＊ 冠狀動(dòng)脈系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)與混沌控制

石艷香,劉桂榮,白定勇

(1.山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西太原 030006;2.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510006)

＊冠狀動(dòng)脈系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)與混沌控制

石艷香1,2,劉桂榮1,白定勇2

(1.山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西太原 030006;2.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510006)

研究?jī)深惞跔顒?dòng)脈系統(tǒng):N型與S型.利用Melnikov方法,得到兩類系統(tǒng)在參數(shù)條件下產(chǎn)生Smale馬蹄意義上的混沌的閥值.通過(guò)數(shù)值模擬,不僅可以證明理論分析的正確性,同時(shí)顯示出理想的分支圖形和更多新的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.數(shù)值模擬包括相圖、勢(shì)能圖、同宿分支曲線和分支圖,通過(guò)這些較直觀地反映出系統(tǒng)隨周期激勵(lì)外力強(qiáng)弱變化的動(dòng)態(tài)特性、復(fù)雜性和非線性特征,揭示了系統(tǒng)的分支形式以及通向混沌運(yùn)動(dòng)的道路.最后對(duì)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行了有效的控制.

Melnikov方法;混沌;分支;混沌控制

混沌科學(xué)是20世紀(jì)人類三大科學(xué)成就之一,自上世紀(jì)60年代Lo renz系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)以來(lái),已有許多新的混沌系統(tǒng)被相繼提出[1-2],這些系統(tǒng)的提出,促使混沌理論研究不斷深入,并為混沌在信息處理、保密通訊等工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用提供了支持.

周期激勵(lì)冠狀動(dòng)脈系統(tǒng)是一種典型的非線性振動(dòng)系統(tǒng),有著豐富的動(dòng)力學(xué)行為.

(A)周期性激勵(lì)N型血管的非線性數(shù)學(xué)模型為[3]

(B)周期性激勵(lì)S型血管的非線性數(shù)學(xué)模型為[3]

本文針對(duì)系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)進(jìn)行分析.研究表明,此二系統(tǒng)可能存在混沌運(yùn)動(dòng).王樹禾[4]給出了冠狀動(dòng)脈的方程模型及其混沌表現(xiàn),利用Melnikov方法給出兩類系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的條件.Melnikov方法[5]是判定二維系統(tǒng)是否存在混沌現(xiàn)象的重要理論依據(jù).張莉等[6]研究了Van der Pol-Duffing振子的混沌及其控制.褚衍東等[7]研究了Van der Pol-Duffing耦合系統(tǒng)的分岔與混沌控制.石艷香等[8]研究了一類Josephson系統(tǒng)的混沌及其控制.目前,各種文獻(xiàn)中對(duì)冠狀動(dòng)脈系統(tǒng)的混沌控制研究尚少,作為控制科學(xué)當(dāng)中一個(gè)重大課題,有必要對(duì)該系統(tǒng)的混沌控制做深入的研究.

對(duì)系統(tǒng)(1),ε=0時(shí)是Hamilton系統(tǒng),其Hamilton量為

圖1(a)和(b)分別給出了ε=0時(shí)系統(tǒng)(1)的相圖和勢(shì)能圖,此時(shí)取A=B=1.圖1(a)中,鞍點(diǎn)(0,0)通過(guò)兩條同宿軌?！繬連接自身.

圖1 系統(tǒng)(1)的相圖和勢(shì)能圖,這里ε=0,A=B=1Fig.1 Phase portrait and potential of the system(1)forε=0,A=B=1

當(dāng)ε=0,F=D=1時(shí)系統(tǒng)(2)的相圖和勢(shì)能圖與系統(tǒng)(1)相同,此時(shí)鞍點(diǎn)(0,0)通過(guò)兩條同宿軌連接自身.

下面利用數(shù)值模擬為上面的理論分析提供依據(jù),并且去尋求系統(tǒng)更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.

首先給出系統(tǒng)(1)的數(shù)值模擬.圖2給出的是在(ω,r)平面上馬蹄混沌的M elnikov起始曲線圖,此時(shí):δ=0.5,A=1,B=1.從圖2結(jié)合(4)式可知:在曲線的下方鞍點(diǎn)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形不發(fā)生橫截相交,而在曲線的上方,上述行為發(fā)生,即鞍點(diǎn)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形發(fā)生橫截相交.也就是說(shuō),只有在曲線的上方才可能發(fā)生混沌.

圖2 系統(tǒng)(1)在(ω,r)平面上的Smale馬蹄混沌起始曲線圖.在曲線的上方發(fā)生同宿分支的橫截相交Fig.2 Homoclinic bifurcation curve for Smale chaos in the(ω,r)p lane.Transverse intersections of homoclinic orbits occur above the curve

下面對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行數(shù)值模擬.選取系統(tǒng)參數(shù):A=1,B=1,δ=0.5,ω=1,r1=0.01,r2=0.001,采用四階變步長(zhǎng)Runge-Kutta算法對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行數(shù)值模擬,選取r為分支參數(shù),得到系統(tǒng)在r∈(0,1)區(qū)間內(nèi)的分支圖,如圖3(a)所示(P17).從圖3(a)中可以看到倍周期分支和逆倍周期分支,混沌和周期窗口.為進(jìn)一步清晰,圖3(b)顯示了0.3≤r≤0.5時(shí)放大的倍周期段;圖3(c)和圖3(d)分別顯示的是0.4≤r≤0.65和0.55≤r≤0.8時(shí)放大的混沌窗口.從r=0開始并且隨著r的逐漸增大系統(tǒng)(1)處于穩(wěn)定的1周期狀態(tài),在r≈0.346 69時(shí)發(fā)生倍周期分支,即原先的1周期軌道變的不穩(wěn)定,且產(chǎn)生了穩(wěn)定的2周期軌道.隨著r繼續(xù)增大,系統(tǒng)陸續(xù)發(fā)生倍周期分支,且產(chǎn)生穩(wěn)定的4周期軌道、8周期軌道、16周期軌道…,當(dāng)r≈0.587 17時(shí)發(fā)生混沌,而通過(guò)(4)式得到的混沌的閥值是r=0.590 2,兩者近乎相近,說(shuō)明了理論分析與數(shù)值模擬的一致性.從圖3(c)中發(fā)現(xiàn)有5周期窗口和3周期窗口的存在.圖3(d)中顯示出存在一個(gè)3周期窗口.當(dāng)r≈0.829 66時(shí)系統(tǒng)混沌消失,開始產(chǎn)生逆倍周期分支,最終成為穩(wěn)定的1周期軌道.圖4(P17)(a)(b)(c)(d)顯示的是r=0.1(周期-1軌道);r=0.355(周期-2軌道);r=0.8(混沌狀態(tài))和r=0.9(周期-1軌道)時(shí)的系統(tǒng)(1)的相圖.可以看到系統(tǒng)從周期軌到混沌、再由混沌到周期軌的過(guò)程.

其次給出系統(tǒng)(2)的數(shù)值模擬.圖5(P17)給出的是在(ω,r)平面上馬蹄混沌的Melnikov起始曲線圖,此時(shí):δ=0.5,F=1,D=1,δ1=0.05,δ3=0.2.再結(jié)合(5)式知:曲線下方的鞍點(diǎn)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形不發(fā)生橫截相交,而曲線上方的鞍點(diǎn)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形發(fā)生橫截相交,即在曲線的上方可能發(fā)生混沌.

圖3 (a)系統(tǒng)(1)以 r分支參數(shù)的分支圖.(b)(c)(d)分別為圖3(a)在(r,x)平面上的放大分支圖Fig.3 (a)Bifurcation diagram of the system(1)in(r,x)plane.(b)(c)(d)Amplifed bifurcation diagrams of Fig.3(a)

圖4 系統(tǒng)(1)在不同分支變量 r下的相圖Fig.4 Phase portraits of the system(1)

圖5 系統(tǒng)(2)在(ω,r)平面上的Smale馬蹄混沌起始曲線圖.在曲線的上方發(fā)生同宿分支的橫截相交Fig.5 Homoclinic bifurcation curve for Smale chaos in the(ω,r)p lane.Transverse intersections of homoclinic orbits occur above the curve

下面對(duì)系統(tǒng)(2)進(jìn)行數(shù)值模擬.選取系統(tǒng)參數(shù):F=1,D=1,δ=0.5,δ1=0.05,δ2=0.1,δ3=0.2,ω=1,r1=0.01,r2=0.001,圖6(a)為外周期激振力的幅值r在(0.4,1.4)之間變化的分支圖.從圖中可以觀測(cè)到倍周期分支、逆倍周期分支、混沌和周期窗口.圖6(b)(c)(d)為圖6(a)分別在r∈(0.55,0.8),r∈(0.78,0.88)和r∈(0.8,1.2)上的放大分支圖.三幅圖中都可以看到有倍周期分支和逆倍周期分支的存在,并且存在不同周期的周期窗口:(b)3周期窗口;(c)2周期窗口;(d)3、4、5、7周期窗口.圖7(a)(b)(c)(d)分別顯示的是r=0.68(周期-3軌道);r=0.82(周期-2軌道);r=0.98(周期-n軌道)和r=1.1(混沌狀態(tài))時(shí)的相圖.

圖6 (a)系統(tǒng)(2)在(r,x)平面的分支圖.(b)(c)(d)分別為圖6(a)在(r,x)平面上的放大分支圖Fig.6 (a)Bifurcation diagram of the system(2)in(r,x)p lane.(b)(c)(d)Amplified bifurcation diagrams of Fig.6(a)

圖7 系統(tǒng)(2)在不同分支變量 r下的相圖Fig.7 Phase portraits of the system(2)

以上理論和數(shù)值研究結(jié)果表明,在某些參數(shù)下系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).為了抑制和消除系統(tǒng)的混沌行為,要對(duì)系統(tǒng)的混沌進(jìn)行控制.以下介紹兩種方法來(lái)對(duì)混沌進(jìn)行控制.

1)變量反饋控制

利用變量反饋控制方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制,該方法不僅能穩(wěn)定原系統(tǒng)中的不穩(wěn)定周期軌,而且能建立新的周期軌道.

在系統(tǒng)(1)中加入一個(gè)反饋?zhàn)兞縆(K為可調(diào)節(jié)的反饋系數(shù)),得到控制后的方程

通過(guò)選取適當(dāng)?shù)腒,便可抑制系統(tǒng)的混沌行為.圖8(a)為系統(tǒng)(6)在反饋?zhàn)兞縆∈(0,1)下的分支圖,這里參數(shù)固定:A=1,B=1,δ=0.5,ω=1,r1=0.01,r2=0.001,r=0.8.從圖8(a)可以看到帶有2周期窗口和3周期窗口的混沌區(qū)域.當(dāng)K≈0.593 19時(shí),系統(tǒng)開始發(fā)生逆倍周期分支,即混沌消失,產(chǎn)生…、16周期軌道、8周期軌道、4周期軌道、2周期軌道,直到穩(wěn)定的1周期軌道.以上的狀態(tài)過(guò)程說(shuō)明反饋?zhàn)兞縆對(duì)系統(tǒng)原先的混沌狀態(tài)產(chǎn)生了抑制作用:混沌消失,周期軌道產(chǎn)生.圖8(b)(c)(d)給出了系統(tǒng)在不同反饋?zhàn)兞縆受控下的相圖:(b)K=0.2,周期-2軌道;(c)K=0.4,周期-3軌道;(d)K=0.8,周期-1軌道.從圖8(b)(c)(d)可以進(jìn)一步看出系統(tǒng)狀態(tài)從混沌到周期軌道.

圖8 (a)系統(tǒng)(6)對(duì)反饋?zhàn)兞?K∈(0,1)的分支圖.(b)(c)(d)系統(tǒng)(6)在不同反饋?zhàn)兞?K下的相圖Fig.8 (a)Bifurcation diagram of the system(6)in K∈(0,1).(b)(c)(d)Phase portraits for three values of K in Fig.8(a)

2)耦合反饋控制

用周期信號(hào)y(t)和系統(tǒng)(2)的輸出結(jié)果x(t)進(jìn)行耦合后作為控制信號(hào)f(t),即f(t)=L(x(t)-y(t)),其中L為控制信號(hào)的權(quán)重,用以調(diào)節(jié)控制信號(hào)的強(qiáng)度,于是可以得到系統(tǒng)(2)被控制后的方程為

圖9(a)給出了系統(tǒng)(7)在L∈(0,1)下的分支圖,這里參數(shù)固定:F=1,D=1,δ=0.5,δ1=0.05,δ2=0.1,δ3=0.2,ω=1,r1=0.01,r2=0.001,r=1.1.從圖中可以看到帶有2,3周期窗口和5周期窗口的混沌區(qū)域,系統(tǒng)從L=0開始時(shí)仍處于混沌狀態(tài).在L=0.410 82附近,系統(tǒng)發(fā)生逆倍周期分支,狀態(tài)由原先的混沌態(tài)開始轉(zhuǎn)化為周期狀態(tài).分支變量L對(duì)系統(tǒng)的混沌產(chǎn)生了抑制.圖9(b)(c)(d)給出了系統(tǒng)在不同分支變量L下的相圖:(b)L=0.01,混沌狀態(tài);(c)L=0.3,周期-3軌道;(d)L=0.8,周期-1軌道.通過(guò)圖9可以很好的找到合適的控制參數(shù).

圖9 (a)系統(tǒng)(7)對(duì)分支變量L∈(0,1)的分支圖.(b)(c)(d)系統(tǒng)(7)在不同分支變量L下的相圖Fig.9 (a)Bifurcation diagram of the system(7)in L∈(0,1).(b)(c)(d)Phase portraits for three values of L in Fig.9(a)

[1] Chen G R,Ueta T.Yet Another Chaotic Attractor[J].Int J Bifurcation and Chaos,1999,9(7):1465-1466.

[2] Qi G Y,Chen G R,Du S Z,Chen ZQ,Yuan Z Z.Analysis of A New Chaotic System[J].Physic A,2005,352(2-4):295-308.

[3] 李繼彬.混沌與Melnikov方法[M].重慶:重慶大學(xué)出版社,1989.

[4] 王樹禾.微分方程模型與混沌[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1999.

[5] 劉增榮.混沌的微擾判據(jù)[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?1995.

[6] 張莉,俞建寧,李陽(yáng),等.Van der Pol-Duffing振子的混沌及控制[J].溫州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,28:11-14.

[7] 褚衍東,李險(xiǎn)峰,張建剛.Van der Pol-Duffing耦合系統(tǒng)的分岔與混沌控制[J].江南大學(xué)學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,6:119-123.

[8] 石艷香,白定勇,陶為俊.一類Josephson系統(tǒng)的混沌及其控制[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,5:8-12.

Complex Dynamics and Chaos Control in Coronary Artery System

SHI Yan-xiang1,2,LIU Gui-rong1,BA IDing-yong2
(1.School of Mathematica l Sciences,Shanxi University,Taiyuan030006,China;2.School of Mathematics and Information Sciences,Guangzhou University,Guangzhou510006,China)

N-type and S-type,two types of coronary artery system are investigated.Applying Melnikov method,the threshold conditions for the occurrence of Smale horse chaos of the two types are obtained respectively.By numerical simulation,not only the correctness of theoretical analysis is proven but also the ideal graphics and mo re new bifurcation of the comp lex dynamic behavior are show n.Numerical simulations,including phase diagram,potential diagram s,homoclinic bifurcation curve diagram s and bifurcation diagram s,are used to investigate the dynamic characteristics,the complexity and the nonlinear dynamics characteristic of the two system s,and to reveal bifurcation form s and the road leading to chaotic motion.Finally the chaotic states of motion are effectively controlled.

Melnikov method;chaos;bifurcation;chaos control

O322;O175

A

0253-2395(2011)01-0014-07＊

2010-08-05;

2010-11-09

數(shù)學(xué)天元青年基金(10826080);山西省青年科技研究基金(2009021001-1);廣東省自然科學(xué)基金博士科研啟

動(dòng)項(xiàng)目(9451009101003172);廣州市教育局市屬高校科技項(xiàng)目(08C015);高校博士點(diǎn)資助課題(20061078002)

石艷香(1979-),女,山西陽(yáng)泉人,講師,在讀博士,主要研究方向:微分方程理論及其應(yīng)用.E-mail:hongyu1979321@163.com

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