一類軸向力與非線性外力混合作用下梁系統(tǒng)的整體解

彭國榮

(湖北民族學(xué)院 預(yù)科教育學(xué)院，湖北 恩施 445000)

1 引言

由桿或梁所組成系統(tǒng)的動力學(xué)問題早已成為非線性演化方程領(lǐng)域的一個研究焦點，且已有較多成果.比如J.M.Ball[1]于1973年在一維區(qū)間(0,l)上研究了一類非線性屈曲梁:

的初邊值問題存在全局吸引子.本文在前人基礎(chǔ)上考慮非線性外力與軸向力混合作用下粘彈性梁方程在Ω?RN上的初邊值問題:

(1)

(2)

(3)

其中α>0，β≥0皆為常數(shù)，Ω為Rn中一有界凸區(qū)域且具有光滑邊界?Ω，‖·‖為通常意義下的L2(Ω)范數(shù)，Δ為Laplace算子，為梯度算子，非線性函數(shù)f∈C1(R)且滿足下列條件：

?s∈R

(4)

|f′(s)|≤C0(1+|s|p)，?s∈R

(5)

那么，由式(4)可推出，存在正常數(shù)λ<λ1及C1,C2滿足：

f(s)s≤λs2+C1，?s∈R

(6)

(7)

本文通過Galerkin逼近法，證明了問題整體L解的存在與唯一性.

2 主要結(jié)果

u∈L

u滿足條件(2)且方程(1) 在L(0,T;L2(Ω))中成立.

3 定理證明

1)構(gòu)造近似解

設(shè)u是Ω上的函數(shù)，為簡單起見，定義如下的記號：

；

令{ωj(x)}是L2(Ω)一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量函數(shù)，滿足：

Δ2ωj=λj(-Δωj)，

ωj|?Ω=0，ωj|?Ω=0，2ωj|?Ω=0，3ωj|?Ω=0，j=1，2，…，

λj為與特征函數(shù)ωj相對應(yīng)的第j個特征值，不妨設(shè)：

0<λ1<λ2<…<λj<…，λj→(j→)，

(8)

則對于任意1≤j≤m，um(t)必然還滿足：

(9)

且當(dāng)m→時，令：

(10)

(11)

2)估計

(12)

對上式從0到t積分，記：

可得：

Em(t)≤Em(0).

(13)

據(jù)式(7) ，有：

而：

‖um‖2=((-Δ)um,um)≥λ1(um,um)=λ1‖um‖2，

再結(jié)合式(12)可得：

(14)

這里C表示一個與m，t無關(guān)的正常數(shù)，以下C在不同的地方表示不同的正常數(shù)且均與m及t無關(guān)，不再特別說明.

‖

(15)

由式(10)與式(11)知：‖Δ2um(0)‖，‖Δum(0)‖，‖(0)‖對任意正整數(shù)m皆有界.再由f的連續(xù)性及式(8)，得：

(16)

由Schwarz不等式，廣義H?lder不等式，Sobolev-Poincaré不等式，Gronwall不等式，式(5)、(14)、(15)及(16)有:

(17)

再由Sobolev-Poincaré不等式，有：

‖

(18)

由Lagrange中值定理與Sobolev-Poincaré不等式，結(jié)合式(5)知：

‖f(um)‖

(19)

繼而有：

‖Δ2um‖，‖Δum‖

(20)

由于上述有界均關(guān)于t一致有界，故上述有界性對任意T>0，在t∈(0,T)內(nèi)成立.

3)收斂性

由上述有界性式(14)至式(20)，知：

{um}在L中有界；

{‖um‖2Δum}在L(0,T;L2(Ω))中有界；

{f(um)}在L(0,T;L2(Ω))中有界；

{um}在H2(Q)中有界.

因為可分賦范線性空間的一致有界線性泛函序列中必可取出一個弱*收斂的子序列，故可選取{um}的子序列，不妨仍記為{um}，再由相關(guān)理論，得：

um→u在L中弱*收斂；

‖um‖2Δum→‖u‖2Δu在L(0,T;L2(Ω))中弱*收斂；

f(um)→f(u)在L(0,T;L2(Ω))中弱*收斂；

um→u在H1(Q)中強收斂且?guī)缀跆幪幨諗?

對式(8)兩邊取L(0,T;L2(Ω))中的極限，有：

成立.

容易證明u滿足初始條件及唯一性.

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