微積分學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

賴 滿 瑢

(廈門(mén)南洋職業(yè)學(xué)院，福建 廈門(mén) 361000)

在紛擾復(fù)雜瞬息萬(wàn)變的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中揭示其背后深刻的經(jīng)濟(jì)原理離不開(kāi)高等數(shù)學(xué)。而微積分是高等數(shù)學(xué)的核心,也是與經(jīng)濟(jì)學(xué)聯(lián)系最緊密的紐帶，是學(xué)好經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ),在經(jīng)濟(jì)分析中具有重要的應(yīng)用。

1 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

1.1 最優(yōu)化分析

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)研究、經(jīng)營(yíng)管理及實(shí)際生活中, 常常會(huì)碰到如何做才能使“產(chǎn)量最高”、“材料最省”、“耗時(shí)最少”、“效率最高”、“利潤(rùn)最大”、“成本最低”、“面積最大”等最優(yōu)化問(wèn)題，這些問(wèn)題均為數(shù)學(xué)問(wèn)題,即求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,平均成本曲線一般如上圖所示的形狀,因此平均成本函數(shù)有最小值問(wèn)題。

例：設(shè)某企業(yè)的總成本函數(shù)為C=C(Q)=0.3Q2+9Q+30,試求

(1)平均成本最低時(shí)的產(chǎn)出水平及最低平均成本;

(2)平均成本最低時(shí)的邊際成本, 并與最低平均成本作比較。

(2)邊際成本函數(shù)為:MC=0.6Q+9

平均成本最低時(shí)的產(chǎn)出水平Q=10，這時(shí)的邊際成本為:MC|Q=10=0.6×10+9=15

綜上可知,平均成本最低時(shí)的邊際成本與最低平均成本相等,都為15.

上述結(jié)果不是偶然的,在產(chǎn)出水平Q能使平均成本最低時(shí),必然有平均成本等于邊際成本。

1.2 邊際分析

對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的函數(shù)而言, 因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)稱為“邊際”。它表示自變量增量為1個(gè)單位時(shí)，因變量的增量就是邊際量。邊際分析法就是分析自變量變動(dòng)1個(gè)單位時(shí)，因變量會(huì)變動(dòng)多少的方法。

(1)邊際需求。需求函數(shù)Q=Q(p)(p為價(jià)格)的導(dǎo)數(shù)Q′(p)稱為價(jià)格為p單位時(shí)的邊際需求。邊際需求Q′(p)表示當(dāng)價(jià)格為p時(shí)，價(jià)格上漲1個(gè)單位，需求量將改變Q′(p)個(gè)單位。

如果ML>0，即MR>MC，邊際收益大于邊際成本，表明在產(chǎn)量為Q時(shí)再生產(chǎn)1個(gè)單位產(chǎn)品多帶來(lái)的收益增加量大于再生產(chǎn)1個(gè)單位產(chǎn)品多帶來(lái)的成本增加量。這時(shí)，增加產(chǎn)出是有利的，可以使利潤(rùn)增加。

如果ML<0，即MR

如果ML=0，即MR=MC，邊際收益等于邊際成本，表明在產(chǎn)量為Q時(shí)再生產(chǎn)1個(gè)單位產(chǎn)品多帶來(lái)的收益增加量等于再生產(chǎn)1個(gè)單位產(chǎn)品多帶來(lái)的成本增加量。這時(shí)不再調(diào)整產(chǎn)量，利潤(rùn)達(dá)到最大，即實(shí)現(xiàn)了利潤(rùn)最大化。此時(shí)的產(chǎn)量為最佳生產(chǎn)量。

2 彈性分析在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

彈性分析也是經(jīng)濟(jì)分析中常用的一種方法,主要用于對(duì)生產(chǎn)、供給、需求等問(wèn)題的研究。彈性概念用來(lái)定量描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的變化的相對(duì)反應(yīng)速度。

一般情況下, 因Q=Q(p)為單調(diào)減函數(shù),所以Ed<0.其經(jīng)濟(jì)意義:在價(jià)格為p時(shí),如果價(jià)格提高或降低1%,需求由Q起,減少或增加的百分?jǐn)?shù)是|Ed|。當(dāng)|Ed|<1時(shí),稱需求是低彈性的;當(dāng)|Ed|>1時(shí),稱需求是高彈性的;當(dāng)|Ed|=1時(shí),稱需求是單位彈性的。

例：設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=100-10p,試求:

(1)需求價(jià)格彈性Ed;

(2)當(dāng)p=2,5,6時(shí)的需求價(jià)格彈性, 并作出經(jīng)濟(jì)解釋。

(2)當(dāng)p=2時(shí),Ed=-0.25,需求是低彈性的；而當(dāng)p=2時(shí),Q=40.這說(shuō)明:在價(jià)格p=2時(shí),若價(jià)格提高(降低)1%,需求Q將由40起減少(增加)0.25%。這時(shí),需求下降(提高)的幅度小于價(jià)格提高(降低)的幅度。

當(dāng)p=5時(shí),Ed=-1,需求是單位彈性的；而p=5時(shí),Q=25.這說(shuō)明:在價(jià)格p=5時(shí),若價(jià)格提高(降低)1%,需求Q將由25起減少(增加)1%，這時(shí),需求下降(提高)的幅度等于價(jià)格提高(降低)的幅度。

當(dāng)p=6時(shí),Ed=-1.5,需求是彈性的;而p=6時(shí),Q=20.這說(shuō)明:在價(jià)格p=6時(shí),若價(jià)格提高(降低)1%,需求Q將由20起減少(增加)1.5%.這時(shí),需求下降(提高)的幅度大于價(jià)格提高(降低)的幅度。

經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的任何函數(shù)都可類似地定義彈性，比如需求收入彈性、供給價(jià)格彈性等。

3 定積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3.1 已知邊際函數(shù)或變化率，用定積分計(jì)算產(chǎn)量由a到b時(shí)原來(lái)函數(shù)的改變量

例：設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為MC=3(萬(wàn)元/件)，邊際收入為MR=18-0.06x，若在最大利潤(rùn)的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)30件產(chǎn)品，利潤(rùn)會(huì)發(fā)生什么變化？

解：該產(chǎn)品的邊際利潤(rùn)為

L′(x)=MR-MC=18-0.06x-3=15-0.06x

令L′(x)=0，即15-0.06x=0，得惟一的駐點(diǎn)x=250；所以產(chǎn)量為250件時(shí)，利潤(rùn)最大，在最大利潤(rùn)的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)30件產(chǎn)品，利潤(rùn)的改變量為

即最大利潤(rùn)的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)30件產(chǎn)品，利潤(rùn)會(huì)減少27萬(wàn)元。

3.2 已知邊際函數(shù)或變化率，用定積分求原來(lái)的函數(shù)

例：已知某商品每周生產(chǎn)x單位時(shí)，總費(fèi)用的變化率是f(x)=0.4x-12(元/單位)，求總費(fèi)用F(x)。

即銷售x單位商品得到的總收入為R(x)=20x。

3.3 資本現(xiàn)值與投資問(wèn)題

若現(xiàn)有a元貨幣，按年利率為r作連續(xù)復(fù)利計(jì)算，則t年后的價(jià)值為aen元；反過(guò)來(lái)，若t年后有貨幣a元，則按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)應(yīng)有aen元，即資本現(xiàn)值。

純收入的貼現(xiàn)值=總收入現(xiàn)值-總投資

例：若連續(xù)3年內(nèi)保持收入率每年7500元不變，且利率為7.5%,問(wèn)其現(xiàn)值是多少？

資本形成、收入預(yù)測(cè)都可以用這種方法計(jì)算獲得。

4 微分方程在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

為了研究經(jīng)濟(jì)變量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律常需要建立某一經(jīng)濟(jì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式,并由此確定所研究函數(shù)形式,從而根據(jù)一些已知的條件來(lái)確定該函數(shù)的表達(dá)式。在數(shù)學(xué)上就是建立微分方程并求解微分方程。利用微分方程可以分析商品的市場(chǎng)價(jià)格與需求量(供給量)之間的函數(shù)關(guān)系，預(yù)測(cè)可再生資源的產(chǎn)量,預(yù)測(cè)商品的銷售量，分析關(guān)于國(guó)民收入、儲(chǔ)蓄與投資的關(guān)系問(wèn)題等。

例：某年我國(guó)的國(guó)民生產(chǎn)總值(GDP)為80423億元，如果我國(guó)能保持每年8%的相對(duì)增長(zhǎng)率，問(wèn)到11年后我國(guó)的GDP是多少？

解：建立微分方程：設(shè)第t年我國(guó)的GDP為P(t)，t=0代表起始年。

5 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

5.1 邊際經(jīng)濟(jì)量

偏導(dǎo)數(shù)也就是邊際函數(shù)，它與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有著同樣的經(jīng)濟(jì)意義。

例：設(shè)某一商品的市場(chǎng)需求受到商品的價(jià)格x與企業(yè)的廣告投入y這兩個(gè)因素的影響，其需求函數(shù)為Q(x,y)=6000-8x+50y+2xy-y2-x2。

5.2 偏彈性

就一元函數(shù)而言，需求的價(jià)格彈性是用來(lái)度量當(dāng)價(jià)格變化時(shí)所引起的需求反應(yīng)，即價(jià)格變動(dòng)1%時(shí)，需求變動(dòng)的百分?jǐn)?shù)。對(duì)多元函數(shù)，同樣也如此。

設(shè)有兩種相關(guān)商品的需求函數(shù)為QA=QA(PA,PB)和QB=QB(PA,PB)。

直接價(jià)格偏彈性又稱為自身價(jià)格偏彈性。

交叉價(jià)格彈性是度量某種商品對(duì)另一種商品價(jià)格變化而產(chǎn)生的需求的反應(yīng)，對(duì)于兩種和多于兩種商品的需求之間關(guān)系的度量是有用的。

若EAB>0或EBA>0，說(shuō)明兩種商品是互相競(jìng)爭(zhēng)的(或者互相取代的)；

若EAB<0或EBA<0，說(shuō)明兩種商品是互相補(bǔ)充的。

因?yàn)锳和B是“相互”的關(guān)系，所以只要EAB和EBA其中一項(xiàng)為正，即可判定是相互競(jìng)爭(zhēng)的關(guān)系；同樣，只要EAB和EBA其中一項(xiàng)為負(fù)，即可判定是相互補(bǔ)充的關(guān)系。

[1]侯風(fēng)波.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)[M].上海：上海大學(xué)出版社，2010.

[2]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]盧達(dá)平.《微積分》在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用[J].龍巖學(xué)院學(xué)報(bào),2006,(6):109～111.

[4]楊麗賢，等.談高等數(shù)學(xué)理論在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用[J].長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào),2006,(12):20～22.