靜電場對靜止液體壓強(qiáng)的影響

王墨林

(合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院 安徽 合肥 230009)

在大氣壓力場中，靜止液體內(nèi)的壓強(qiáng)分布的特點(diǎn)是等高的地方壓強(qiáng)相等；高度差為h的兩點(diǎn)間壓強(qiáng)差為ρgh，這一結(jié)論對于不在同一垂線上的兩點(diǎn)也成立[1]．然而，在圖1的實(shí)驗(yàn)裝置中，容器內(nèi)注入某種介質(zhì)，如變壓器油．接通電源，人們發(fā)現(xiàn)一個有趣現(xiàn)象．當(dāng)兩極施加約10 kV以上的直流高壓時，可以看到兩連通管液面不再水平而存在一定高度差．那么靜電場存在時，靜止液體內(nèi)壓強(qiáng)如何分布呢？

圖1

我們知道，在沒有自由電荷的液體中，因靜電場產(chǎn)生變形的力密度為[2]

(1)

式中ε、ρm是液體介電常量和密度．一般地說，ρm是空間位置函數(shù)，ε既是ρm函數(shù)，也是空間位置函數(shù)，即

ρm=ρm(x，y，z)ε=ε(ρm，x，y，z)

式(1)右邊第一項(xiàng)是作用于液面等介電常量變化處的力；第二項(xiàng)是因?yàn)橐后w產(chǎn)生密度差而致使介電常量變化時產(chǎn)生的梯度力．就是因?yàn)殪o電力密度的存在，才使得大氣壓力場中，任意兩點(diǎn)間的壓強(qiáng)差就不僅僅和重力有關(guān)了．

在液體中任取一體積元V，封閉界面為S．平衡時，該體積元所受到的體積力應(yīng)等于作用其表面的壓力，即

(2)

式中f是該體積元所處的力密度．p是作用其表面沿面元dS內(nèi)法線方向的壓強(qiáng)．令n表示面元dS外法線方向的單位矢量，有p=-np及dS=ndS．于是

(3)

根據(jù)積分變換式

上式可寫為

因?yàn)轶w積元V是任意選取的，故有

f=▽p

(4)

即液體平衡時，力密度為壓強(qiáng)的梯度所平衡[2]．

根據(jù)靜電力密度公式(1)及重力密度ρmg，由公式(4)就可求出液體平衡時內(nèi)部壓強(qiáng)分布

(5)

圖2

(6)

因?yàn)?/p>

▽p·dl=dp

g·dl=-gdz

▽ε·dl=dε

把上述關(guān)系帶入方程(6)，可得靜止液體內(nèi)壓強(qiáng)分布，即

(7)

由此可見，靜電場存在時，大氣壓力場中，靜止液體內(nèi)任意兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差，不僅和重力有關(guān)，也和靜電場有關(guān)．這一結(jié)論，為圖1所述實(shí)驗(yàn)證實(shí)．

已知p1=p6=p0(大氣壓)，變壓器油的ε和ρm均為常量．因?yàn)?/p>

(p1-p2)+(p2-p3)+(p3-p4)+

(p4-p5)+(p5-p6)=0

(8)

根據(jù)公式(7)，積分有

p2-p3=-ρmgh

p3-p4=0

p4-p5=ρmgh′

p5-p6=0

將上述關(guān)系代入(8)式中，有

(9)

(10)

1 趙凱華，羅蔚茵.力學(xué).北京：高等教育出版社，1995.222

2 鮑重光.靜電技術(shù)原理.北京：北京理工大學(xué)出版社，1993.309,331