粘彈性人工邊界的有限元分析

徐 浩

粘彈性人工邊界的有限元分析

徐 浩

采用數(shù)值方法集中比較了工程中廣泛應(yīng)用的幾種人工邊界在 SSI體系分析中的動(dòng)力反應(yīng),研究結(jié)果表明：粘性邊界能較好的模擬土的邊界但計(jì)算的位移會(huì)發(fā)生整體的飄逸,精度也不如粘彈性邊界;粘彈性邊界能很好的模擬土—結(jié)構(gòu)相互作用體系中土的邊界問題,但實(shí)現(xiàn)過程比較麻煩。

人工邊界,SSI體系,粘彈性人工邊界,有限元法

0 引言

土木工程中有許多涉及彈性半無限地基的振動(dòng)及波動(dòng)問題,諸如土—結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用(SSI)問題、地震波的傳播問題、動(dòng)力機(jī)器基礎(chǔ)的振動(dòng)問題、打樁及道路交通引起的振動(dòng)問題等。對(duì)這類問題用有限元法求解與用其他計(jì)算方法相比具有可靈活地適用于地基物性的不均勻性并可考慮地基的非線性特性等優(yōu)點(diǎn)。但由于有限元法必須對(duì)求解對(duì)象的全領(lǐng)域進(jìn)行離散,故在分析彈性半無限地基問題時(shí)必須截取一定范圍的計(jì)算模型,這就要求在切取的邊界上建立人工邊界,用于模擬切除的無限域影響。目前人工邊界主要分為兩類：一類是全局人工邊界條件,如邊界元法等;另一類是局部人工邊界條件,如旁軸近似人工邊界、透射人工邊界、粘彈性人工邊界等。局部人工邊界具有時(shí)空解耦的特點(diǎn),得到了廣泛的應(yīng)用。其中粘彈性人工邊界是通過沿人工邊界設(shè)置一系列由彈簧和阻尼器組成的簡單物理元件來吸收射向人工邊界的波動(dòng)能量和反射波的散射,其模型簡單,物理意義清晰,便于在大型通用有限元計(jì)算軟件中得到實(shí)現(xiàn)。ANSYS是一功能強(qiáng)大的有限元計(jì)算軟件,其中的 ANSYS中的 Combin14單元和 LSDYNA中的Combin165單元,是彈簧與阻尼器的元件,易于實(shí)現(xiàn)粘彈性人工邊界。本文在 ANSYS中實(shí)現(xiàn)了粘彈性邊界并進(jìn)行了驗(yàn)證和對(duì)比。

1 粘彈性人工邊界

粘彈性人工邊界作為一種應(yīng)力邊界條件,該應(yīng)力是邊界結(jié)點(diǎn)位移和速度的函數(shù),一般形式寫為：

由式(1)可以看出,粘彈性邊界相當(dāng)于在邊界結(jié)點(diǎn)每個(gè)方向施加一個(gè)一段固定的單向彈簧—阻尼元件,而且該彈簧—阻尼元件的剛度和阻尼系數(shù)僅與該邊界結(jié)點(diǎn)在該方向該時(shí)刻的反應(yīng)相關(guān),從而通過粘性阻尼的吸能作用和彈簧的剛性恢復(fù)作用模擬無限域?qū)V義結(jié)構(gòu)的影響。

1.1 二維粘彈性切向人工邊界

當(dāng)粘彈性人工邊界為二維情況時(shí),剪切邊界條件利用平面內(nèi)極坐標(biāo)剪切波動(dòng)方程,給出柱面剪切波的近似位移表達(dá),從而建立平面應(yīng)變剪切邊界條件。

極坐標(biāo)中出平面柱面波運(yùn)動(dòng)方程為：

其中,u為出平面位移;Cs為剪切波速,由公式 Cs=G/ρ確定,G為剪切模量,ρ為質(zhì)量密度。

對(duì)于從坐標(biāo)原點(diǎn)射出的柱面波可以采用如下形式的近似解：

可以看出,式(4)等價(jià)于一個(gè)阻尼系數(shù)為 ρCs的阻尼器并聯(lián)上一個(gè)剛度系數(shù)為G/2ra的線性彈簧。這說明如果在半徑 ra處截?cái)嘟橘|(zhì),同時(shí)施加相應(yīng)的邊界元件后,在邊界上可以得到與式(4)相同的形式,也即可以完全消除滿足式(4)的出平面剪切波在邊界處產(chǎn)生的反射波。

1.2 二維粘彈性法向人工邊界

膨脹波邊界利用平面內(nèi)極坐標(biāo)膨脹波波動(dòng)方程,給出柱面膨脹波的近似位移勢函數(shù)表達(dá)式,從而建立平面應(yīng)變膨脹波邊界條件。根據(jù)膨脹波的定義,設(shè)膨脹波位移函數(shù)為 u(r,t),并滿足下式的納維方程(忽略體力分量)：

其中,λ,G均為介質(zhì)拉梅常數(shù);Cp為介質(zhì)膨脹波波速;ra為波源到人工邊界點(diǎn)的距離;σr為人工邊界節(jié)點(diǎn)ra在 t時(shí)刻的法向應(yīng)力,σr=σr(ra,t);u為人工邊界節(jié)點(diǎn) ra在 t時(shí)刻的法向位移,u≈u(ra,t)。由于膨脹波是用位移勢表達(dá)的,所以膨脹波邊界是關(guān)于邊界應(yīng)力的一階微分方程。圖 1給出了膨脹波邊界力學(xué)模型。

對(duì)比式(14)和式(9),可得各個(gè)物理元件的參數(shù)分別為：m=2ρra,C=ρCp,K=2G/ra。在實(shí)際運(yùn)用中可以假定阻尼的質(zhì)量端為固定,同時(shí)以上推導(dǎo)的二維粘彈性人工邊界的彈簧和阻尼系數(shù)均需要乘以每個(gè)物理元件實(shí)際控制的單元長度。

1.3 三維粘彈性法向人工邊界

三維情況是由球面波為基礎(chǔ)推導(dǎo)的,其過程與二維情況大致一樣,結(jié)論也非常類似。在三維情況下得到各個(gè)物理元件的相關(guān)參數(shù)為：m=2ρra,C=ρCp,K=4G/ra。在實(shí)際運(yùn)用中可以假定阻尼的質(zhì)量端為固定,同時(shí)以上推導(dǎo)的二維粘彈性人工邊界的彈簧和阻尼系數(shù)均需要乘以每個(gè)物理元件實(shí)際控制的單元面積。

2 數(shù)值算例

力學(xué)模型如圖 1所示,介質(zhì)的剪切模量和密度取 G=1和ρ=1,泊松比取 0.25,剪切波和膨脹波的波速分別為和S(x)表達(dá)式如下：

為了使結(jié)果更具對(duì)比性,文章以同樣的力學(xué)模型,將邊界分別取為粘性邊界和固端做了計(jì)算,以A點(diǎn)(0,2)為基準(zhǔn)點(diǎn),計(jì)算結(jié)果如圖 2所示。

從圖 2可以看出：粘彈性邊界是所有邊界中最接近精確解的,具有很好的精度;粘性邊界大致趨勢也符合精確解,但如前面所述,有明顯的漂移現(xiàn)象;使用固定邊界計(jì)算有明顯的誤差,故在以后的計(jì)算分析中應(yīng)該極力避免使用固定邊界。

3 結(jié)語

粘彈性人工邊界在實(shí)際應(yīng)用中能夠結(jié)合通用有限元軟件ANSYS等實(shí)現(xiàn),通過編制命令流建模、求解,程序編制簡單,修改方便,計(jì)算精度能夠滿足要求。但是針對(duì)較復(fù)雜的邊界情況,編制粘彈性人工邊界程序仍然有很大的難度,如何更好的去適應(yīng)各種復(fù)雜的邊界情況是以后的工作重點(diǎn)。

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The finite element analysis of viscoelastic artificial boundary

XU Hao

Concentrated compared the dynam ic response of several kinds of engineering extensive application artificialboundary usingnumerical method in SSI system analysis.Research results showed thatviscoelastic boundary can simu lation soil boundary well,overall d rift of calcu lation disp lacement will happen the precision is worse than viscoelastic boundary.Viscoelastic boundary can be a very good simulation for the problem of earth boundary in the soil structure interaction system,however,the realization p rocess is so troub lesome.

the artificialboundary,SSIsystem,viscoelastic artificial boundary,finite elementmethod

TU411.3

A

1009-6825(2011)09-0072-02

2010-12-04

徐 浩(1986-),男,同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院建筑工程系碩士研究生,上海 200092