基于約束條件的三次NURBS曲線插值研究

陳紹平，何精雄，李 真

(武漢理工大學 理學院，湖北 武漢 430070)

1 引言

非均勻有理B樣條(NURBS)[1]是幾何造型的一個十分有用的工具，在計算機輔助設計和輔助制造集成系統(tǒng)中都得到廣泛的應用.又因為它具有局部性、凸包性、仿射與透視不變性、參數(shù)連續(xù)性等優(yōu)良性質(zhì)，因此NURBS方法受到工程界人士的廣泛的重視[2].在實際應用中，人們可以利用三次NURBS曲線插值方法得到一條理想的光順曲線，比如船舶型線設計就用到此方法.因此研究三次NURBS曲線插值方法具有非常重要的實際意義，它不僅提供生成曲線的方法，而且為工程設計人員提供了理論依據(jù).

2 基于約束條件下的三次NURBS曲線插值

2.1 NURBS曲線

由于NURBS方法是一種可以統(tǒng)一表示初等曲線曲面和自由型曲線曲面的方法，一旦節(jié)點矢量、控制頂點和權因子被確定之后，NUBRS曲線和曲面的形狀也就唯一確定了.比如一條K次NUBRS曲線可以表示為：

其中，ωi(i=0,1,…,n)稱為權因子，ω0,ωn>0,wi≥0， 以防分母為零；di(i=0，1，2，…，n)為控制頂點.Ni,k(u)是由節(jié)點矢量U=[u0,u1,…,un+k+1]決定的K次規(guī)范B樣條基函數(shù).B樣條基函數(shù)的de Boor-Cox遞推公式如下：

2. 2 某兩點具有曲率限制的NURBS曲線插值

其中di=ui+1-ui，Qi為控制點.

下面根據(jù)任意兩點曲率限制推導控制點所對應的方程，由于非均勻B樣條曲線的各節(jié)點處有：

aiQi-1+biQi+ciQi+1=ei;i=2,3,…,n

(3)

(4)

又由式(3)得：

am+2Qm+1+bm+2Qm+2+cm+3Qm+3=em+2

(5)

故把式(4)代入式(5)得：

(6)

又由式(3)得：

am+1Qm+bm+1Qm+1+cm+1Qm+2=em+1

(7)

聯(lián)立式(6)、(7)消去Qm得：

(8)

在式(8)中令Qm+1的系數(shù)為Am+1，Qm+2的系數(shù)為Bm+1，令右邊式子為Em+1,得：

Am+1Qm+1+Bm+1Qm+2=Em+1

(9)

故在關于控制點的方程組(3)中，又可以增加兩個方程，得到關于控制點的矩陣方程為:

由于其系數(shù)矩陣可逆，而且有n+1個未知數(shù)，n+1個方程，故可求出唯一的一組控制點[6].

2.3 某一點只有切矢約束，另一點只有曲率限制的NURBS曲線插值

(10)

又由于ar+1Qr+br+1Qr+1+cr+1Qr+2=er+1

(11)

ar+2Qr+1+br+2Qr+2+cr+2Qr+3=er+2

(12)

把式(10)代入式(12)并與式(11)聯(lián)立，消去Qr得：

(13)

(14)

將式(9)和式(14)都代入節(jié)點方程組(3)中也可以得到n+1個方程的方程組，即：

可求出唯一一組控制點Qi,i=1,2,…,n+1,對于NURBS曲線，只要在該方程組中，將Qi改成帶權控制頂點Di，再取其在w=1超平面上的投影即可求出Qi.

3 結束

本文的方法能夠使三次NURBS曲線更好的滿足操作者的需要，操作者只需改變相應的曲率參數(shù)和切矢參數(shù)就可以很好的控制曲線的形狀，從而得到所需要的曲線.

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