具有循環(huán)加群的環(huán)的結(jié)構(gòu)

劉倫剛

(中國科學院 武漢物理與數(shù)學研究所《數(shù)學物理學報》編輯部，湖北 武漢 430071)

1 若干引理

對于剩余類環(huán),我們都是很熟悉的[1-3]，但對于具有循環(huán)加群的某環(huán)，它的結(jié)構(gòu)怎樣?我們是不太清的.本文的目的就是想借助剩余類環(huán)來達到了解具有循環(huán)加群的環(huán)的結(jié)構(gòu).

首先引用兩個數(shù)論的定理來證明一個數(shù)論問題(即一元一次同余方程解的定理)：一元一次同余方程:

ax+b≡B(modn)

(1)

狄利克雷的算術(shù)級數(shù)的質(zhì)數(shù)定理：假若(a,d)=1，那么形狀象p=a+dt，t是正整數(shù)的質(zhì)數(shù)有無窮多個.

引理1 若(k1,n)=d，則存在k, 使得k1≡kd(modn)且(k,n)=1.

對于任何群G為循環(huán)群的充分必要條件是其子群恒為mG這樣的子集，對于具有循環(huán)加群的環(huán)則有：

引理2 環(huán)R為具有循環(huán)加群的環(huán)的充分必要條件是其子環(huán)恒為mR這樣的子集.

證明不妨設(shè)R={ka|k∈z} (以下R都具有這種形式)，?m∈Z,mR={k(ma)|k∈Z}，關(guān)于加法，mR是R的循環(huán)子群．

這樣對于剩余類環(huán)Znk而言，由于它是具有循環(huán)加群的環(huán)，故?k∈Z+，kZnk是環(huán)Znk的子環(huán).

故 (k,n)=1.

(2)

s1k1s2k[k2]=s1k[k2]s2k[k2]=s1s2kkk2[k2]，

也即：nk2|s1s2k2k(k1-kk2).取s1=s2=1,有n|k(k-kk2)，由 (n,k)=1,得n|k-kk2 ，故:

R1-kk2=αn，α∈Z.

(3)

由式(2)和式(3)，?d∈Z,d|(k1,n)，則有d|kk2，由(n，k)=1，d|n， 有d|k2.又若d|(k2,n)得d|k1，故(k1,n)=(k2,n).

存在k， 使得：k1≡kd(modn)，且(k,n)=1.

由n|k1-kd知，nd|s1s2kd(k1-kd)，s1s2∈Z，得:s1k1s2k[d]=s1k[d]s2k[d]，

證明顯然.

而由f(s1k1s2k1)=f(s1k1)f(s2k1)可得:s1kk1s2kk2=s1kk2s2kk2，得k1=kk2，這不可能，故k1=k2.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1 環(huán)R關(guān)于加法成循環(huán)群，當|R|=n時，則它可嵌入到一個剩余類環(huán)中，當|R|=且a·a≠0時，則它可嵌入到一個整數(shù)環(huán)中.

證明由于R={ka|k=0,1,2,…}，那么存在某k使得a·a=ka.

這里當|k|=∞,a·a=0，不作討論.

當|R|=n,a·a=0則取a·a=na，否則a·a=ka,1≤k≤n-1作映射φ:kZ→R(顯然k≠0)

使得：φ(ks)=sa,s∈Z，則有φ(ks1+ks2)=(s1+s2)a=s1a+s2a，

故:

φ(ks1+ks2)=φ(ks1)+φ(ks2).

又φ(ks1ks2)=φ(ks1s2k)=ks1s2a=s1s2aa=s1as2a，故:φ(ks1ks2)=φ(ks1)φ(ks2)

又當|R|=時，kerφ={ks|sa=0,s∈Z}={0}，故R?kZ.

現(xiàn)在已經(jīng)知道，若|R1|=|R2|=n，由定理1便可知：R1?k1Znk1,R2?k2Znk2(1≤k1,k2≤n).若|R1|=|R2|=且分別關(guān)于其加法生成元的乘法不為零元時有R1?k1Z,R2?k2Z.否則R1?R2.

定理2 若|R1|=|R2|=n，則R1?R2的充分必要條件是(k1,n)=(k2,n)；若|R1|=|R2|=，則R1?R2的充分必要條件是k1=k2.

證明由引理3和引理4可知：k1Znk1?k2Znk2?(k1,n)=(k2,n),k1Z?k2Z?k1=k2.

由此問題便可以得證.

定理3 就同構(gòu)的意義而言,n階的環(huán)只有T(n)個，無限階環(huán)則有無限個(這里指的環(huán)是具有循環(huán)加群的環(huán)，以下意義相同).

證明若|R|=n，則R?kZnk,1≤k≤n.于是若d1≠d2，且都是n的正約數(shù)，則(n,d1)=d1≠d2=(n,d2)，于是d1Znd1?d2Znd2.這就是說n階的環(huán)至少有T(n)個.

又因(k,n)=d，則有kZnk?dZnd，即R≌dZnd. 這即是說n階的環(huán)不多于T(n)個.故n階的環(huán)，就同構(gòu)的意義而言只有T(n)個.

若|R|=時，則RZ?kZ,k∈N，?k1≠k2,k1,k2∈N，有k1Z≠k2Z.故無窮階的環(huán)有無窮多個.

推論1 環(huán)R為域的充分必要條件是|R|=n,n為素數(shù)，且其加法生成元有a·a≠0.

證明?若a·a=0顯然R不能為域，故a·a=ka，k≠0.這里當|R|=∞時，由定理1可知，R?kZ但kZ是Z的子環(huán)不能為域，由此得出|R|=n，又有限域的特征必須是一個素數(shù).故這里a的階是n，故n必須為一個素數(shù).

?若|R|=n，n為素數(shù)，且其加法生成元a有a·a≠0，而滿足a·a=ka，則由定理1可知：R?kZnk,0

推論2 設(shè)R是一個整環(huán)，若CharR=0，則R含有一個與Z同構(gòu)的子環(huán)，若CharR=P，則R含有一個與Zp同構(gòu)的子環(huán).

證明定義φ∶Z→R為φ(n)=n·1.這里R1={n·1|n∈Z}，若CharR=0故R是整環(huán)，有|R1|=∞又1·1=1，由定理1得：R1?Z，即R含有一個與Z同構(gòu)的子環(huán).

若CharR=P，因為R是整環(huán)，有：|R1|=P，由定理1有：R1?ZP，即R含有一個與ZP同構(gòu)的子環(huán).

[1] 華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京:科學出版社,1979.

[2] 張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：人民教育出版社，1978.

[3] 謝邦杰.抽象代數(shù)學[M].上海：上?？茖W技術(shù)出版社，1987.