一類二階兩點邊值問題正解的存在性

高小麗，王小軍，王瑞娜

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

一類二階兩點邊值問題正解的存在性

高小麗，王小軍，王瑞娜

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

討論了一類二階兩點邊值問題正解的存在性，利用Leggett-Williams三解定理得到該邊值問題至少存在三個正解.

Leggett-Williams三解定理；二階兩點邊值問題；錐

0 引言

在這篇文章中，我們討論下列二階兩點邊值問題：

（H1）存在a＞0，使得f（x）＜8a／5，x∈［0，a］；

（H2）存在b＞a，使得f（x）＞2b，x∈［b，3b］；

（H3）存在c＞3b，使得f（x）≤8c／5，x∈［0，c］.

常微分方程邊值問題正解的存在性，是一個非常重要的課題.由于在實際問題中應(yīng)用廣泛，對諸多領(lǐng)域的發(fā)展產(chǎn)生重大的意義.許多學(xué)者已經(jīng)在這方面進行了廣泛而深刻的研究，比如文獻［1］研究了二階Dirichlet邊值問題的多重對稱正解的存在性，文獻［2］研究了帶兩個參數(shù)的四階邊值問題正解的存在性.文獻［3］研究了一類三點邊值問題的正解的存在性.受文獻［1-2，4］的啟發(fā)，我們來研究問題（1）.

利用Leggett-Williams三解定理，我們得到下面的定理：

定理1 若（H1）-（H3）成立，則問題（1）至少存在三個正解.

本文結(jié)構(gòu)組織如下：在第一部分，我們給出一些基本概念，Leggett-Williams三解定理，以及一些引理.在第二部分，我們給出重要結(jié)果的證明.

1 相關(guān)概念及引理

定義1［5］設(shè)E是實Banach空間.如果P是E中的非空凸閉集，并且滿足下面兩個條件：

（i）任給u∈P，λ≥0，有λu∈P；

（ii）若u∈P且-u∈P，有u＝0.

則稱P為E中的一個錐.

給定E中一個錐P后，則可在E中的元素間引入半序：x≤y（x，y∈E），如果y-x∈P.定義2［6］映射α稱為錐P上的一個非負連續(xù)凹泛函，如果α∶P→［0，∞）連續(xù)，且

2 定理證明

所以，由Leggett-Williams三解定理，A至少有三個不動點u1，u2，u3，且滿足（2）式，顯然它們是問題（1）的正解.因此，邊值問題（1）至少存在三個正解.

［1］ Henderson J，Thompson H B.Multiple Symmetric Positive Solutions for a Second Order Boundary Value Problem［J］.ProcAmerMathSoc，2000，128：2373-2379.

［2］ Li Y.Positive Solutions of Fourth-order Boundary Value Problems with two Parameters［J］.JMathAnalAppl，2003，281：477-484.

［3］ Anderson D.Multiple Positive Solutions for a Three-point Boundary Value Problem［J］.MathComputModelling，1998，27：49-57.

［4］ Leggett R，Williams L.Multiple Positive Fixed Points of Nonlinear Operators on Ordered Banach Spaces［J］.Indiana UnivMathJ，1979，28：673-688.

［5］ 郭大鈞.非線性泛函分析［M］.2版.濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

［6］ Guo D，Lakshmikantham V.Nonlinear Problems in Abstract Cones［M］.Boston：Academic Press，1988.

Existence of Positive Solutions for a Class of Second-order two Point Boundary Value Problem

GAO Xiao-li，WANG Xiao-jun，WANG Rui-na
（SchoolofMathematicalSciences，ShanxiUniversity，Taiyuan030006，China）

The existence of positive solutions for the second-order two point boundary value problem was studied，and by using Leggett-Williams’theorem，we prove that there exist at least three positive solutions.

Leggett-Williams’theorem；second-order two point boundary value problem；cone

O175.14；O177.91

A

0253-2395（2011）S2-0006-03

2011-08-17

高小麗（1986-），女，山西洪洞人，在讀碩士，主要從事非線性泛函分析與非線性微分方程研究.E-mail：gaoxiaoli86＠163.com