邊耦合量子點(diǎn)系統(tǒng)的全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)研究

黃連軍，薛海斌

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006）

邊耦合量子點(diǎn)系統(tǒng)的全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)研究

黃連軍，薛海斌＊

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006）

基于有效粒子數(shù)分辨的量子主方程，研究了邊耦合雙量子點(diǎn)系統(tǒng)中電子的全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì).當(dāng)點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度與量子點(diǎn)電極耦合強(qiáng)度的比值小于某一數(shù)值（約為1／3）時(shí)，可以觀察到超泊松噪聲，并且超泊松散粒噪聲可以用快慢輸運(yùn)通道解釋.此外，系統(tǒng)量子相干性對(duì)電子全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)的影響只有在點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度相對(duì)于量子點(diǎn)電極耦合強(qiáng)度較弱時(shí)起主要作用.

雙量子點(diǎn)；全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)；超泊松噪聲

0 引言

量子點(diǎn)系統(tǒng)作為介觀物理的重要分支在實(shí)驗(yàn)和理論上被人們廣泛的研究［1－5］.單量子點(diǎn)因其電荷的量子化和能級(jí)的分立性被人們稱為“人造原子”［6］，因而耦合的雙量子點(diǎn)可以稱之為“人造分子”.依據(jù)雙量子點(diǎn)系統(tǒng)與電極的不同耦合方式可以將它們分為三類：串聯(lián)、并聯(lián)和T型.與串聯(lián)和并聯(lián)耦合的雙量子點(diǎn)系統(tǒng)相比，邊耦合雙量子點(diǎn)系統(tǒng)（T型雙量子點(diǎn)系統(tǒng)）的輸運(yùn)特性，尤其是噪聲特性的研究相對(duì)比較少［7－8］.在T型雙量子點(diǎn)系統(tǒng)中，存在兩條產(chǎn)生Fano干涉的電子隧穿路徑：（a）直接通過與電極耦合的中間量子點(diǎn)；（b）先隧穿到中間量子點(diǎn)，再隧穿到邊耦合的量子點(diǎn)，然后再隧穿到中間量子點(diǎn)，最后隧穿出去.這就意味著此系統(tǒng)存在比較強(qiáng)的電子關(guān)聯(lián)和相干效應(yīng)，因而電子的自旋將不能忽略，而以前對(duì)此系統(tǒng)的噪聲研究卻忽略了電子自旋［7］.另一方面，電子通過耦合雙量子點(diǎn)系統(tǒng)的全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)可以完全描述系統(tǒng)的輸運(yùn)特性，因?yàn)樗峁┝说絫時(shí)刻為止有n個(gè)電子隧穿過系統(tǒng)到達(dá)收集電極的幾率分布P（n，t）的所有信息［9］.在實(shí)際的計(jì)算中，我們并不直接求解幾率分布P（n，t），而是采用累積矩生成函數(shù)的方法，其在數(shù)學(xué)上定義為［10］：

其中，χ為計(jì)數(shù)場.電流所有階的累積矩都可以通過對(duì)累積矩生成函數(shù)求關(guān)于χ的微分得到，即Ck＝－（－i?／?χ）k F（χ）｜χ→0.在長時(shí)間極限下，前三階的累積矩直接聯(lián)系到系統(tǒng)的平均電流，零頻散粒噪聲以及偏斜度等輸運(yùn)特性.在本文中，我們將基于有效粒子數(shù)分辨的量子主方程方法研究電子通過T型雙量子點(diǎn)系統(tǒng)的全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)，討論系統(tǒng)的量子相干性（即約化密度矩陣的非對(duì)角元）和點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度對(duì)電流噪聲特性的影響.

1 理論模型與方法

考慮的理論模型如圖1（P228）所示，在垂直耦合的雙量子點(diǎn)系統(tǒng)中，只有量子點(diǎn)1與金屬電極L和R耦合，整個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量為：H dot是量子點(diǎn)系統(tǒng)的哈密頓量，這里我們只討論量子點(diǎn)內(nèi)庫侖相互作用無窮大的情形，即量子點(diǎn)內(nèi)的雙占據(jù)被禁止，但點(diǎn)間庫侖相互作用為有限值，因而其哈密頓量可以表示為：

圖1 系統(tǒng)的理論模型Fig.1 Theoretical model of the system

在本文中，我們通過粒子數(shù)分辨的量子主方程計(jì)算電子通過此系統(tǒng)的全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì).在二階玻恩近似和馬爾科夫近似下，系統(tǒng)粒子數(shù)分辨的量子主方程可以寫成［11］：

這里L(fēng)χ的具體形式可以通過對(duì)方程（4）的矩陣元作分離傅里葉變換得到.在低頻極限下，計(jì)數(shù)時(shí)間（即測量時(shí)間）遠(yuǎn)大于電子通過系統(tǒng)的隧穿時(shí)間.此時(shí)，可以證明F（χ）有如下的形式：

其中，λ1（χ）是Lχ的本征值，且滿足當(dāng)χ→0時(shí)，它趨于零.依據(jù)累積矩的定義我們可將λ1（χ）寫成：

2 數(shù)值結(jié)果與討論

在下面的數(shù)值計(jì)算中，根據(jù)典型的實(shí)驗(yàn)條件，我們選取毫電子伏（me V）為能量單位，并且假設(shè)偏壓對(duì)稱地加到量子點(diǎn)1與電極的隧穿結(jié)上 即μLμR為方便討論 我們假設(shè)量子點(diǎn)1與左右電極的耦合強(qiáng)度相同，且兩個(gè)量子點(diǎn)的電子能量相同即ε1＝ε2＝1.其它參數(shù)選取為：點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度J＝0.001，點(diǎn)間庫侖相互作用U12＝5，溫度k B T＝0.1.我們首先分析電子自旋在輸運(yùn)過程中的作用.如果不考慮自旋，系統(tǒng)的哈密頓量可以簡化為［7］：

圖2 平均電流，散粒噪聲，偏斜度在量子點(diǎn)1與左右電極不同耦合情況下隨偏壓的變化，這里考慮約化密度矩陣的非對(duì)角元.（a），（b），（c）為不考慮自旋的情況；（d），（e），（f）考慮自旋的情況.參數(shù)選取如下：ε1＝ε2＝1，U 12＝5，J＝0.001，k BT＝0.1Fig.2 Average current，shot noise and skewness versus bias voltage for different coupling of quantum－dot－1 with two electrodes，where we consider the off－diagonal elements of the reduced density matrix.（a），（b），（c）for the spinless Hamiltonian；（d），（e），（f）for the spin Hamiltonian.The parameters：ε1＝ε2＝1，U 12＝5，J＝0.001，k BT＝0.1.

圖2給出了不考慮自旋和考慮自旋兩種情況下，電子通過系統(tǒng)的平均電流，散粒噪聲以及偏斜度，這里考慮了系統(tǒng)約化密度矩陣的非對(duì)角元.由圖2（a）和（d）可以看出，對(duì)于相同的外界條件（量子點(diǎn)1與左右電極耦合強(qiáng)度相同），考慮自旋的情形，平均電流要比不考慮自旋時(shí)大.此特性可以由系統(tǒng)本征態(tài)的幾率變化來解釋.在考慮自旋和不考慮自旋的情形下，系統(tǒng)的通道電流可以分別寫成［12］：

圖3 平均電流，散粒噪聲，偏斜度在量子點(diǎn)1與左右電極不同耦合情況下隨偏壓的變化，這里僅考慮約化密度矩陣的對(duì)角元.（a）（b）（c）為不考慮自旋的情況；（d）（e）（f）考慮自旋的情況.其它參數(shù)選取與圖2相同.Fig.3 Average current，shot noise and skewness versus bias voltage for different coupling of Quantum－dot－1 with two electrodes，where we only consider the diagonal elements of the reduced density matrix.（a），（b），（c）for the spinless Hamiltonian；（d），（e），（f）for the spin Hamiltonian.The parameters are the same as in Fig.2.

圖4 平均電流，散粒噪聲，偏斜度在不同點(diǎn)間隧穿耦合情況下隨偏壓的變化，其中量子點(diǎn)1與左右電極的耦合強(qiáng)度不變Fig.4 Average current，shot noise and skewness versus bias voltage for different inter－dot hopping coupling at fixed coupling of Quantum－dot－1 with two electrodes.

單占據(jù)態(tài)和空占據(jù)態(tài)的幾率分布均為1／5（此時(shí)有5個(gè)本征態(tài)在偏壓窗口）.由方程（10）可知其電流I1／Γ＝2／5.對(duì)于第二臺(tái)階，所有的n－R＝1，且系統(tǒng)每個(gè)本征態(tài)的幾率分布均為1／9（此時(shí)所有的9個(gè)本征態(tài)都在偏壓窗口），由方程（10）可知此時(shí)電流I2／Γ＝2／3.對(duì)于不考慮自旋的情況，同樣的分析可知，對(duì)于第一個(gè)和第二個(gè)電流臺(tái)階，由方程（11）可知它們的電流分別為I1／Γ＝1／3和I2／Γ＝1／2.所以，考慮自旋時(shí)平均電流比較大.同樣，考慮自旋時(shí)其散粒噪聲和偏斜度要比不考慮自旋時(shí)大很多，尤其當(dāng)量子點(diǎn)1與電極耦合強(qiáng)度大于點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度時(shí)，此效應(yīng)將非常明顯，見圖2（b）和（e），（c）和（f）中的點(diǎn)線和點(diǎn)劃線.由此可見，對(duì)于存在較強(qiáng)電子關(guān)聯(lián)和相干效應(yīng)的邊耦合雙量子點(diǎn)系統(tǒng)，電子自旋不能忽略.下面我們分別討論系統(tǒng)的量子相干性在點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度較弱和較強(qiáng)時(shí)對(duì)電子輸運(yùn)特性的影響，這里點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度的強(qiáng)弱是相對(duì)于量子點(diǎn)1與左右電極耦合強(qiáng)度而言.

圖5 平均電流，散粒噪聲，偏斜度在考慮與不考慮約化密度矩陣非對(duì)角元兩種情況下隨偏壓的變化，其中量子點(diǎn)1與左右電極的耦合強(qiáng)度不變.（a）（b）（c）為；J＝0.02；（d）（e）（f）為J＝0.05.Fig.5 Average current，shot noise and skewness versus bias voltage in the present of off－diagonal elements and in the absence of off－diagonal elements at fixed coupling of Quantum－dot－1 with two electrodes.（a），（b），（c）J＝0.02；（d），（e），（f）J＝0.05.

當(dāng)點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí)，從左電極（源極）隧穿到量子點(diǎn)1的電子直接隧穿出系統(tǒng)到達(dá)右電極（漏極）之前，電子可以在量子點(diǎn)1和量子點(diǎn)2之間來回隧穿，這意味著電子的兩條隧穿路徑幾乎等效.此時(shí)，這兩條電子隧穿通道不能形成有效快慢輸運(yùn)通道，因而在點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí)觀察不到超泊松噪聲，例如圖2（e）和（f）中的虛線，以及圖5（b）和（e），（c）和（f）所示.另外，由圖5可知，隨著點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度的增強(qiáng)，約化密度矩陣非對(duì)角元對(duì)電子全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)的影響逐漸減小，即量子相干效應(yīng)隨著點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度的增強(qiáng)不斷減弱，如圖5（b）和（c），（e）和（f）中的實(shí)線和虛線所示，其物理解釋同樣是由于電子在兩個(gè)量子點(diǎn)之間快速來回隧穿引起的兩條隧穿路徑幾乎等效.

3 結(jié)論

基于粒子數(shù)分辨的量子主方程，我們研究了電子通過邊耦合雙量子點(diǎn)系統(tǒng)的全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì).數(shù)值結(jié)果證明：研究電子通過邊耦合雙量子點(diǎn)系統(tǒng)的輸運(yùn)特性時(shí)必須考慮電子自旋.當(dāng)點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度相對(duì)于量子點(diǎn)1與左右電極的耦合強(qiáng)度較弱時(shí)，噪聲特性主要由電子兩條隧穿路徑之間的相干效應(yīng)決定，即系統(tǒng)約化密度矩陣的非對(duì)角元起主要作用，并且當(dāng)它們的比值t／Γ小于某一數(shù)值（約為1／3）時(shí)，我們觀察到超泊松噪聲，這一特性可以用快慢輸運(yùn)通道解釋.當(dāng)點(diǎn)間隧穿耦合強(qiáng)度較強(qiáng)時(shí)，隨著其強(qiáng)度的增強(qiáng)，量子相干效應(yīng)對(duì)電子全計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)的影響逐漸減弱，即約化密度矩陣的對(duì)角元將起主要作用，此時(shí)沒有觀察到超泊松噪聲.

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Full Counting Statistics in Side－coupled Double Quantum Dot

HUANG Lian－jun，XUE Hai－bin
（InstituteofTheoreticalPhysics，ShanxiUniversity，Taiyuan030006，China）

The full counting statistics（FCS）of electron transport through side－coupled quantum dot is studied based on an efficient particle－number－resolved master equation.Super－Poissonian noise is observed when the ratio between the inter－dot hopping coupling and dot－lead coupling is smaller than a certain value（about 1／3），and can be used to underst and the mechanism of effective fast and slow transport channels.Moreover，the effect of the quantum coherence of the system on the FCS plays an important role in the weak inter-dot hopping coupling regime，which depends on the corresponding dot－lead coupling.

double quantum dot；full counting statistics；super－poissonian noise

O413

A

0253－2395（2011）02－0227－06＊

2010－10－11；

2010－11－19

山西省研究生優(yōu)秀創(chuàng)新項(xiàng)目（20103001）；國家自然科學(xué)基金（10774094；10974124）

黃連軍（1984－），男，山西懷仁人，碩士生，主要從事量子點(diǎn)的電流噪聲研究.＊通訊聯(lián)系人：E－mail：xhb98326110＠163.com

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