賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz空間中點(diǎn)到EM距離的刻畫

段麗芬,楊德清,許 晶

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,吉林 通化 134002)

1 引言

廣義Orlicz范數(shù)是段麗芬和崔云安[1]于2006年最先引入的,它與由Orlicz本人[2]于1932年引進(jìn)的Orlicz范數(shù)和Luxemburg[3]于1955年引進(jìn)的Luxemburg范數(shù)等價(jià).但賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz空間與賦Orlicz范數(shù)的Orlicz空間及賦Luxemburg范數(shù)的Orlicz空間理論上有許多不同之處.本文對賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz空間中的閉線性子空間EM進(jìn)行了準(zhǔn)確刻畫,并討論了賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz空間中的點(diǎn)到EM之間的距離與θ(u)=inf{λ>0∶ρM(u/λ)<∞}的關(guān)系.

2 定義及符號

及其閉子空間

EM={x∶?λ>0,ρM(λx)<∞}

關(guān)于Orlicz范數(shù):

Luxemburg范數(shù):

‖x‖M=inf{λ>0∶ρM(x/λ)≤1},

以及廣義Orlicz范數(shù):

均成為Banach空間.另外，除特別聲明,文中其他符號和定義均同[5].

3 主要結(jié)果及證明

證明 對任給ε>0,選正整數(shù)n,使得ρM(un)>ρM(u)-ε,其中

因un∈D,故

‖χE‖M,p≤‖(u-un0)χE‖M,p+

‖un0χE‖M,p<ε,

⑶?⑴記Gn=G(|u(t)|>n),則μGn→0(n→∞).故

‖u-un‖M,p=‖uχGn‖M,p→0(n→∞).

因?yàn)閡n∈EM,EM為閉集,所以u∈EM.

其中θ(u)=inf{λ>0∶ρM(u/λ)<∞}.

|u(t)-w(t)|>(1-a)|u(t)|

于是

[1]段麗芬,崔云安.廣義Orlicz范數(shù)和廣義Luxemburg范數(shù)[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào),2006,32(2):131-134.

[2]ORLICZW.überEineGewisseKlasseVonR?umenVomTypusB[M].Poland:BullAcadPolonaiseA,1932.

[3]LUXEMBURGWAJ.BanachFunctionSpaces[D].Delft-Netherland:TechnischeHogeschoolteDelft,1955.

[4]段麗芬,崔云安.賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz空間的端點(diǎn).[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2007,34(3):252-256.

[5]CHENST.GeometryofOrliczSpaces[M].Warszawa:DissertationsMath,1996.