在高中物理教學(xué)中如何應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法

楊斌斌

(吳江市盛澤中學(xué) 江蘇 蘇州 215228)

物理學(xué)的發(fā)展離不開(kāi)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是物理學(xué)發(fā)展的根基；物理學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法最充分、最成功的一門(mén)科學(xué).但是，相當(dāng)多的學(xué)生存在著將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)物理兩者截然分開(kāi)的現(xiàn)象.他們學(xué)習(xí)了一定的數(shù)學(xué)思想與方法，并能解決一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題；但是在需要運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想與方法來(lái)解決物理問(wèn)題時(shí)，卻表現(xiàn)出滯后和吃力.

高中物理教學(xué)大綱中“培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力”的要求是：學(xué)生能理解公式和圖像的物理意義，能運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行邏輯推理，得出物理結(jié)論，要學(xué)會(huì)用圖像表達(dá)和處理問(wèn)題；能進(jìn)行定量計(jì)算，也能進(jìn)行定性和半定量分析.要實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，必須在物理教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想與方法的應(yīng)用.

1 應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法進(jìn)行物理概念和物理規(guī)律的教學(xué)

物理概念是對(duì)物理現(xiàn)象的概括，是從個(gè)別的物理現(xiàn)象、具體過(guò)程和狀態(tài)中抽象出的具有相同本質(zhì)的物理對(duì)象(物體或模型).它反映的是物理現(xiàn)象的本質(zhì)屬性，是構(gòu)成物理知識(shí)的最基本的單元.在教學(xué)中必須讓學(xué)生準(zhǔn)確理解物理概念的內(nèi)涵和外延.學(xué)生形成物理概念一般要經(jīng)歷認(rèn)知定向、找出本質(zhì)屬性、進(jìn)行抽象思維和深入理解的過(guò)程.在抽象出一類物理現(xiàn)象和物理過(guò)程的共同特征和本質(zhì)屬性之后，用簡(jiǎn)潔的文字語(yǔ)言、數(shù)學(xué)公式或圖像來(lái)表達(dá)物理概念.如在講速度時(shí)，平均速度

平均功率

當(dāng)Δt取無(wú)限小時(shí)，就可以理解為某一時(shí)刻的瞬時(shí)功率.

像這樣的例子還有加速度

和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

等.

物理學(xué)本身是研究物質(zhì)最基本的運(yùn)動(dòng)及其規(guī)律的一門(mén)科學(xué).物理規(guī)律反映了各物理概念之間的相互制約關(guān)系，是自然界中物理客體屬性的內(nèi)在聯(lián)系，是事物發(fā)展和變化趨勢(shì)的反映.運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法可以比較明了地揭示物理規(guī)律的內(nèi)涵和本質(zhì)屬性.

如動(dòng)能定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式

W總=ΔEk

從整體上揭示物體所受合外力做的總功與它的動(dòng)能變化的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系.而對(duì)于機(jī)械振動(dòng)、機(jī)械波、運(yùn)動(dòng)、受力等規(guī)律可以非常明了地運(yùn)用更直觀、更形象的表達(dá)方式——物理圖像來(lái)表示.如振動(dòng)圖像、波動(dòng)圖像、速度與時(shí)間的v-t圖像、力與位移的F-s圖像等，此外，還有一些在題目中出現(xiàn)的圖像，如力與時(shí)間的F-t圖像、磁感應(yīng)強(qiáng)度與時(shí)間的B-t圖像等.

2 應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理

應(yīng)用準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)方法得出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后，從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中分析、計(jì)算得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論是實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Φ闹匾矫嬷?在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理中，數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用使得處理過(guò)程顯得特別簡(jiǎn)捷、直觀.如在測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生測(cè)出數(shù)據(jù)后，只憑眼睛很難從一堆實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中判斷出哪些誤差較大，哪些較符合實(shí)際.但如果選定直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)平面上描出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，則可以直觀地判斷各數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，并能很容易發(fā)現(xiàn)和摒棄一些誤差較大的測(cè)量數(shù)據(jù).通過(guò)作U-I圖來(lái)求得電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)電阻，并與通過(guò)解方程來(lái)求電動(dòng)勢(shì)、內(nèi)電阻進(jìn)行比較，可以讓學(xué)生理解用圖像法為何能夠減少實(shí)驗(yàn)誤差.

3 應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法進(jìn)行物理解題的指導(dǎo)

解題是人類最富有特征的一種活動(dòng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)物理的中心環(huán)節(jié)，是一種實(shí)踐性技能，是提高物理思維能力、培養(yǎng)良好心理素質(zhì)的重要手段.正因?yàn)槿绱耍忸}在高中物理教學(xué)中具有重要的地位.“授之以魚(yú)，不如授之以漁”，在解題中恰當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法，能達(dá)到事半功倍的效果.

【例1】一輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無(wú)初速度的釋放，如圖1所示.小球在運(yùn)動(dòng)至輕繩達(dá)到豎直位置的過(guò)程中，小球所受重力的瞬時(shí)功率在何處取得最大值？

圖1

解析：

P=mgvcosα=mgvsinθ

(1)

(2)

解式(1)、(2)可得

令

y=cosθsin2θ

有

y=cosθsin2θ=

又

2cos2θ+sin2θ+sin2θ=

2(sin2θ+cos2θ)=2

根據(jù)基本不等式

a+b+c

可知,當(dāng)且僅當(dāng)

2cos2θ=sin2θ

時(shí)，y有最大值.因此當(dāng)

時(shí)，y及功率P有最大值.其實(shí)本題還可利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)的方法求極值.在

中，令

y=cosθsin2θ=

cosθ(1-cos2θ)=

cosθ-cos3θ

y對(duì)cosθ的一階導(dǎo)數(shù)

y＇=1-3 cos2θ

當(dāng)y＇=0時(shí)

y取得極值；再根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)就可判斷出是極大值.

上例只有通過(guò)不等式、求導(dǎo)等數(shù)學(xué)方法，才能從根本上把問(wèn)題解決.加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透是新教材的一個(gè)新體現(xiàn)，比如：“探究向心加速度大小的表達(dá)式”、“探究彈性勢(shì)能的表達(dá)式”等，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該引起高度重視并加以擴(kuò)展.

圖形、圖像與函數(shù)解析式比較，具有形象、直觀的特點(diǎn).在解決物理問(wèn)題的過(guò)程中，必要時(shí)完全可以運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像等進(jìn)行輔助分析.

【例2】(2004年高考上海卷)小燈泡燈絲的電阻會(huì)隨溫度的升高而變大.某同學(xué)為研究這一現(xiàn)象，用實(shí)驗(yàn)得到數(shù)據(jù)如表1(I和U分別表示小燈泡上的電流和電壓).

表1

I/A0.420.450.470.490.50U/V1.201.401.601.802.00

(1)在圖2中畫(huà)出小燈泡的U-I曲線

(2)如果某電池的電動(dòng)勢(shì)是1.5 V，內(nèi)阻是2.0 Ω.問(wèn)：將本題中的燈泡接在該電池兩端，小燈泡的實(shí)際功率是多少？

圖2

解析：

(1)小燈泡的U-I圖線如圖3中曲線C所示.

(2)由于小燈泡U、I的關(guān)系為非線性，用解析法很難得到答案，但利用圖像法可快捷求解.圖3中再作出U=ε-Ir圖線D，由兩圖線的交點(diǎn)可得小燈泡工作電流為0.35 A，工作電壓為0.80 V，因此小燈泡實(shí)際功率為0.28 W.

圖3

總之，在物理教學(xué)過(guò)程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想與方法應(yīng)用的滲透，不僅可以使學(xué)生體會(huì)到物理不僅是一門(mén)以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的自然科學(xué)，而且還可以使學(xué)生體會(huì)到利用數(shù)學(xué)思想與方法能很好的解決一些物理實(shí)際問(wèn)題，并且能使學(xué)生在物理學(xué)習(xí)中各方面的能力有較大的提高.

參考文獻(xiàn)

1 錢(qián)珮玲. 數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué). 北京：北京師范大學(xué)出版社，2008

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3 楊貴玉. 高中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究.東北師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2007