第二類q－Beta算子的逼近性質

蔡清波

（泉州師范學院 數(shù)學與計算機科學學院，福建 泉州362000）

第二類q－Beta算子的逼近性質

蔡清波

（泉州師范學院 數(shù)學與計算機科學學院，福建 泉州362000）

基于q－積分的概念，研究了第二類q－Beta算子的逼近性質.通過計算得到了算子的各階矩量及中心距量，并由光滑模和k－泛函分析得到算子的局部逼近性質.由于當q→1－時，算子退化到經典的第二類Beta算子，故其是對第二類Beta算子收斂性質的一種推廣.

q－積分；q－Beta算子；矩；收斂階

0 引言

近年來，q－整數(shù)在逼近論中的應用成為該領域的一個研究熱點.自1997年Phillips在文［1］中提出q－Bernstein算子以來，很多學者對相關問題進行了研究，并得到了許多重要的結論［1－4］.

首先，引入與q－整數(shù)及q－微積分的相關一些概念［5－6］.對任意固定的實數(shù)q＞0及非負整數(shù)k，定義q－整數(shù)為更一般地，對于非整數(shù)t，定義分別定義q－階乘及q－二項系數(shù)為和定義無窮限q－積分為假設級數(shù)絕對收斂.此外，定義如下函數(shù)q－Gamma積分定義為且滿足Γq（t＋1）＝ ［t］qΓq（t），Γq（1）＝1.

定義第二類q－Beta函數(shù)為

其中算子Ln（f；x）是由Stancu定義的正線性算子，在區(qū)間（0，∞）上是局部可積函數(shù)，當t→∞，n→∞時是以多項式階增長的［7］.在此基礎上，定義第二類q－Beta算子.設f∈C［0，∞），q∈ （0，1），則

值得注意的是，若q→1－，則Ln，1－（f；x）即為式（2）所定義的算子.

2 引理及證明

引理1 設f∈C［0，∞），q∈ （0，1），則如下等式成立：

證明 由q－Beta函數(shù)的定義（1），易得故（4）式成立.此外由于K（x；t＋1）＝qtK（x；t）［4］，從 而 有又因從而故（5）式成立.最后，由于故（6）式成立，引理1得證.

注1 由引理1，當q→1－時，Ln，1－（1；x）＝1，Ln，1－（t；x）＝x和為第二類Beta算子的各階矩量［8］.

引理2 設f∈C［0，∞），q∈ （0，1），則有

證明 由Ln，q（t－x）2；（x＝Ln，q（t2；x）－2xLn，q（t；x）＋x2及引理1易得證.）

注2 由引理2，當q→1－時為第二類Beta算子的二階中心距量［8］.

3 主要結論

令CB［0，∞）為定義在［0，∞）上的實值連續(xù)有界函數(shù)空間，定義范數(shù)為k－泛函定義為其中δ＞0，由文獻［9］中的定理2．4知，存在常數(shù)C＞0，使得

定理1 設f∈CB［0，∞），q∈ （0，1），則存在常數(shù)C＞0，使得對x∈ ［0，∞）有

其中αn，q（x）如（7）式所定義．

證明 構造輔助算子

令g∈C2B，由Taylor展開及（11）式，有從而，由（10）式及引理2，有

其中δn，q（x）如（7）式所定義．又由（10）和（3）式及引理1，有

從而由（10）和（12）式可得

在上述不等式右端中，對g∈W2取下確界有

注3 令q＝｛qn｝為滿足0＜qn＜1的序列，則有及從而得到算子Ln，qn（f；x）收斂到f（x）的點態(tài)收斂階.

考慮如下函數(shù)類：設Hx2［0，∞）為定義在［0，∞）上且滿足條件的函數(shù)f的集合，其中Mf為只依賴于f的常數(shù).記Cx2［0，∞）為包含于Hx2［0，∞）的所有連續(xù)函數(shù)子空間.定義f在閉 區(qū)間［0，a］，a＞0上的光滑模為

定理2 設f∈Cx2［0，∞），q∈ （0，1），ωa＋1（f；δ）為有限區(qū)間［0，a＋1］? ［0，∞），a＞0上的光滑模，則有其中αn，q（a）如（7）式所定義.

證明 當x∈ ［0，a］，t＞a＋1，由t－x＞1有

當x∈ ［0，a］，t≤a＋1時，有

由（13）和 （14）式 可 得，當x∈ ［0，a］，t≥ 0 時 有從而所以，由Schwartz不等式及引理2知，當q∈（0，1），x∈ ［0，a］時，有取定理2得證.

［1］Phillips G M.Bernstein Polynomials Based on theq－integers［J］.Ann Numer Math，1997，4：511－518.

［2］Mahmudov N I.Statistical Approximation of Baskakov and Baskakov－Kantorovich Operators Based on theq－integers［J］.Cent Eur J Math，2010，8（4）：816－826.

［3］Do~gru O，Duman O.Statistical Approximation of Meyer－K¨onig and Zeller Operators Based onq－integers［J］.Publicationes Mathematicae Debrecen，2006，68（1／2）：199－214.

［4］De Sole A，Kac V G.On Integral Representation ofq－gamma andq－beta Functions［J］.Atti Accad Naz Lincei Cl Sci Fis Mat Natur Rend Lincei（9）Mat Appl，2005，16：11－29.

［5］Gasper G，Rahman M.Basic Hypergeometric Series，Encyclopedia of Mathematics and its applications［M］.UK Cambridge：Cambridge University Press，1990：35.

［6］Kac V G，Cheung P.Quantum Calculus［M］.Ne wYork：Universitext，Springer－Verlag，2002.

［7］Stancu D D.On the Beta Approximation Operators of Second Kind［J］.Rev Anal Numér Théor Approx，1995，24：231－239.

［8］Abel U.Asymptotic Approximation with Stancu Beta Operators［J］.Rev Anal Numér Théor Approx，1998，27：5－13.

［9］DeVore R A，Lorentz G G.Constructive Approximation［M］.Berlin：Springer，1993.

Approximation Properties of the Second Kindq－Beta Operators

CAI Qing－bo
（SchoolofMathematicsandComputerScience，QuanzhouNormalUniversity，Quanzhou362000，China）

We introduced the second kind of Beta operators based on the concept ofq－integral.We computed the moments and central moment of the operators，and investigated local approximation properties by the modulus of continuity andk－functional with analysis techniques.

q－integral；q－Beta operators；rate of convergence；moments

O174.41

A

1004－4353（2011）03－0208－04

2011 -05 -07

福建省教育廳科技項目（JK2011041）

蔡清波（1981—），男，講師，研究方向為算子逼近論及計算幾何.