多普勒效應(yīng)的最簡規(guī)律

雷裕波

(昭平中學(xué) 廣西 賀州 546800)

當(dāng)波源與觀測者之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測者觀測到的頻率與波源發(fā)射波的頻率不同，這種現(xiàn)象就是多普勒效應(yīng)．引起多普勒效應(yīng)的根本原因在于波源與觀測者之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)．在低速傳播的機(jī)械波里所產(chǎn)生的多普勒效應(yīng)比較容易掌握.然而當(dāng)波源或觀測者的運(yùn)動(dòng)速度較高時(shí)，必須要考慮時(shí)空變換的相對(duì)效應(yīng)，此時(shí)的多普勒效應(yīng)會(huì)遵循怎樣的規(guī)律呢？本文就從洛倫茲時(shí)空變換的角度，闡述各種情形下的多普勒效應(yīng)，并從中總結(jié)出多普勒效應(yīng)所遵循的最簡規(guī)律 ．

1 縱向多普勒效應(yīng)

設(shè)有三個(gè)慣性參照系，如圖1所示．

圖1

媒質(zhì)(場)參照系，即靜系，簡稱O系，相應(yīng)的坐標(biāo)系為xOy．

波源參照系，即動(dòng)系，簡稱S系，以波源S所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系x′O′y′．

觀測者參照系，即動(dòng)系，簡稱R系，以觀測者R處為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系x″O″y″．

由圖1可看出,O、S、R系的x軸重合,令t=0時(shí)刻，O、O′、O″三原點(diǎn)重合，S系以速度uS、R系以速度uR同時(shí)沿O系的x軸正方向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)波源S在O處發(fā)射第1個(gè)波峰，至t時(shí)刻，S系運(yùn)動(dòng)到O系的x1處，波源恰好發(fā)射第2個(gè)波峰，且第1波峰以速度vφ(相對(duì)O系)運(yùn)動(dòng)到O系的x2處，在S系及R系上表示t時(shí)刻的這兩個(gè)相鄰波峰的相應(yīng)坐標(biāo)分別如下：

O系：(0，0) (x1，t) (x2，t)

S系：(0，0) (x1′，t1′) (x2′，t2′)

R系：(0，0) (x1″，t1″) (x2″，t2″)

由洛倫茲的時(shí)空變換得

對(duì)S系：

(2)

(4)

對(duì)于R系，有完全相似的關(guān)系式.

由(1)、(2)式得

由(3)、(4)兩式得

由此可見，t2′與t1′在S系上看來并非同一時(shí)刻，即x2′-x1′不是在S系觀測到的波長.由于t2′比t1′早|Δt′|時(shí)間,所以在S系觀測到的波長應(yīng)為

聯(lián)立前面有關(guān)各式，解得

設(shè)TS為波源發(fā)射波的周期，則

(5)

同理，在R系中不難得到

(6)

(6)式中，TR為在R系上的觀測者所觀測到的周期．

若不考慮動(dòng)系相對(duì)靜系的時(shí)空收縮效應(yīng),則λ洛=λ0；此時(shí)多普勒效應(yīng)屬于伽利略變換下的效應(yīng).若設(shè)T0為波在靜系里沿u方向傳播的周期，則λ0=vφT0.據(jù)洛倫茲變換知，當(dāng)靜系里的時(shí)間間隔為T0時(shí)，在動(dòng)系里測得的時(shí)間間隔便為

于是λ洛=vφT洛，顯然在r0方向上亦有

此時(shí)T0、λ0則分別表示波在靜系里沿r0方向上傳播的周期和波長，且有可能發(fā)生變化.例如當(dāng)波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿u方向傳播的波波長λ0最小,而沿與u相反方向傳播的波波長λ0最大，在垂直于u方向上傳播的波λ0取值在此兩者之間，但通常情況下λ0不必求出．于是(5)、(6)式可寫成統(tǒng)一式

(7)

由此可見上述(5)、(6)兩式應(yīng)視作(7)式的特殊情形；然而(7)式的正確性及普遍性還有待于后面進(jìn)一步的論證．

設(shè)

由(5)、(6)式得

(8)

(8)式為縱向多普勒效應(yīng)的頻率公式.顯然對(duì)于機(jī)械波，由于波速vφ及波源或觀測者的運(yùn)動(dòng)速度都遠(yuǎn)小于光速，相對(duì)效應(yīng)很不明顯，所以有

(9)

(9)式就是機(jī)械波的縱向多普勒效應(yīng)的頻率關(guān)系式，據(jù)此式可知，當(dāng)觀察者運(yùn)動(dòng)的方向與傳向觀測者的波的傳播方向相同時(shí)，uR>0，使觀測到的頻率fR降低，反之升高.當(dāng)波源的運(yùn)動(dòng)方向與傳向觀測者的波的傳播方向相同時(shí)，uS>0，使觀測到的頻率升高，反之降低．

對(duì)于光波而言，vφ=c，當(dāng)uR或uS比較大時(shí)，相對(duì)效應(yīng)較明顯，此時(shí)由(8)式得

設(shè)u為觀測者相對(duì)波源的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度，據(jù)洛倫茲速度變換關(guān)系有

于是上式變?yōu)?/p>

(10)

由(10)式知，當(dāng)觀測者遠(yuǎn)離波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，u取正，使觀測到的頻率降低；當(dāng)觀測者靠近波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，u取負(fù)，使觀測到的頻率升高．當(dāng)u?c時(shí)，即觀測者相對(duì)波源做低速運(yùn)動(dòng)時(shí)，(10)式可化為

即

Δf為由多普勒效應(yīng)所引起的頻移量．

與前面的(7)式對(duì)比，此式應(yīng)有類似的物理意義．

以上推導(dǎo)得出的(8)、(9)、(10)式，其正確性可從另外的角度加以證明(略)，從而知(7)式適用于縱向多普勒效應(yīng)．

2 橫向多普勒效應(yīng)

圖2

如圖2所示，觀測者相對(duì)媒質(zhì)靜止，以觀測者R處為原點(diǎn)O，建立靜止的參照系R，以波源S處為原點(diǎn)O′，建立運(yùn)動(dòng)的參照系S，兩系的x軸相互平行.在R系看來，t=0時(shí)刻，波源S位于R系的y=r1的P處，并以速度uS沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)波源發(fā)射的波沿y軸負(fù)方向傳向觀測者R處．設(shè)波源的周期為TS，頻率為fS，觀測者觀測到的周期為TR，頻率為fR，如果前述(7)式依然適用，則對(duì)觀測者即R系而言，因?yàn)閡R= 0，所以

而

由λR伽=λR洛得

fR=f0

(11)

對(duì)波源即S系而言，因波沿y軸負(fù)方向傳向觀測者，故伽利略相對(duì)速度為vφ,所以有

由λS伽=λS洛得

(12)

由(11)、(12)兩式得

(13)

(13)式為橫向多普勒效應(yīng)的頻率關(guān)系式,其正確性可作如下證明：如圖2所示，設(shè)相對(duì)R系波的圓頻率為ωR,相對(duì)S系波的圓頻率為ωS.在R系上看，經(jīng)一微小時(shí)間Δt，波源沿x軸正方向由P處運(yùn)動(dòng)到Q處，在S系上看相應(yīng)的時(shí)間為Δt′，波振動(dòng)的位相差為Δφ′=ωSΔt′；而在R系上看，觀測者接收到分別由P、Q兩處傳來的兩次波振動(dòng),其位相差應(yīng)為

式中r2為Q,O間的距離．當(dāng)Δt很小時(shí)，α很小，則此式中

故

再利用ωS=2πfS及ωR=2πfR，便得

此式與(13)式相同，表明：

(1)上面的(7)式適用于橫向多普勒效應(yīng)；

(2)橫向多普勒效應(yīng)不如縱向多普勒效應(yīng)明顯, 因?yàn)楫?dāng)uR=0時(shí),有

對(duì)機(jī)械波而言，uS?c，故fR橫≈fS，即橫向多普勒效應(yīng)很不明顯，難于觀測到．

3 斜向多普勒效應(yīng)

下面討論更為一般的多普勒效應(yīng)——斜向多普勒效應(yīng)．如圖3所示，觀測者R靜止，以R處為原點(diǎn)O，建立坐標(biāo)系xOy，簡稱R系.

圖3

在y=r1的P處，有一以速度uS沿PH方向運(yùn)動(dòng)的波源S，PH與PR成θ角．以波源S處為原點(diǎn)O′，建立坐標(biāo)系x′O′y′,簡稱S系，x′軸與PH重合，t=0時(shí)刻波源剛好在P處，假設(shè)(7)式仍然成立，但此時(shí)沿y軸負(fù)方向傳給觀測者的波在S系上的伽利略相對(duì)波速為(vφ-uScosθ)，于是得

及

vφTR=λ0

由此得

(14)

(14)式的正確性，亦可仿照前述的方法加以驗(yàn)證．設(shè)在R系上，觀測者觀測到的圓頻率為ωR；在S系上，波源發(fā)射波的圓頻率為ωS，自t=0時(shí)刻開始，波源由R系的P處沿PH方向(即S系的x′軸正方向)以速度uS運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一微小時(shí)間Δt運(yùn)動(dòng)到Q處，則觀測者接收到來自P、Q兩處的波振動(dòng)，其位相差為

因Δt很小，α角很小，所以有

故

而在S系上看，波源在P、Q兩處發(fā)射的波振動(dòng)位相差為Δφ′=ωSΔt′(Δt′為在S系上觀測的時(shí)間)，根據(jù)位相不變?cè)淼忙う?Δφ′，即

根據(jù)洛倫茲變換，有

并代入上式得

令ωR=2πfR，ωS=2πfS，于是得

此式與(14)式一致.

綜上所述，知(7)式既適用于縱向也適用于橫向多普勒效應(yīng).多普勒效應(yīng)的這一最簡規(guī)律可表述為：在任一慣性系里，伽利略變換下的相對(duì)波長等于洛倫茲變換下的收縮波長．