基于當(dāng)?shù)啬Σ烈驍?shù)的絕熱氣動管道流量特性參數(shù)計(jì)算

郭良斌，彭寶林，王 卓，宣立明

（武漢科技大學(xué)機(jī)械自動化學(xué)院，湖北武漢，430081）

在汽車制造、電子、紡織、印刷、包裝、機(jī)床、食品等工業(yè)產(chǎn)業(yè)的自動化進(jìn)程中，氣動技術(shù)發(fā)揮著重要的作用[1－3]。為了設(shè)計(jì)出優(yōu)化的氣動回路與系統(tǒng)，需要準(zhǔn)確地把握每個(gè)氣動元件的流量特性[4]。在氣動系統(tǒng)中，管道將各種元器件連接成一個(gè)系統(tǒng)，把壓縮空氣從壓縮機(jī)輸送到終端用氣設(shè)備以傳遞動力[5]。隨著氣動元件的小型化和配管的延長，氣動管道的流量特性日漸重要[6]。氣動系統(tǒng)節(jié)能日益受到關(guān)注[7－10]，正確把握氣動主管道和各分支管道的流量特性，選擇功率匹配的空氣壓縮機(jī)進(jìn)行合理的流量管理是氣動系統(tǒng)節(jié)能的首要工作[11]。

對絕熱氣動管道流量特性的計(jì)算，常采用經(jīng)典一維絕熱摩擦管流理論[12－13]，某一特定管道的平均摩擦因數(shù)是計(jì)算前需要確定的一個(gè)基本參數(shù)，盡可能準(zhǔn)確地獲得平均摩擦因數(shù)的具體數(shù)值，將有助于提高管道流量特性的計(jì)算精度。文獻(xiàn)[14]提出一種利用當(dāng)?shù)啬Σ烈驍?shù)計(jì)算絕熱氣動管道平均摩擦因數(shù)的新方法，以該方法確定的平均摩擦因數(shù)計(jì)算出的不同長度管道聲速流導(dǎo)／管道截面積比值，與按照ISO 6358測試方法得到的實(shí)驗(yàn)擬合曲線相吻合，初步驗(yàn)證了該方法的可行性[15]。氣動管道的流量特性可以用壅塞流態(tài)下的有效截面積S和臨界壓力比b兩個(gè)特性參數(shù)完整地表達(dá)[4]。為此，本文推導(dǎo)以管道進(jìn)口截面速度因數(shù)為自變量的流量特性參數(shù)函數(shù)S／A（管道有效截面積與橫截面積之比）和臨界壓力比b的基本表達(dá)式，分析其特性，并用上述新方法得到的平均摩擦因數(shù)直接計(jì)算出總壓為0.6 MPa、總溫為300 K、長度為1～50 m、內(nèi)徑為2.5～9 mm的尼龍管的流量特性參數(shù)S和b，發(fā)現(xiàn)S和b的理論計(jì)算值與經(jīng)驗(yàn)推薦值相吻合。

1 臨界管道數(shù)學(xué)模型描述

圖1 等截面絕熱有摩擦一維管道模型Fig.1 One－dimensional adiabatic frictional flow in a duct of constant cross－section

等截面直管絕熱有壁面摩擦的一維管道模型如圖1所示。圖1中，進(jìn)口氣流總壓為P0，進(jìn)口氣流總溫為T0，出口反壓力為pb。設(shè)管道進(jìn)口的氣流總壓和總溫不變，出口反壓力pb可變化。臨界管道指管道出口馬赫數(shù)達(dá)到臨界聲速，此時(shí)管道達(dá)到最大通流能力，處于壅塞狀態(tài)，分析時(shí)可以不考慮管道出口反壓力對管中氣體流動的影響。設(shè)不論管長怎么變化，反壓力總能使管道出口達(dá)到臨界聲速。

臨界狀態(tài)時(shí)管道出口截面上的速度因數(shù)λout為1，這樣可列出管道進(jìn)口截面上的速度因數(shù)λin與平均摩擦因數(shù)的關(guān)系式[16]：

式中：為管道的平均摩擦因數(shù)；L／D為管道長徑比；k為比熱比。

管道平均摩擦因數(shù)的物理定義式為

式中：fi為各截面上摩擦因數(shù)，即當(dāng)?shù)啬Σ烈驍?shù)，它取決于管內(nèi)各截面上雷諾數(shù)和管道的相對粗糙度。

同一管道的不同截面上，氣流速度和動力黏度不同，不同截面上的摩擦因數(shù)（即當(dāng)?shù)啬Σ烈驍?shù)）各不相同；平均摩擦因數(shù)代表整個(gè)管道對氣流的摩擦效應(yīng)，通過平均摩擦因數(shù)的物理定義式可建立起整個(gè)管道的平均摩擦因數(shù)和管道不同截面上當(dāng)?shù)啬Σ烈驍?shù)的有機(jī)聯(lián)系。采用預(yù)估－校正解法，利用Keenan的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可直接計(jì)算出大多數(shù)絕熱氣動管道的平均摩擦因數(shù)[14]，計(jì)算出給定進(jìn)口總壓、總溫、管徑、長徑比以及管道材質(zhì)條件下的平均摩擦因數(shù)后，可由式（1）計(jì)算出臨界管道的進(jìn)口速度因數(shù)λin。管道壅塞狀態(tài)下的質(zhì)量流量為[16]

式中：A為管道的橫截面積，m2；q（λin）為氣體動力學(xué)流量函數(shù)。

設(shè)某一特定管道的有效截面積為S，則根據(jù)有效截面積的定義[17]，臨界狀態(tài)下該管道的質(zhì)量流量為

式中：p1為管道進(jìn)口截面上的靜壓力，Pa；T1為管道進(jìn)口截面上的靜溫度，K。

對比式（3）、式（4）可知：

式中：τ（λin）、π（λin）分別以λin為自變量的氣體動力學(xué)函數(shù)。

臨界狀態(tài)下該管道出口截面上的靜壓力為

若管外反壓力pb等于pcr，則管道為臨界流動狀態(tài)；若管外反壓力pb小于pcr，則管道為超臨界流動狀態(tài)，但管內(nèi)流動參數(shù)與臨界狀態(tài)時(shí)相同，反壓力只影響出口外的流動而不影響管內(nèi)的流動參數(shù)。若管外反壓力pb大于pcr，則管內(nèi)為亞臨界流動狀態(tài)，本文僅考慮臨界工況。

臨界壓力比b的定義為元件內(nèi)亞聲速流動和聲速流動分界點(diǎn)的下游與上游管道內(nèi)的靜壓力之比[17]。若把氣動管道也看作一種氣動元件，則氣動管道的臨界壓力比b可類似定義為臨界管道出口截面上的靜壓力pcr與進(jìn)口截面上的靜壓力pin之比。

這樣由式（6）、式（7）可推出：

2 流量特性參數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

圖2 流量特性參數(shù)函數(shù)曲線Fig.2 Curves of parameter function of flow－rate characteristics

將式（5）寫成無量綱的形式：

由式（8）、式（9）可知，S／A和b可看作是以管道進(jìn)口截面速度因數(shù)λin為自變量的流量特性參數(shù)函數(shù)。不失一般性，取長度為1～50 m的尼龍管，供氣總壓為0.6 MPa，總溫為300 K，內(nèi)徑為2.5～9 mm的絕熱氣動管道，進(jìn)口截面速度因數(shù)的理論計(jì)算值為0.037 17～0.478 7。按式（8）、式（9）繪制的流量特性參數(shù)函數(shù)曲線如圖2所示。由圖2可看出，在λin的取值范圍內(nèi)，流量特性參數(shù)函數(shù)S／A和b基本上都是管道進(jìn)口截面速度因數(shù)λin的線性函數(shù)。當(dāng)進(jìn)口截面的速度因數(shù)為0.037 17～0.478 7時(shí)，S／A值為0.058～0.772；b值為0.031～0.416。

3 理論計(jì)算值與經(jīng)驗(yàn)推薦值的比較

3.1 標(biāo)準(zhǔn)長度尼龍管的有效截面積S

表1為標(biāo)準(zhǔn)長度尼龍管有效截面積的計(jì)算值與經(jīng)驗(yàn)值。文獻(xiàn)[17]給出了1 m標(biāo)準(zhǔn)長度不同管內(nèi)徑尼龍管有效截面積的經(jīng)驗(yàn)推薦值S0，如表1第2列所示。表1第3列是在總壓為0.6 MPa、總溫為300 K的條件下，從當(dāng)?shù)啬Σ烈驍?shù)計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)長度尼龍管的平均摩擦因數(shù)。表1第4列是采用第3列的數(shù)據(jù)得到的標(biāo)準(zhǔn)長度尼龍管有效截面積的理論計(jì)算值ST。表1第5列的相對誤差用下式計(jì)算：

表1 標(biāo)準(zhǔn)長度尼龍管有效截面積的計(jì)算值與經(jīng)驗(yàn)值Table 1 Theoretical and empirical values of effective sectional area of nylon duct with standard length

由表1可看出，采用新方法計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)長度尼龍管有效截面積ST與經(jīng)典文獻(xiàn)給出的經(jīng)驗(yàn)推薦值S0基本相同，最大誤差在20%以內(nèi)。另外，表1第2列不同管徑標(biāo)準(zhǔn)長度尼龍管的經(jīng)驗(yàn)推薦值S0全部小于第4列的理論計(jì)算值ST，相對保守，這有利于增加系統(tǒng)設(shè)計(jì)的可靠性。

3.2 任意長度尼龍管的有效截面積S

任意長度尼龍管有效截面積的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式[17]為

式中：Se為按經(jīng)驗(yàn)公式（11）計(jì)算的任意長度尼龍管的有效截面積，mm2；S0為1 m的標(biāo)準(zhǔn)長度尼龍管的有效截面積，mm2；L為實(shí)際管長，m。

圖3為在總壓為0.6 MPa、總溫為300 K的條件下，采用新方法直接計(jì)算的任意長度尼龍管的有效截面積ST與采用經(jīng)驗(yàn)公式（11）計(jì)算的Se的相對誤差曲線。相對誤差的計(jì)算公式與式（10）類似。由圖3可看出，對管內(nèi)徑為2.5 mm的尼龍管，兩種方法計(jì)算的任意長度尼龍管的有效截面積數(shù)值幾乎相同，最大誤差不超過5%。隨著管內(nèi)徑的增大，相同長度尼龍管有效截面積的相對誤差逐漸增大，管內(nèi)徑為9 mm的尼龍管最大誤差約為30%。大量計(jì)算表明，在絕大多數(shù)情況下，采用新方法直接計(jì)算的任意長度尼龍管的有效截面積ST大于采用經(jīng)驗(yàn)公式（11）計(jì)算的Se，這表明有效截面積經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式（11）也相對保守，同樣有利于增加系統(tǒng)設(shè)計(jì)的可靠性。

圖3 兩種方法計(jì)算有效截面積的相對誤差Fig.3 Relative error of effective sectional area with two different methods

3.3 任意長度尼龍管的臨界壓力比b

任意長度尼龍管的臨界壓力比的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式[6]為

式中：be為按經(jīng)驗(yàn)公式（12）計(jì)算的任意長度尼龍管的臨界壓力比；C0為1 m的標(biāo)準(zhǔn)長度尼龍管的聲速流導(dǎo)，m3／（s·Pa）；d為管內(nèi)徑，m。

聲速流導(dǎo)C0的計(jì)算公式[17]為

圖4 兩種方法計(jì)算的臨界壓力比bFig.4 Critical pressure ratio with two different methods

圖4為在總壓為0.6 MPa、總溫為300 K的條件下，采用新方法直接計(jì)算內(nèi)徑為2.5 mm任意長度尼龍管的臨界壓力比bT與采用經(jīng)驗(yàn)公式（12）計(jì)算的be的曲線對比。由圖4可看出，采用新方法直接計(jì)算任意長度尼龍管的臨界壓力比bT值小于采用經(jīng)驗(yàn)公式（12）計(jì)算的be值。但每個(gè)計(jì)算點(diǎn)兩者相對誤差基本上都等于40%，因此兩條曲線的變化趨勢相同。對其他管內(nèi)徑（4、6、7.5、9 mm內(nèi)徑）的計(jì)算結(jié)果與圖4也十分類似。

流量特性參數(shù)的理論計(jì)算值與經(jīng)驗(yàn)曲線變化趨勢相同，且計(jì)算值與經(jīng)驗(yàn)值相吻合，表明新方法可以在相當(dāng)程度上反映氣動管道流量特性參數(shù)變化的物理本質(zhì)。

4 結(jié)論

（1）流量特性參數(shù)函數(shù)S／A和b可看作是以管道進(jìn)口速度因數(shù)λin為自變量的單變量線性函數(shù)。

（2）流量特性參數(shù)的理論計(jì)算值與經(jīng)驗(yàn)曲線變化趨勢相同，且計(jì)算值與經(jīng)驗(yàn)值相吻合，表明新方法可以在相當(dāng)程度上反映氣動管道流量特性參數(shù)變化的物理本質(zhì)。

（3）將新方法得到的有效截面積S的理論計(jì)算值下跌20%、臨界壓力比b的理論計(jì)算值上浮40%，可作為同等條件下選用氣動系統(tǒng)尼龍管的經(jīng)驗(yàn)推薦值使用。

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