可微C0－半群的譜

趙華新

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

可微C0－半群的譜

趙華新

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

利用可微C0－半群的若干性質(zhì)給出了可微C0－半群｛T（t）：t≥0｝的生成元A的譜與AT（t）的譜之間的關(guān)系.

C0－半群；可微；譜；點(diǎn)譜；剩余譜

在經(jīng)典的算子半群理論中，譜映射定理是其非常重要的組成部分.文獻(xiàn)［1］討論了C0－半群的譜與其生成元的譜之間的關(guān)系，特別闡述了C0－半群的點(diǎn)譜、連續(xù)譜、剩余譜與其生成元的點(diǎn)譜、連續(xù)譜、剩余譜之間的關(guān)系，得到了非常完美的結(jié)果.本研究在此基礎(chǔ)上，討論了可微C0－半群譜與其生成元的譜之間的關(guān)系，對(duì)它們的點(diǎn)譜、剩余譜之間的關(guān)系做了初步探討.

本研究假設(shè)X為Banach空間，ρ（A），σ（A），σp（A），σr（A）分別表示算子A的預(yù)解集、譜集、點(diǎn)譜集、剩余譜集，R（A）表示A的值域.

定義［1］｛T（t）：t≥0｝為Banach空間X上的C0－半群，若對(duì)任意x∈X，t→T（t）x作為t的函數(shù)，當(dāng)t＞t0時(shí)關(guān)于t可微，則稱C0－半群｛T（t）：t≥0｝當(dāng)t＞t0是可微的；若C0－半群｛T（t）：t≥0｝當(dāng)t＞0時(shí)是可微的，則稱C0－半群｛T（t）：t≥0｝是可微的.

引理1［1］設(shè)｛T（t）：t≥0｝為一C0－半群，其無窮小生成元為A，則有σ（T（t））?etσ（A）.

引理2［2］設(shè)｛T（t）：t≥0｝為一C0－半群，其無窮小生成元為A，如果｛T（t）：t≥0｝當(dāng)t＞t0時(shí)是可微的，則對(duì)任意λ∈σ（A），當(dāng)t＞t0時(shí)，有λeλt∈σ（AT（t）），即σ（AT（t））?λetσ（A）.

引理3［1］設(shè)C0－半群｛T（t）：t≥0｝當(dāng)t＞t0時(shí)是可微的，其無窮小生成元為A，則對(duì)于t＞nt0，T（t）：X→D（A），T（n）（t）＝AnT（t），n＝1，2，…為有界線性算子.

注意到（eλt）′＝λeλt，比較引理1，引理2，考慮到引理3所給出的可微C0－半群的性質(zhì)，猜想：對(duì)于可微C0－半群，當(dāng)λ∈σ（A）時(shí)，（eλt）″＝λ2eλt是否屬于T″（t）＝A2T（t）的譜集，即是否成立

對(duì)此，本研究有如下定理.

定理1 設(shè)｛T（t）：t≥0｝為一C0－半群，其無窮小生成元為A，如果｛T（t）：t≥0｝當(dāng)t＞t0是可微的，則對(duì)任意λ∈σ（A），當(dāng)t＞2t0時(shí)，有λ2eλt∈σ（A2T（t）），即

關(guān)于t是可微的，且有（Bλ（t）x）′＝T（t）x＋λBλ（t）x，由此可見，Bλ（t）為X上的有界線性算子.

令h→0＋，則上式右端趨于λBλ（t）x＋T（t）xeλtx，由無窮小生成元的定義知x∈D（A），且

令C（t）x＝λ2eλtx－A2T（t）x，則C（t）為有界線性算子.設(shè)λ∈σ（A），若λ2eλt∈ρ（A2T（t）），則C（t）可逆，且由式（2）可知有

同時(shí)，由于C（t）與T（s）可交換，從而C（t）與Bλ（t）可交換，進(jìn)而可以驗(yàn)證C（t）與 （AT（t）＋λB′λ（t））可交換.

這表明（AT（t）＋λB′λ（t））C－1（t）是（λ－A）的左逆元.所以有λ∈ρ（A），矛盾.從而當(dāng)λ∈σ（A）時(shí)，必有λ2eλt∈σ（A2T（t）），即σ（A2T（t））?λ2etσ（A）.

推論1 設(shè)｛T（t）：t≥0｝為一C0－半群，其無窮小生成元為A，如果｛T（t）：t≥0｝當(dāng)t＞t0時(shí)是可微的，則對(duì)任意λ∈σ（A），當(dāng)t＞nt0時(shí)，有λneλt∈σ（AnT（t）），n＝1，2，…，即

推論1的證明與定理1的證明類似.

下面討論對(duì)于可微C0－半群｛T（t）：t≥0｝，AT（t）的點(diǎn)譜、剩余譜與其生成元A的點(diǎn)譜、剩余譜之間的關(guān)系，得到如下結(jié)論.

定理2 設(shè)｛T（t）：t≥0｝為一C0－半群，其無窮小生成元為A，如果｛T（t）：t≥0｝當(dāng)t＞t0是可微的，則對(duì)任意λ∈σ（A），當(dāng)t＞t0時(shí)，有λeλt∈σp（AT（t）），即

再利用式（1）可得

推論2 設(shè)｛T（t）：t≥0｝為一C0－半群，其無窮小生成元為A，如果｛T（t）：t≥0｝當(dāng)t＞t0是可微的，則對(duì)任意λ∈σ（A），當(dāng)t＞nt0時(shí)，有

推論2的證明與定理2的證明類似.

定理3 設(shè)｛T（t）：t≥0｝為一C0－半群，其無窮小生成元為A，如果｛T（t）：t≥0｝當(dāng)t＞t0時(shí)是可微的，則對(duì)于λeλt∈σp（AT（t）），當(dāng)t＞t0時(shí)，存在自然數(shù)k，使得

證明 設(shè)λeλt∈σp（AT（t）），則存在x0≠0，使得（λeλt－AT（t））x0≠0.f（s）＝λe－λsAT（s）x0作為s的函數(shù)不恒為零，將f（s）以t為周期進(jìn)行奇式或偶式延拓，其Fourier系數(shù)必有一個(gè)不為零.從而存在自然數(shù)k，使得

令‖T（t）‖≤Meωt，則當(dāng)Reμ＞ω時(shí)，利用A的閉性可得

定理4 設(shè)｛T（t）：t≥0｝為一C0－半群，其無窮小生成元為A，如果｛T（t）：t≥0｝當(dāng)t＞t0是可微的，則對(duì)任意λ∈σr（A），當(dāng)t＞2t0時(shí)，有λeλt∈σr（AT（t）），即有

推論3 設(shè)｛T（t）：t≥0｝為一C0－半群，其無窮小生成元為A，如果｛T（t）：t≥0｝當(dāng)t＞t0時(shí)是可微的，則對(duì)任意λ∈σr（A），當(dāng)t＞nt0時(shí)，有λneλt∈σr（AnT（t）），即有

推論3的證明類似于定理4的證明.

利用本研究方法有可能對(duì)n次積分C半群的譜映射定理［3］以及α次積分C半群的譜映射定理［4］做進(jìn)一步研究.

［1］ Pazy J H.Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations［M］.New York：Spring－Verlag，1983.

［2］ 周鴻興，王連文.線性算子半群理論及應(yīng)用［M］.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1994.

［3］ 秦喜梅.n次積分C半群的譜映射定理［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，31（1）：16－19.

［4］ 楊雯雯，趙華新.α次積分C半群的譜映射定理［J］.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，35（3）：462－467.

Spectrum of differentiableC0－semigroups

ZHAOHuaxin
（College of Mathematics and Computer Science，Yan’an University，Yan’an 716000，Shaanxi Province，China）

By using the properties of differentiableC0－semigroups，the relationships between the spectrum of infinitesimal generatorsAofC0－semigroups｛T（t）：t≥0｝and the spectrum ofAT（t）are discussed.

C0－semigroups；differentiable；spectrum；point spectrum；residual spectrum

O177.31

A

1671－1114（2011）01－0029－02

2010－04－06

陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目（08JK497）

趙華新（1964—），男，教授，碩士，主要從事應(yīng)用泛函分析方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光）