?0.970 6%，作為校核模型修正效果的后5階頻率最大誤差由5.985 1%變?yōu)椋?.273 6%，平均誤差由2.9472%變?yōu)?.075 8%。數(shù)據(jù)表明，修正后的有限元模型不但在所使用頻段內(nèi)誤差極大的降低，而且未參與修正的后5階頻率也變得更加的精確。修正后有限元模型的前兩階頻率的誤差較其它幾階頻率大，可能是因?yàn)楸疚牟⑽纯紤]機(jī)翼上粘性阻尼層的原因。

2.2 修正后的模型對修改后GARTEUR模型動(dòng)力學(xué)

特性的預(yù)示

為了進(jìn)一步對初始有限元模型修正結(jié)果進(jìn)行評估，GARTEUR小組對實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行了兩種結(jié)構(gòu)修改。對此，在上一節(jié)修正后有限元模型的基礎(chǔ)上不重新進(jìn)行修正，而是根據(jù)實(shí)驗(yàn)修改狀況做出相應(yīng)的調(diào)整，得到修改后有限元模型的頻率，與修改后GARTEUR模型的實(shí)測頻率進(jìn)行比較，這樣做的目的是為了防止對初始有限元模型進(jìn)行修正時(shí)只關(guān)注修正的數(shù)學(xué)結(jié)果，避免修正結(jié)果與結(jié)構(gòu)真實(shí)狀態(tài)不符。好的模型修正結(jié)果應(yīng)該能準(zhǔn)確的預(yù)示實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行局部修改后的動(dòng)力學(xué)特性。

結(jié)構(gòu)修改1即尾翼修改的修正前后頻率比較見表2，修正前頻率的平均誤差為3.723 6%，最大誤差為5.411 1%，修正后頻率的平均誤差變?yōu)?.025 1%，最大誤差變?yōu)椋?.813 4%。結(jié)構(gòu)修改2即機(jī)翼修改同樣可以得到理想的預(yù)示結(jié)果，修正前后頻率比較見表3，修正前頻率的平均誤差為3.427 8%，最大誤差為6.711 1%，修正后頻率的平均誤差變?yōu)?.260 6%，最大誤差變?yōu)椋?.487 0%。綜合上述兩種結(jié)構(gòu)修改的比較結(jié)果，修正前頻率誤差超過2%的個(gè)數(shù)為15個(gè)，超過5%的個(gè)數(shù)為4個(gè)，對初始有限元模型進(jìn)行修正再做相應(yīng)的修改后頻率誤差超過2%的個(gè)數(shù)為4個(gè)，未出現(xiàn)頻率誤差超過5%情況。說明上一節(jié)的模型修正的結(jié)果能夠準(zhǔn)確的預(yù)示實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行局部修改后的動(dòng)力學(xué)特性，修正后的模型已達(dá)到了國際上認(rèn)可的三級模型修正評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

表2 有限元模型預(yù)示頻率與測量頻率的對比－尾翼修改Tab.2 Comparison between measured frequencies and finite element predictions-tail modification

表3 有限元模型預(yù)示頻率與測量頻率的對比－機(jī)翼修改Tab.3 Comparison between measured frequencies and finite element predictions-wing modification

表4 GARTEUR模型修正橫向?qū)Ρ龋惨硇薷腡ab.4 Horizontal comparison of the GARTEUR updating-tail modification

表5 GARTEUR模型修正橫向?qū)Ρ龋瓩C(jī)翼修改Tab.5 Horizontal comparison of the GARTEUR updating-wing modification

表4與表5為本文對GARTEUR模型進(jìn)行修正的結(jié)果與國際上7家同行模型修正結(jié)果的橫向?qū)Ρ?。其中?為結(jié)構(gòu)修改1的模型修正結(jié)果的橫向?qū)Ρ?，?為結(jié)構(gòu)修改2的模型修正結(jié)果的橫向?qū)Ρ取?/p>

由于各家單位在所用的修正方法、修正參數(shù)、計(jì)算方法等方面均有不同，因此模型修正的結(jié)果也差異較大，并且沒有某家單位的修正結(jié)果在各個(gè)指標(biāo)上均處于第一的位置。由表4與表5所示結(jié)果可以看到，在最大誤差、修正后頻率誤差超過2%的個(gè)數(shù)及超過5%的個(gè)數(shù)和平均誤差等4個(gè)指標(biāo)來看，本文的模型修正結(jié)果已達(dá)到國際同期先進(jìn)水平。另外，有些模型修正方法需要同時(shí)使用實(shí)驗(yàn)測量的頻率以及振型的數(shù)據(jù)，但是有些實(shí)驗(yàn)對于模態(tài)振型的測試比較困難，因此容易造成修正過程中缺少實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的問題，本文使用有限元模態(tài)振型代替實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型，并通過迭代解決了上述問題，并且依然得到了很好的模型修正效果。

3 結(jié)論

本文利用ICMCM法對經(jīng)典的GARTEUR飛機(jī)模型修正問題進(jìn)行了研究，使用有限元模態(tài)代替實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)并進(jìn)行迭代，解決了缺少實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型數(shù)據(jù)的問題。利用Ansys軟件建立了GARTEUR飛機(jī)結(jié)構(gòu)的模型，并使用ICMCM模型修正方法對其進(jìn)行修正。修正前后數(shù)據(jù)比較表明本文的模型修正結(jié)果達(dá)到了國際上認(rèn)可的三級模型修正評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，最后與國際同行的修正結(jié)果進(jìn)行對比，證明了本文的修正結(jié)果達(dá)到了國際同期先進(jìn)水平。以上的研究表明，本文提出的解決缺少實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)問題的辦法是可行的，同時(shí)證明了ICMCM法對于復(fù)雜的對象具有較高的模型修正能力。

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Finite element model updating for GARTEUR benchmark model based on ICMCM method

WANG Jin-ming，LI Wei-ming，PENG Ming-feng

(Shanghai Spaceflight Precision Machinery Research Institute，Shanghai 201600，China)

In the model updating process，the experimentally measured frequenices and modal shapes should be used simultaneously when employing improved cross-model cross-mode(ICMCM)method.Here，the modal shapes of the finite element model of a structure were taken as those of its test model and then iterations were used to circumvent the drawback of lacking test modal shapes.Model updating for GARTEUR benchmark model using ICMCM method based on three international criteria and result comparisons with those of other foreign institutions using a traditional model updating method were presented.Results showed the feasibility of the ICMCM method and the advantages of the updated results for GARTEUR benchmark model.

finit element method;model updating;GARTEUR model;iteration

O326;V414.1

A

2011－02－23 修改稿收到日期:2011－03－03

王金明 男，1974年10月生

李偉明 男，博士，1982年01月生