關(guān)于不定方程4x2-py2=1

管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理系，江蘇 泰州 225300)

1 引言及主要結(jié)論

方程:

4x2-py2=1，p為奇素?cái)?shù)

(1)

是一類基本而又重要的二次不定方程，它的求解問題目前只解決了一些特殊情形.比如，當(dāng)x是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，曹珍富[1]證明了方程:

4x4-py2=1，p為奇素?cái)?shù)

除p=3，x=y=1和p=7，x=2，y=3外，無其它的正整數(shù)解.

本文運(yùn)用初等數(shù)論方法結(jié)合文獻(xiàn)[2-6]，證明了以下一般性的結(jié)果：

定理1 設(shè)m為大于1的正奇數(shù)，若奇素?cái)?shù)p=m2-2，則方程(1)的全部正整數(shù)解為:

(2)

其中k為正整數(shù).

定理2 設(shè)m為正奇數(shù)，若奇素?cái)?shù)p=m2+2，則方程(1)的全部正整數(shù)解為:

(3)

其中k為正整數(shù).

定理3 若奇素?cái)?shù)p≡1,5(mod 8)，則方程(1)無正整數(shù)解.

2 關(guān)鍵性引理

引理1[7]若D是一個(gè)非平方的正整數(shù)，則Pell方程:

x2-Dy2=1

(4)

有無限多組正整數(shù)解，設(shè)x=x0,y=y0是方程(4)的基本解，則方程(4)的全部正整數(shù)解由:

表出，其中n是任意正整數(shù).

引理2[8]設(shè)m,n為正整數(shù)，若D=(mn)2±2n，則方程(4)的基本解為:

3 定理的證明

先證定理1.

(i)若n=2k(k為正整數(shù))，則:

(5)

(ii)若n=2k-1(k為正整數(shù))，則:

(6)

類似可證定理2.下證定理3.

方程(1)可化為:

(2x-1)(2x+1)=py2.

由于(2x-1,2x+1)=1，p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，故上式給出:

(7)

其中y1,y2均為奇數(shù)，且(y1,y2)=1.由方程組(7)的前兩式可得:

(8)

若p≡1(mod 8)，則由式(8)得0≡2(mod 8)，矛盾.定理3得證.

最后值得指出，設(shè)m為正奇數(shù)，若奇素?cái)?shù)p=m2±2，則p≡3,7(mod 8).但本文作者沒有完全解決這兩種情形，將在今后對(duì)這一問題繼續(xù)進(jìn)行探討.

[1] 曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989：20-21.

[2] 管訓(xùn)貴.Catalan方程xn+1=y2的正整數(shù)解[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，5(1)：1-3.

[3] 管訓(xùn)貴.關(guān)于不定方程x2+(p-1)y2=pz2[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26(1)：12-14.

[4] 管訓(xùn)貴.關(guān)于Pell方程x2-5py2=-1[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，13(3)：32-33.

[5] 管訓(xùn)貴.關(guān)于Diophantine方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，28(2)：147-149.

[6] 管訓(xùn)貴.關(guān)于不定方程4x2n-py2=1[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，28(3)：341-343.

[7] 柯召，孫琦.談?wù)劜欢ǚ匠蘙M].上海：上海教育出版社，1980：18-22.

[8] 高顯文.幾類Pell方程最小解的計(jì)算公式[J].昭通師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2003(5)：1-4.