用平動慣性力求解力學問題的討論*

許新勝 張雪

(安徽師范大學物理與電子信息學院 安徽 蕪湖 241000)

牛頓第二定律是經典力學的核心，僅成立于慣性系[1].我們知道，對于地面上的宏觀低速運動，在一定精度范圍內，地球以及地球上相對于地球靜止或做勻速直線運動的參照系都可看成慣性系，而相對于地球有加速度的參照系是非慣性系.對于一些復雜的運動，如果相對于地面的絕對運動比較復雜，物理圖像不太清楚，這時可以考慮在非慣性系中處理問題.但是，在非慣性系中處理力學問題就要牽涉到慣性力.

1 平動非慣性力的應用注意事項

設非慣性系的牽連加速度為a牽，物體相對非慣性系的加速度為a相，則物體相對慣性系中的絕對加速度為

a絕=a相+a牽

(1)

如果物體質量為m，受到的合外力為F，則由牛頓第二定律可知

F=ma=m(a相+a牽)

(2)

(2)式改寫成

F+(-ma相)=ma牽

(3)

令F慣=-ma相

(4)

則有F+F慣=ma牽

(5)

(5)式即平動非慣性系中的“牛頓第二定律”[2].其中，F(xiàn)慣大小為物體的質量與非慣性系加速度a相的乘積，方向與非慣性系平動加速度a相相反.非慣性系中的牛頓第二定律表明，物體的質量與相對非慣性系的加速度的乘積等于物體受所有外力(包括慣性力)的合力.

應用慣性力，需要注意以下幾點：

(1)慣性力是一種假想的力，沒有施力物體，也沒有反作用力；

(2)慣性力與其他實際作用的力，如重力、拉力、彈力等，地位相同；

(3)慣性力能做功、有沖量，在非慣性系中引入慣性力后，動能定理、動量定理依然成立.

下面舉幾個在非慣性系中引入慣性力來求解力學問題的具體實例.

2 平動非慣性力的應用舉例

【例1】如圖1所示，在光滑水平桌面上放有一質量為M的光滑斜面體A，其光滑斜面上端放一質量為m的小物塊B(可視為質點)，斜面傾角為θ.試求小物塊B從A頂端下滑到底端過程中兩者之間的相互作用力.

圖1

解析：斜面體A不固定，使得小物塊B在沿斜面下滑的過程中還會跟隨斜面體A向左運動，小物塊B相對地面的運動比較復雜，物理圖像不太清晰.下面以斜面體A為參照系來考察小物塊B的運動從而求解.由于斜面體A有向左的加速度，故求解過程中需要引入慣性力.

設A與B之間的相互作用力為N，A相對地面的加速度為a相，則在斜面體參照系中，B還受慣性力F慣作用,如圖2所示.即

F慣=-ma相

(6)

對A，由水平方向的牛頓第二定律可得

Nsinθ=Ma相

(7)

對B，在斜面體A參照系中，沿垂直于斜面的方向小物塊受力平衡，有

N+F慣sinθ=mgcosθ

(8)

由(6)、(7)、(8)式可解得

圖2

【例2】如圖3所示，質量為M的金屬板置于光滑地面上，板中央有一光滑轉動軸O，軸上連著一根長為L的輕桿，桿的上端固定有一質量為m的小球，且m

圖3

解析：系統(tǒng)水平方向不受外力，初始狀態(tài)系統(tǒng)水平動量為零，又由于桿不可伸長，末狀態(tài)球與金屬板兩者水平速度相同，設共同的水平速度為v1，由動量守恒定律可知

(M+m)v1=0

(9)

即

v1=0

設小球豎直速度為v2，由于地面支持力及桿中內力不做功，由機械能守恒定律可得

當前城市規(guī)劃由于建設速度過快，造成大量的噪音污染和城市建筑垃圾的污染，這些污染造成了城市空間的緊張，尤其是城市建筑垃圾的堆積問題。良好的生態(tài)環(huán)境是城市發(fā)展的基礎條件，沒有了生態(tài)環(huán)境，城市建設便無從談起。同時，良好的生態(tài)環(huán)境也是評價一座城市是否適宜人們居住的一個重要標準。城市空間是否合理，城市交通是否便利，這些因素常常被人所重視，被認為是城市居住的重要條件，實際上生態(tài)環(huán)境的優(yōu)劣才是決定城市是否宜居的根本標準。

(10)

對于桿轉過90°時的末態(tài)，m相對M的運動可看作轉動，轉動速度為v2，此時桿中有張力設為T，如圖4所示，M加速度不為零，以M為參照系，球還受到水平向左的慣性力作用.于是有

(11)

又由牛頓第二定律可得

(12)

由(10)、(11)、(12)式解得

圖4

【例3】一個小滑塊放在半徑為R的光滑半球頂部，如圖5所示.由于輕擾，它開始由靜止下滑.求在下列情況下，它離開球面時，離半球底面的高度h.

圖5

(1)半球面以10 m/s 的速度勻速上升；

圖6

(1)半球面勻速上升時，半球面為慣性系.滑塊在半球上滑動時的受力如圖6所示，由動能定理及牛頓第二定律可得

(13)

(14)

設脫離位置對應的角度為θ0，此時

N=0

(15)

由(13)、(14)、(15)式解得

即脫離時

圖7

(2)半球面勻加速上升時，半球面為非慣性系，滑塊在半球面上滑動時要受到向下的慣性力的作用，如圖7所示，即

(16)

由動能定理及牛頓第二定律可得

(17)

(18)

設脫離位置對應的角度為θ0，仍有

N=0

(19)

由(16)～(19)式解得

即脫離時

(3)半球面勻加速向右運動時，半球面為非慣性系，滑塊在半球面上滑動時要受到向左的慣性力的作用，如圖8所示，即

(20)

圖8

另外，由動能定理及牛頓第二定律可得

(21)

(22)

設脫離位置對應的角度為θ0，仍有

N=0

(23)

由(20)～(23)式解得

cosθ0=0.81

或

cosθ0=0.44

cosθ0=0.44 不符合實際意義，故可舍去.于是小球脫離球面時有

h=0.81R

3 小結

從上述幾個典型的例子可見，小物塊或小球相對慣性系(地面)的運動都很復雜，物理過程難以把握，若在地面慣性系中求解有一定的難度.但在平動非慣性系中，引入慣性力，則物理圖像變得清晰，物理過程變得容易理解，平衡方程或圓周運動的牛頓第二定律就可以應用，從而使問題的求解變得簡單.

參考文獻

1 程守洙，江之水．普通物理學(第五版)．北京：高等教育出版社，1998

2 周衍柏．理論力學教程(第三版)．北京：高等教育出版社，2009