一個(gè)涉及無理式的不等式

羅 釗,王挽瀾,姚 勇

(1.成都大學(xué)圖書館,四川成都 610106;2.成都大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川成都 610106; 3.中國科學(xué)院成都計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究所,四川成都 610041)

我們在文獻(xiàn)[1]中發(fā)現(xiàn)一個(gè)頗為有趣的命題及其證明:

命題 如果 ai≥0,i=1,2,…,n,則,

這里,an+1= a1.

在文獻(xiàn)[2]中,我們將其作為例子引用.然而,當(dāng)本文第二作者擬給出另一證明時(shí),發(fā)現(xiàn)若想小改動(dòng)而保留證明,則應(yīng)修改條件ai≥0為ai≥1.當(dāng)拙見通知一些朋友時(shí),我們之間展開了一番有效的研討.其結(jié)論是,就盡可能完美而言,宜于進(jìn)而考究等式條件并將論證修補(bǔ)如下.

定理1 如果 ai＞0,i=1,…,n,那么不等式(1)成立,等式條件為,ai+1+ai= ai+1ai,ai≥1,i =1,…,n.

可得,

情況1 當(dāng) ai≥1時(shí),則,

情況2 當(dāng)0＜ai＜1時(shí),即a-i1＞1,也即2a-i1＞2,則,

基于上面兩種情況的考究,不等式(1)成立.

第二證明 為了清楚與方便,我們依然將其分為兩種情況論述.

所以,

所以,

綜上,不等式(1)成立.

注釋1 相關(guān)的,我們可考究x,y＞1時(shí),方程x+y=xy的解集.換言之,上面問題等價(jià)于考究X-Y平面上第一象限的單位正方形區(qū)域,S1:= {(x,y)||x|≤1;|y|≤1}之外,是否存在區(qū)域, S:={(x,y)|x＞1,y＞1,x+y=xy}.就幾何意義言之,如果存在這樣的點(diǎn)集,則它正好是平面,z =x+y,與馬鞍面,z=xy,的空間交線雙曲線的一部分,該部分在 X-Y平面上的投影是完全在第一象限內(nèi)的那一支(如圖1,漸近線 x=1的右邊的實(shí)曲線).

圖1 雙曲線在 X·-Y平面投影

綜上,使得不等式(2)取等號(hào)的,ai≥1,i=1,…,n,是雙曲線之右支實(shí)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo),即(ai, ai+1)或(ai+1,ai),這里,ai≥1,i=1,…,n.值得注意的是,這種等式條件是頗有趣的一種!

注釋2 雖然第二證明并不簡明于第一證明,但三角代換帶來的變形還是頗為有趣的.或許這正是當(dāng)初文獻(xiàn)[1]采用此方法的緣由.此外,通過嘗試,使用其他有別于上述的三角代換依然奏效!

定理2 如果,ai＞0,i=1,…,n,且p≥2,那么成立不等式,

這里,an+1= a1.

事實(shí)上,使用上述幾乎為平行的敘述可以論證不等式(3).

[1]王向東,蘇化明,王方權(quán).不等式·理論·方法[M].鄭州:河南教育出版社,1994.

[2]王挽瀾.建立不等式的方法[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2011.