連續(xù)控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)

一、連續(xù)控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的概述

控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)有兩種方法:古典控制理論設(shè)計(jì)方法和現(xiàn)代控制理論設(shè)計(jì)方法。MATLAB對(duì)兩種方法都提供了相應(yīng)的支持，并且可以方便的相互轉(zhuǎn)換。對(duì)于一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)，我們可以設(shè)計(jì)許多不同的模型。本篇論文主要研究論述連續(xù)控制系統(tǒng)的相關(guān)問題。連續(xù)控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)關(guān)鍵在于如何建立數(shù)學(xué)模型 。

1、控制系統(tǒng)的時(shí)域模型

其中，y和u分別為系統(tǒng)的輸入與輸出，ai與bi分別表示輸入和輸出各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)。

2、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型:

傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論描述系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種方法，它表達(dá)了系統(tǒng)輸入量和輸出量之間的關(guān)系。它只和系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、特性和參數(shù)有關(guān)，而與輸入量的變化無關(guān)。

對(duì)于一個(gè)SISO連續(xù)系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

3、控制系統(tǒng)模型的建立

如果要分析一個(gè)系統(tǒng)，首先需要建立系統(tǒng)模型。

parallel()函數(shù)是系統(tǒng)的并聯(lián)連接。此函數(shù)按并聯(lián)方式連接兩個(gè)狀態(tài)空間系統(tǒng)，適合連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)。serise()函數(shù)的功能是系統(tǒng)的串聯(lián)連接。feedback()函數(shù)的功能是把兩個(gè)系統(tǒng)的反饋連接。

4、控制系統(tǒng)的模型轉(zhuǎn)換

MATLAB為我們提供了十分簡單的模型轉(zhuǎn)換方式。函數(shù)tf，zpk，ss不僅用于系統(tǒng)模型的建立，也可用于模型形式之間的轉(zhuǎn)換。

二、連續(xù)控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的編程

1、連續(xù)控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

線性系統(tǒng)的時(shí)域分析是主要分析系統(tǒng)在給定的典型輸入信號(hào)作用下，在時(shí)域的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)，通常使輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)或單位脈沖函數(shù)，由此求得系統(tǒng)的輸出響應(yīng)即控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(step)和單位脈沖響應(yīng)(impulse)。

1.1 MATLAB中使用initial命令來計(jì)算和顯示連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。

[y，x，t]=initial(a，b，c，d，x0)

1.2 連續(xù)控制系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為impulse，使用方法與step函數(shù)類似，

1.3 單位階躍響應(yīng)函數(shù)調(diào)用方式:[y，x，t]=step(a，b，c，d)

step函數(shù)用于在MATLAB環(huán)境下求取連續(xù)控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

1.4 連續(xù)控制系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)用lsim命令來實(shí)現(xiàn)。

lsim(sys，u，t)lsim(sys1，sys2，..，u，t)

2、閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和固有頻率

damp命令用來計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)所有共軛極點(diǎn)的阻尼系數(shù)和固有頻率。

連續(xù)控制系統(tǒng)的頻域分析

系統(tǒng)的時(shí)域分析是分析系統(tǒng)的直接方法，比較直觀，但離開計(jì)算機(jī)仿真，分析高階系統(tǒng)是困難的。

2.1頻率響應(yīng)和頻率特性

根據(jù)微分方程解的理論，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出仍然為與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)，只是其幅值和相位發(fā)生了變化。輸出幅值正比于輸入的幅值Xi，而且是輸入正弦頻率ω的函數(shù)。輸出的相位與Xi無關(guān)，只與輸入信號(hào)產(chǎn)生一個(gè)相位差 而且也是輸入信號(hào)φ的函數(shù)。即線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是:

頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊形式。任何線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性都可以由系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的s以jω代替而求的。頻率特性圖示法

在經(jīng)典控制論中，常用圖示法來描述系統(tǒng)的頻率特性，他們是:

(1) 幅相頻特性-----Nyquist圖，ω由0→表示極坐標(biāo)上的G(jω)的幅值和相角的的關(guān)系。

(2) 對(duì)數(shù)幅相特性-Bode圖有兩個(gè)圖組成:對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻設(shè)計(jì)圖。

(3) 對(duì)數(shù)幅相特性---Nichols圖，它是以ω為參變量來表示對(duì)數(shù)幅值和相角MATLAB工具箱中的函數(shù)可以輕松實(shí)現(xiàn)繪制。

2.2控制系統(tǒng)Bode圖的繪制

Bode圖，即對(duì)數(shù)頻率特性通過兩張圖——幅頻特性圖及相頻特性圖來表達(dá)頻率響應(yīng)，其中幅頻特性圖的縱坐標(biāo)是幅頻特性的的對(duì)數(shù)20log，單位是分貝(dB)，采用線性分度;橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)分度的角頻率ω。相頻特性圖的縱坐標(biāo)以度為單位的頻率響應(yīng)的相移，采用線性分度;橫坐標(biāo)與幅頻特性圖中的橫坐標(biāo)相同。

函數(shù)BODE可用于任意LTI系統(tǒng)，即單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)，多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，離散時(shí)間系統(tǒng)。本節(jié)就連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行分析。

用函數(shù)BODE繪制系統(tǒng)的Bode圖時(shí)，頻率范圍將根據(jù)系統(tǒng)零極點(diǎn)自動(dòng)確定。

Bode(sys，ω) 是根據(jù)給定的頻率范圍ω繪制系統(tǒng)sys的頻率特性曲線。

Bode(sys1 ，…，sysN，ω)用于在給定的頻率范圍ω繪制多個(gè)系統(tǒng)頻率特性曲線。

2.3控制系統(tǒng)Nyquist圖的繪制

Nyquist的軌跡即為頻率特性。

頻率特性G(jω)是頻率ω的復(fù)變函數(shù)，可以在復(fù)平面上用一個(gè)矢量來表示。該矢量的幅值A(chǔ)(ω)=|G(jω)|，相角=。當(dāng)頻率ω從0變化時(shí)，G(jω)通過其幅頻特性及相頻特性表示在極坐標(biāo)中的圖形，稱為Nyquist圖。

Nyquist(sys);Nyquist(sys，ω);

MATLAB中，頻率范圍ω可由兩個(gè)函數(shù)給定:logspace(ω1，ω2，N)產(chǎn)生頻率在 ω1和ω2之間N個(gè)對(duì)數(shù)分布頻率點(diǎn);linspace(ω1，ω2，N)產(chǎn)生頻率在ω1和ω2之間N個(gè)線性分布的頻率點(diǎn);N可以缺省。

2.4控制系統(tǒng)Nichols圖的繪制

Nichols圖，即對(duì)數(shù)幅相圖采用直角坐標(biāo)系，其中取幅頻特性|G(jω)|的對(duì)數(shù)20log|G(jω)|為縱坐標(biāo)，單位為dB，線性分度;取相頻特性 做橫坐標(biāo)，單位為度，線性分度。

Nichols(sys) Nichols(sys， ω)

函數(shù)nichols(sys)用于計(jì)算LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)并繪制Nichols圖，分析系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)特性。

幅值裕度和相角裕度

在頻域分析中，幅值裕度和相角裕度是反映系統(tǒng)的性能指標(biāo)。MATLAB提供了得出幅值裕度和相角裕度的命令margin。

margin(G) [Gm，Pm，Wcg，Wcp]=margin(G)

2.5 連續(xù)控制系統(tǒng)的根軌跡設(shè)計(jì)

經(jīng)典控制系統(tǒng)經(jīng)常用傳遞函數(shù)來描述，系統(tǒng)設(shè)計(jì)往往借助于系統(tǒng)頻率特性，根軌跡法是最常用的方法。本節(jié)將就連續(xù)控制系統(tǒng)的根軌跡方程，根軌跡圖的繪制以及根軌跡在MATALAB中的實(shí)現(xiàn)來分析連續(xù)控制系統(tǒng)的根軌跡設(shè)計(jì)。

2.5.1根軌跡方程

控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)定性都是由閉環(huán)極點(diǎn)來決定的。因此在分析系統(tǒng)時(shí)，需要確定閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上的分布，而在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，則希望按性能指標(biāo)要求將系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)置在S平面的期望位置上。

根軌跡的一般定義是:當(dāng)系統(tǒng)中某參數(shù)(通常指開環(huán)增益)由0時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡。

滿足根軌跡方程的所有s值必然都是系統(tǒng)可能的閉環(huán)極點(diǎn);對(duì)于每一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)都有相應(yīng)的增益值。

2.5.2 根軌跡圖的繪制

根軌跡圖描述了當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益K由0變化時(shí)，閉環(huán)特征根在S平面上移動(dòng)的軌跡。用人工逐點(diǎn)繪制，方法繁雜不適用。往往根據(jù)根軌跡的一些性質(zhì)、規(guī)則和特殊點(diǎn)進(jìn)行繪制。繪制根軌跡時(shí)，往往先要確定開環(huán)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，并在S平面上分別用 和o表示。根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止與開環(huán)零點(diǎn)。如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有(n-m)條軌跡終止于無窮遠(yuǎn)。根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸、分支數(shù)等于閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。