例談?dòng)脭?shù)學(xué)方法探究物理實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差

方軒鋒 黃尚鵬

(監(jiān)利縣朱河中學(xué) 湖北 監(jiān)利 433325)

1 半偏法測(cè)電流表的內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差分析

半偏法測(cè)電流表的內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)電路原理圖如圖1所示.實(shí)驗(yàn)操作步驟如下.

圖1

(1)開關(guān)S1、S2閉合前，將滑動(dòng)變阻器R1的阻值調(diào)到最大．

(2)閉合開關(guān)S1，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器R1，使電流表滿偏．

(3)保持開關(guān)S1閉合，滑動(dòng)變阻器不動(dòng)，閉合開關(guān)S2，調(diào)節(jié)電阻箱R2的阻值，使電流表半偏．

(4)記下此時(shí)電阻箱R2的阻值，則電流表的內(nèi)阻Rg=R2．

本實(shí)驗(yàn)要求滑動(dòng)變阻器的阻值遠(yuǎn)大于電流表的內(nèi)阻，即R1?Rg；這樣就可近似認(rèn)為開關(guān)S2閉合前后干路中的總電流是不變的．但事實(shí)上，當(dāng)開關(guān)S2閉合后，干路中的總電流是變大的.當(dāng)電流表半偏時(shí)，通過電阻箱R2的電流比通過電流表的電流要大.根據(jù)并聯(lián)分流規(guī)律可知，半偏法測(cè)出的電流表的內(nèi)阻要比電流表的實(shí)際內(nèi)阻?。旅鎻睦碚撋嫌脭?shù)學(xué)方法對(duì)該實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析．

假定電源的電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，電流表的滿偏電流為Ig．

閉合開關(guān)S1，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器R1，使電流表滿偏時(shí)，根據(jù)閉合電路歐姆定律得

E=Ig(R1+r+Rg)

(1)

閉合開關(guān)S2，調(diào)節(jié)電阻箱R2的阻值，使電流表半偏時(shí)，根據(jù)閉合電路歐姆定律及并聯(lián)分流公式得

(2)

聯(lián)立式(1)和(2)，消除E和Ig得

(3)

由式(1)解得

將其代入式(3)得

(4)

由式(3)可知R2

由式(4)可知Rg與R2的相對(duì)誤差為

(5)

由式(5)可知，電源的電動(dòng)勢(shì)越大，相對(duì)誤差就越小．

結(jié)論：用半偏法測(cè)電流表的內(nèi)阻時(shí)，測(cè)量值比真實(shí)值小，為減小實(shí)驗(yàn)誤差，應(yīng)使滑動(dòng)變阻器的阻值遠(yuǎn)大于電流表的內(nèi)阻，即R1?Rg.而要做到這一點(diǎn)，必須使用電動(dòng)勢(shì)較大的電源，而且為了防止電流表過載，必須用大阻值的滑動(dòng)變阻器與之匹配.可見電源的電動(dòng)勢(shì)的大小對(duì)誤差起主導(dǎo)作用．

2 用彈簧振子測(cè)彈簧的勁度系數(shù)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差分析

圖2

設(shè)彈簧質(zhì)量分布均勻，彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，彈簧上考察的任一點(diǎn)到彈簧固定端P的距離為l(0≤l≤l0，l0為彈簧的原長(zhǎng))．選水平向右為正方向.當(dāng)振子偏離平衡位置的位移為x時(shí)，設(shè)此時(shí)振子的速度為v，彈簧上考察點(diǎn)到彈簧固定端P的距離變?yōu)閘′(l′與l一一對(duì)應(yīng)).顯然與振子固連在一起的彈簧末端到P的距離由l0變?yōu)閘0+x.根據(jù)比例關(guān)系

可求得

因此彈簧上考察點(diǎn)偏離原來位置的位移為

(6)

在(6)式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可求得此時(shí)彈簧上該點(diǎn)的速度為

下面采用微元分析法運(yùn)用定積分的知識(shí)求出整根彈簧的動(dòng)能．

圖3

因此整根彈簧的動(dòng)能

故彈簧振子的動(dòng)能

由此求出

結(jié)論：按照理想彈簧振子的模型測(cè)得的彈簧的勁度系數(shù)比真實(shí)值小，主要原因是彈簧的質(zhì)量對(duì)振動(dòng)周期的影響.因此為了減小實(shí)驗(yàn)誤差，應(yīng)使振子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于彈簧的質(zhì)量，即M?m；或測(cè)出彈簧的質(zhì)量m，采用修正后的周期公式進(jìn)行計(jì)算．

1 人民教育出版社物理室編著.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(必修加選修)物理第二冊(cè).北京：人民教育出版社，2003.6

2 鄭永令,賈起民.力學(xué).上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1989.10

3 張大同.高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo).西安：陜西師范大學(xué)出版社，2000.6