具有指定Julia方向的有限級整函數

南 華

（延邊大學理學院 數學系，吉林 延吉133002）

具有指定Julia方向的有限級整函數

南 華

（延邊大學理學院 數學系，吉林 延吉133002）

根據整函數的Julia方向的定義，研究了整函數的Julia方向問題.構造了以指定方向為Julia方向的有限級整函數f（z），同時還構造了具有指定Julia方向和指定Julia例外點的整函數.

Julia方向；整函數的級；Julia例外值

0 引言

整函數和亞純函數的值分布一直受到學者們的關注，并且取得了許多重要的成果［1－3］.在值分布理論的發(fā)展過程中，著名數學家E.Picard和G.Julia獲得了很多突出的成果，其中包括著名的Picard定理［4］和Julia定理［1］.Picard定理說明了在本性奇點的一個鄰域內函數的A－點集的分布情況，而Julia定理斷言對任意給定的有限復數A（除一點外），函數在一條射線附近有無窮多的A－點，這條射線便是Julia方向.Julia方向可能有幾條或者可能有無數條.

例 考察函數f（z）＝ez，它有2個Julia方向，即正虛軸和負虛軸.

事實上，對于每一個復數z0（z0≠0），方程ez＝z0的解具有如下形式：

如果k是正整數，則連接原點和zk的線段與正虛軸的夾角的正切值等于.顯然當k→∞時，這個正切值趨近于0.這意味著對于每一個復數z0（z0≠0），在任意包含正虛軸的角域內，函數ez取z0值無窮多次.對于負整數k和負虛軸也有類似結論，因而函數f（z）有2個Julia方向.對每種情形而言，Julia例外點是原點.另外，由公式函數的級可得f（z）的級是1.

近幾年，對函數的Julia方向的研究有很多，如Jin Lu［5］研究了具有小級數的整函數的Julia方向，M.V.Zabolots′kyi［6］研究了緩慢增長的整函數的Julia方向，但這些都是對滿足一定條件的整函數的Julia方向的存在性及其性質的研究，僅給出了Julia方向存在的必要性.本文將構造一個具有有限級的整函數，并使其具有指定的Julia方向.本文結果不僅說明了這種整函數的存在性，而且還提供了一種構造這類整函數的方法.

1 引理及其證明

引理1［7］給定一非負整數λ和單調遞增趨近于無窮大的非零序列｛ξn｝.τ≠∞是序列｛ξn｝的收斂

指數，κ是使級數發(fā)散的非負整數k的最大值 若函數

其中Q（z）是v次多項式，且當κ＝0時指數項消失，則函數f（z）是具有有限級ρ＝max（υ，τ）的整函數，它的所有零點為

由此引理可知，當序列｛ξn｝以充分快的速度趨近于0時，函數f（z）表達式中的指數項可以去掉.

證明 由于數列｛an｝充分快速地趨近于∞，因而我們不妨設對所有的j＝1，2，3，… 都成立.在每個緊集Cj（j＝1，2，3，…）中，整函數f（z）都可以在某一點取得最小值.固定j，令

設M＞0.由于j→∞時有mj→∞，所以必存在自然數N，使得j≥N時有M.令對任意的滿足時，必存在一整數n使得.又由于是緊的，函數在K內某點處取得最小值.另外，在K內f（z）不為0，因此由最小模原理有在Bd（K）的某點處取得最小值.

2 主要結果

定理 設θ0是一實數（mod 2π），則必存在僅以χ（θ0）為Julia方向的有限級整函數f（z）.

證明 設復數列｛an｝滿足：①，且以足夠快的速度趨于∞使得∞；②argaj＝θ0，j＝1，2，3，….令函數f（z）和點集Cj、Dj及mj與本文引理2中所設相同.由于j→∞時mj→∞，因此對于任意的復數z0都存在自然數N＞0，使得j≥N時對一切的z∈Cj都成立.

于是對所有的z∈Cj和j≥N有.再根據Rouche’s定理可知，函數f（z）－z0與f（z）在Cj內部有相同個數的零點，而對Cj的內部的點aj有f（aj）＝0.這說明在Dj（j≥N）內f（z）＝z0有解.由z0點的任意性知，在集合的內部f（z）可取得任意復數值無窮次.設角域Sδ＝｛z∶θ0－δ＜argz＜θ0＋δ｝，δ＞0.顯然對充分大的j有Dj?Sδ，因此θ0是函數f（z）的Julia方向.對任意的θ≠θ0（0≤θ≤2π），設角域S′δ＝｛z∶θ－δ＜argz＜θ＋δ｝，δ＞0.由引理2可知，對所有的z∈S′δ，當z→∞ 時有f（z）→∞.因此χ（θ0）是整函數f（z）唯一的Julia方向.另外，根據性質① 可知｛an｝的收斂指數再由引理1可知，函數f（z）的級是有限的.定理證畢.

推論 給定實數θ0（mod 2π）和任意復數z0，必存在1個整函數F（z），使得χ（θ0）是函數F（z）的Julia方向，而z0是Julia例外值.

證明 令F（z）＝z0＋p（z）ef（z），其中f（z）與定理中的函數f（z）相同，而p（z）是次數為λ的非常值多項式，那么顯然F（z）取得z0值只能是有限次（λ次）.

由上面的定理得知，f（z）在集合∪∞j＝1Dj中取得任意復數值無窮多次.因此函數ef（z）在集合 ∪∞j＝1Dj中

除了0之外取得其他任意復數值無窮多次.所以函數F（z）取z0值有限多次，取其他任意復數無窮多次.設Sδ＝ ｛z∶θ0－δ＜argz＜θ0＋δ｝，δ＞0.對充分大的j有Dj?Sδ，因此χ（θ0）是整函數F（z）的Julia方向，且z0是Julia例外值.

［1］Julia G.Lecons Sur Les Fonctions a Point Singulier Essentiel Isole［M］.Paris：Imprimerie Gauthier－Villa，1924.

［2］Tu Z H.On the Julia Directions of the Value Distribution of Holomorphic Curves onPn（C）［J］.Kodai Math J，1996，19：1－6.

［3］南華.超越整函數的正規(guī)族｛f（2nz）｝［J］.延邊大學學報：自然科學版，2010，36（2）：109－113.

［4］Dieter Gaier.Lectures on Complex Approximation［M］.Boston：Birkh?user，1987.

［5］Jin Lu.On Julia Directions of Entire Functions of Small Order［J］.KODAI Math J，2002，25：72－78.

［6］Zabolots′kyi MV.Julia Lines of Entire Functions of Slo wGrowth［J］.Ukrainian Mathematical Journal，2006，58：937－944.

［7］Markushevich A I.Theory and Functions of a Complex Variable：Vol.II［M］.Ne wYork：Chelsea Publ Co，1977：251－258.

An Entire Function of Finite Order with Preassigned Julia－line

NAN Hua
（DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China）

We studied the Julia direction of an entire function.An entire functionf（z）which has the preassigned Julia－line was construted，and the order of the entire functionf（z）was discussed.Moreover，we constructed an entire function which has the preassigned Julia－line and Julia exceptional value.

Julia－line；order of entire function；Julia exceptional value

O174.5

A

1004－4353（2011）03－0223－03

2011 -05 -17

延邊大學科研項目（延大科合字［2010］第002號）

＊通信作者：南華（1972—），女，博士，副教授，研究方向為復變函數.