高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革探索

趙冠華,王少英,岳 勇

(邯鄲學(xué)院 數(shù)學(xué)系,河北 邯鄲 056005)

高等數(shù)學(xué)不僅是大學(xué)教育階段的一門重要基礎(chǔ)課，也是培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新能力和思維素質(zhì)的重要途徑之一.高等數(shù)學(xué)在不同學(xué)科、不同專業(yè)領(lǐng)域中所具有的通用性和基礎(chǔ)性，使之在高校的課程體系中占有十分特殊的地位.高等數(shù)學(xué)的理論與方法，業(yè)已成為當(dāng)代大學(xué)生知識結(jié)構(gòu)中不可或缺的重要組成部分.數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式和解決問題的科學(xué)方法，更是他們適應(yīng)未來社會、具有可持續(xù)發(fā)展?jié)摿Φ谋貍渌刭|(zhì)和基本能力之一.傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)體系，內(nèi)容上要求面面俱到，理論上追求嚴(yán)密.隨著我國教育改革的逐步推進(jìn)，各專業(yè)課程設(shè)置和教學(xué)內(nèi)容作了相應(yīng)的調(diào)整，提高了對數(shù)學(xué)教學(xué)的要求，但同時縮減了數(shù)學(xué)教學(xué)的課時[1-4].高等數(shù)學(xué)內(nèi)容多、課時少的矛盾進(jìn)一步加劇，使得教師為了完成教學(xué)任務(wù)和教學(xué)進(jìn)度，對一些重點(diǎn)的應(yīng)該精講細(xì)講的內(nèi)容不能完全展開講，影響了教學(xué)質(zhì)量和效果.而理論上嚴(yán)密、邏輯上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊蟾菄?yán)重束縛了教師的手腳，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，從而不可避免地使一些學(xué)生對數(shù)學(xué)課程產(chǎn)生畏難情緒，影響他們的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果.當(dāng)前的高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革方興未艾，本文將結(jié)合自己的教學(xué)實踐，主要針對高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容展開探討.

1 借助幾何直觀，凸現(xiàn)知識內(nèi)涵，突破解題壁壘

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，一般都會在講解概念和定理時，介紹他們的幾何意義.若能在傳授知識的基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)?shù)膱D例講解，借助幾何直觀，從發(fā)現(xiàn)問題、理請概念、避免誤解、領(lǐng)悟方法等多側(cè)面、多角度詮釋內(nèi)容，滲透幾何意識，不但有助于學(xué)生深入理解教學(xué)內(nèi)容，便于長時間記憶，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識，體現(xiàn)素質(zhì)教育的本質(zhì)要求.

柏拉圖曾說過：“上帝永遠(yuǎn)在進(jìn)行幾何化”，這句話對高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)兩方面都有啟迪.回顧高等數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容，幾何直觀幾乎無處不在，譬如函數(shù)的極限、復(fù)合函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、積分和級數(shù)等概念，都有其深刻的幾何背景.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、微分中值定理、積分中值定理和格林公式等結(jié)論，也與幾何背景密不可分.教師若能認(rèn)真領(lǐng)悟其中的思想和方法，并內(nèi)化到教學(xué)實踐中，一方面可以從幾何直觀上深化概念、定理的理解，另一方面可以借助幾何直觀找到鑒別概念、運(yùn)用定理的方法.這樣，不僅會使自己的教學(xué)能力有所提高，而且能教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，使學(xué)生得到更多的益處.

2 適當(dāng)整合知識，弱化難繁內(nèi)容，減輕解題負(fù)擔(dān)

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和體系，與社會對數(shù)學(xué)越來越高的要求之間的矛盾日益突出.為了改變這一現(xiàn)狀，必須對高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和體系進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化.近幾年來，已經(jīng)出版了許多新教材，但是基本上沒有突破原有的邏輯框架，只是做了必要的刪減，從某種意義上來說，并沒有很好地解決高等數(shù)學(xué)既繁又難的問題.為此，需要在保留核心內(nèi)容和思想方法的基礎(chǔ)上，做進(jìn)一步的大膽的探索.多元函數(shù)的求導(dǎo)(或偏導(dǎo))是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，但是內(nèi)容繁雜、方法多樣.在教學(xué)過程中，可以借助父子、父女的遺傳關(guān)系，形象地闡述和強(qiáng)化復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，在有效地化解該知識難點(diǎn)的基礎(chǔ)上，將隱函數(shù)和參數(shù)方程的求導(dǎo)法一并用鏈?zhǔn)椒▌t予以解決，既可以避免要求學(xué)生機(jī)械地強(qiáng)記隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法的結(jié)論和公式的尷尬，又使多元函數(shù)的求導(dǎo)(或偏導(dǎo))的內(nèi)容一氣呵成，形成一個順暢的整體.

在傳統(tǒng)的教材上，一般僅有幾處地方用無窮小來解決極限問題，對等價無窮小代換卻一筆帶過，把這一重要的思想和方法給忽略了，使得有些極限問題解決起來很繁，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了負(fù)擔(dān)和一些負(fù)面影響.在解題教學(xué)過程中，若能加強(qiáng)運(yùn)用等價無窮小代換的意識，巧用幾個重要的等價無窮小代換，不僅可以解決一些難繁極限問題，而且能領(lǐng)悟和掌握高等數(shù)學(xué)中的重要思想方法——代換.

掌握這些基本的思想和方法，不但有助于學(xué)生深入地理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，訓(xùn)練學(xué)生一法解多題的能力，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，增加教學(xué)的趣味性和深刻性.

3 講透元素法，教會學(xué)生推導(dǎo)公式的方法

授之以魚，不如授之以漁.元素法是運(yùn)用定積分解決實際問題的重要方法，講透元素法，不僅可以加深學(xué)生對定積分概念的理解，而且可以使學(xué)生學(xué)會自己利用元素法推導(dǎo)公式，領(lǐng)悟利用定積分解決問題的思想和方法.用好元素法，除了能解決教材中所列舉的一系列幾何的度量問題和某些實際問題外[5]，也能巧妙地解決其它的有關(guān)問題，并使這些問題化難為易，頗令人驚奇.

在重積分部分中，幾乎所有教材都有這樣一道例題：求兩個等底的圓柱體直交形成的立體體積.教材提供的方法是利用空間圖形的對稱性和累次積分求解，但是要涉及到方程的寫法和積分次序的選取，略顯麻煩.在教學(xué)實踐中，可以引導(dǎo)學(xué)生利用微元法求解，非常簡潔明了，教學(xué)效果也相當(dāng)不錯.

4 滲透數(shù)學(xué)建模思想，教會學(xué)生將問題數(shù)學(xué)化的方法

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識較差的現(xiàn)狀已引起人們的普遍關(guān)注.嚴(yán)士健先生曾指出：“教材應(yīng)結(jié)合日常生活及其他領(lǐng)域中的問題，舉出更好的例子，以使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)教學(xué)與生活的聯(lián)系，訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)分析問題解決問題的能力，更重要的是讓學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，真正認(rèn)為數(shù)學(xué)有用，知道哪些生活、學(xué)習(xí)或生產(chǎn)問題可以用數(shù)學(xué)來解決”[6].在教學(xué)過程中，滲透數(shù)學(xué)建模思想是加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用意識的不可替代的途徑.不論用數(shù)學(xué)方法解決哪類實際問題，還是與其他學(xué)科相互結(jié)合形成交叉學(xué)科，首要的和關(guān)鍵的一步是用數(shù)學(xué)的語言表述所研究的對象，即建立數(shù)學(xué)模型.

經(jīng)典的微積分學(xué)理論是近代科學(xué)的偉大創(chuàng)造，它的背景包含了前人數(shù)學(xué)建模的過程，蘊(yùn)藏著豐富的創(chuàng)新思維的軌跡.可以從費(fèi)馬在1629年為設(shè)計透鏡尋求曲線在一點(diǎn)處的切線的思路入手，沿著數(shù)學(xué)大師建立開創(chuàng)性的理論模型的足跡，逐步抽象出導(dǎo)數(shù)的概念.這樣，借助于生動的史實，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)建模的神奇，領(lǐng)略將問題數(shù)學(xué)化的方法，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛.

習(xí)題課是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的重要環(huán)節(jié).在習(xí)題課教學(xué)中，不應(yīng)只講授教材設(shè)置的習(xí)題，應(yīng)適當(dāng)選編一些好的實際問題作為示例和作業(yè)，讓學(xué)生自己建立模型、并用所學(xué)數(shù)學(xué)知識來解決它.比如運(yùn)用微分學(xué)解決有關(guān)營銷的經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，運(yùn)用積分學(xué)做一些實際的測量，運(yùn)用極值理論求解一些線性規(guī)劃問題，運(yùn)用梯度的性質(zhì)求解高山速降的最佳路線等等.這樣的教學(xué)過程具有實用性、啟發(fā)性，其教育價值更大，既加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，又強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

數(shù)學(xué)建模幾乎是一切應(yīng)用數(shù)學(xué)作為工具去解決實際問題的必然選擇.在掌握一定的數(shù)學(xué)知識后，在適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決或部分解決若干實際問題，不但能使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的重要作用，而且必然會激發(fā)學(xué)生掌握更多的數(shù)學(xué)知識的強(qiáng)烈愿望.

數(shù)學(xué)教師運(yùn)用合乎實際且行之有效的教學(xué)方法是提高教學(xué)質(zhì)量的保障，而依托教學(xué)大綱，創(chuàng)造性地選擇教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)形式則是提高教學(xué)質(zhì)量的基礎(chǔ)性工作.在教學(xué)過程中，只要下工夫?qū)虒W(xué)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)的梳理，并以合理的形式組織起來，再輔助以適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，必將會收到事半功倍的效果.

[1]王愛云,張燕.高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)和教學(xué)改革的研究和實踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2002(2):84-87.

[2]楊宏林,丁占文,田立心.關(guān)于高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的幾點(diǎn)思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2004(2.):74-76.

[3]鄭映暢.高等數(shù)學(xué)教材改革與教學(xué)方法的探索[J].西華師范大學(xué)學(xué)報,2005(3):338-340.

[4]孫風(fēng)琪.關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的某些探討[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報,2005(1):109-110.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1996(12).

[6]李薇.談數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].紅河學(xué)院學(xué)報,2005(3):73-76.