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    不變本征算符法計算各向異性Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)的自旋波能量

    2011-01-24 02:03:40成泰民葛崇員李青云孫樹生
    沈陽化工大學(xué)學(xué)報 2011年2期
    關(guān)鍵詞:體系方法系統(tǒng)

    成泰民, 葛崇員, 李青云, 孫樹生

    (沈陽化工大學(xué)數(shù)理系,遼寧沈陽110142)

    范洪義的論文[1-2]較詳細(xì)地介紹了不變本征算符法應(yīng)用.因為體系的任意幺正變換聯(lián)系著同一個量子體系的不同表象之間的變換,所以,蘊含著該量子體系的嚴(yán)格一致的物理內(nèi)容,這些幺正變換對該量子體系的描述是完全等價的.因此,在磁性物理及量子力學(xué)中普遍采用不同的幺正變換處理系統(tǒng)哈密頓量的對角化,求出元激發(fā)能量及基態(tài)能量.但是這一方法的關(guān)鍵是做出適合體系對角化的不同的幺正變換,利用幺正變換處理體系哈密頓量的過程也比較繁瑣[3-4].封閉鏈的格林函數(shù)的運動方程法[5](切斷近似法)也能夠處理體系元激發(fā)能量,利用此方法處理體系哈密頓量的過程中,關(guān)鍵是算符與哈密頓量之間的對易律,在此可以少考慮文獻[3-4]中的部分幺正變換(如Bogoliubov變換[3-4]等(注:文獻[3]與[4]的Bogoliubov變換表示形式不同,但都是幺正變換.只是文獻[3]中的Bogoliubov變換表示更凸顯其幺正性.)).本文用不變本征算符法處理線性近似下的Hamiltonian量體系的元激發(fā)能量,比上述兩種方法簡捷.

    1 不變本征算符法[1-2]

    或者

    假設(shè){|ψa〉,|ψb〉,…}是系統(tǒng)哈密頓量 ^H的本征態(tài)集合,構(gòu)成希爾伯特空間的完備態(tài)矢量集,且對應(yīng)的本征值為{Ea,Eb,…}.由(1)式、(2)式可得:

    根據(jù)(3)式、(4)式可得:

    從而可知,利用IEO方法無須涉及系統(tǒng)的具體量子態(tài)及波函數(shù),可以直接對算符進行操作得出系統(tǒng)的能譜.IEO方法的關(guān)鍵是做出所研究系統(tǒng)的不變本征算符,這一方法極大地簡化了系統(tǒng)能譜的求解過程.但是IEO方法所計算的λ對應(yīng)的不是系統(tǒng)的能級,而是能級差.

    2 各向異性Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)

    設(shè)單位體積內(nèi)總格點數(shù)為2N,可分為A、B兩個子晶格.X-Y-Z模型各向異性Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)的Hamiltonian量表示為:

    把(8)式、(9)式代入到(7)式,只保留到算符的二次項就可得線性近似下的哈密頓量,再進行(10)式的宇稱變換,并考慮哈密頓量的厄米性可得:

    根據(jù)(13)~(15)式,可得:

    從而得:

    由(17)式得到非平庸解的條件為系數(shù)行列式等于零.從而可得:

    在(18)式中,舍負(fù)取正并把(12)式中的系數(shù)代入到(18)式,可得X-Y-Z模型各向異性Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)的自旋波能量:

    (19)式與文獻[4]的結(jié)果一致(注:因在本文中令單位體積內(nèi)總格點數(shù)為2N,所以,與文獻[4]系數(shù)上相差2倍.這是因為在文獻[4]中令單位體積內(nèi)總格點數(shù)為 N之故).(19)式中“+”對應(yīng)光學(xué)支自旋波能量,“-”對應(yīng)聲學(xué)支自旋波能量.這與不同的幺正變換方法[3]所得到的結(jié)果完全一致.單從二粒子耦合體系[3]的元激發(fā)能量而言,這一結(jié)果與封閉鏈的格林函數(shù)運動方程法[5]計算的結(jié)果也一致,并且處理方法較相似,但是IEO方法更簡捷.

    3 討論

    (1)由(19)式,當(dāng)X1=X2=X,X3=1時,可得X-Y-Z模型Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)的自旋波能量如下:

    由(20)式,當(dāng) X=1時,可得各向同性Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)的自旋波能量=2JZS與文獻[6-7]一致.由此可知對稱性越高(有序度降低),系統(tǒng)越易出現(xiàn)簡并現(xiàn)象[8].這也與可觀測程度相關(guān),系統(tǒng)具有某種對稱性,意味著存在某一物理量是不可觀測量.如果這種對稱性破缺了,那么這一物理量就成為可觀測量.在此對稱性破缺與X1≠X2相關(guān),當(dāng)X1=X2時,由(20)式可知,Heisenberg反鐵磁系統(tǒng)的自旋波能量出現(xiàn)簡并現(xiàn)象.

    (2)利用IEO方法計算磁有序系統(tǒng)的自旋波能量非常方便,但是IEO方法不易給出磁有序系統(tǒng)的基態(tài)能量,并且利用IEO方法幾乎無法處理含有算符的三次項或者更高次項的Hamiltonian量體系(如電子-聲子耦合體系,磁振子-聲子耦合體系,聲子-聲子耦合體系,磁振子-磁振子耦合體系等),在這一點IEO方法不如格林函數(shù)理論及量子場論的費曼圖技術(shù).這是因為IEO方法計算的結(jié)果是能級差,對應(yīng)的是磁有序系統(tǒng)的元激發(fā)能量;而且處理含有算符的三次項或者更高次項的Hamiltonian量體系時,涉及到算符與Hamiltonian量對易關(guān)系變得越來越復(fù)雜,并存在算符的冪次增大趨勢,對應(yīng)Hamiltonian量的IEO又不易做出.因為線性近似下的Hamiltonian量只包含算符的二次項,所以,利用IEO方法及算符的對易關(guān)系,能夠簡捷地計算出線性近似下的Hamiltonian量體系的元激發(fā)能量.

    [1] Fan HongYi,Li Chao.Invariant‘Eigen-operator’of the Square of Schr?dinger Operator for Deriving Energy-level Gap[J].Phys.Lett.A,2004,321:75-78.

    [2] Fan HongYi,Wu Hao.Deriving Vibrating Modes of Some Multiatom Molecules by Virtue of the Invariant Eigenoperator Method[J].Modern Physics Letters B,2005,19(26):1361-1366.

    [3] 柳盛典,逯懷新,鄧汝剛.幺正變換與二粒子耦合體系哈密頓量的對角化技術(shù)[J].大學(xué)物理,1993,12(5):25-26.

    [4] 何兵,應(yīng)和平,季達人.X-Y-Z非各向同性反鐵磁Heisenberg系統(tǒng)的自旋波解[J].物理學(xué)報,1996,45(3):522-527.

    [5] 蔡建華,龔昌德,姚希賢,等.量子統(tǒng)計的格林函數(shù)理論[M].北京:科學(xué)出版社,1982:195-227.

    [6] 戴道生,錢昆明.鐵磁學(xué)(上冊)[M].北京:科學(xué)出版社,1987:270-276,283,288.

    [7] 李正中.固體理論[M].北京:高等教育出版社,2002:68-70,80,84.

    [8] 于祿,郝柏林,陳曉東.邊緣奇跡:相變和臨界現(xiàn)象[M].北京:科學(xué)出版社,2005:36-47,87-92.

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