反平面殘余應(yīng)力作用下壓電體界面裂尖分析

摘 要：研究了在反平面殘余應(yīng)力作用下，雙相壓電體界面裂紋的裂紋尖端撕開位移COD和裂紋尖端位錯(cuò)塞積群的數(shù)量問題.運(yùn)用RiemannSchwarz解析延拓技術(shù)與復(fù)勢函數(shù)奇性主部分析方法，獲得了該問題的一般解答.數(shù)據(jù)結(jié)果表明，壓電效應(yīng)對界面裂紋尖端撕開位移和裂紋尖端位錯(cuò)塞積群的數(shù)量的影響不大，可以忽略不計(jì)，兩種材料屬性的差異對界面裂紋尖端撕開位移和裂紋尖端位錯(cuò)塞積群的數(shù)量的影響比較明顯.

關(guān)鍵詞：殘余應(yīng)力；壓電體；界面裂紋尖端撕開位移；螺型位錯(cuò)塞積群；裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子

中圖分類號：O343.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Analysis on Interfacial Crack Opening Displacement of Piezoelectric

Body under Antiplane Residual Stresses

XIAO Wanshen，ZHANG Junlan，XIEChao

(College of Mechanical and Vehicle Engineering，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China)

Abstract: Crack opening displacement and the numbers of screw dislocations distributed at the interfacial crack tips of a piezoelectric body were investigated. By using RiemannSchwarz’s symmetry principle and the singularity analysis method of complex functions， the general solutions of the problem were presented. Numeric curves show that piezoelectricity has less effect on the interfacial crack opening displacement， while the numbers of screws dislocation and biomaterial properties have obvious effect on the interfacial crack opening displacement and the numbers of screw dislocations.

Key words: residual stresses; piezoelectric body; interfacial crack opening displacement; screw dislocation pileup group; stress intensity factor at the tip of crack

壓電材料結(jié)構(gòu)中的各種缺陷，例如：孔洞、位錯(cuò)、裂紋等，會(huì)影響壓電材料的電彈耦合性能.由材質(zhì)不同的材料加工成的雙相復(fù)合材料都包含殘余應(yīng)力與應(yīng)變.文獻(xiàn)［1］研究了在無窮遠(yuǎn)反平面剪切和面內(nèi)電場共同作用下壓電材料基體中一個(gè)壓電螺型位錯(cuò)與含界面裂紋圓形彈性夾雜的電彈耦合干涉作用.文獻(xiàn)［2］研究了反平面均勻殘余應(yīng)力作用下基體包含一條界面裂紋的情況.文獻(xiàn)［3］研究了平面非均勻殘余應(yīng)力作用下基體包含一條界面裂紋的情況.文［4］進(jìn)一步研究了殘余應(yīng)力作用下同種材料微機(jī)械裂紋尖端刃型位錯(cuò)擴(kuò)展和位錯(cuò)塞積問題.文［5］運(yùn)用線性壓電理論求解了在反平面機(jī)械載荷與面內(nèi)電場耦合作用下壓電體界面裂紋與螺型位錯(cuò)之間的相互作用問題.文［6］研究了在遠(yuǎn)端均布荷載和面內(nèi)電場耦合作用下無限大壓電體中螺型位錯(cuò)與有限裂紋之間的干涉作用問題.

反平面殘余應(yīng)力與壓電性的耦合作用下界面裂紋問題至今仍無人研究.本文研究反平面殘余應(yīng)力作用下雙相壓電材料中裂紋尖端撕開位移及其所引起的裂紋尖端螺型位錯(cuò)塞積群的問題.運(yùn)用復(fù)變函數(shù)方法，求出了該問題的一般解答.作為特例，當(dāng)界面只含一條裂紋時(shí)，導(dǎo)出了反平面殘余應(yīng)力作用下雙相材料界面裂紋問題的復(fù)勢，裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子和電位移場強(qiáng)度因子，裂紋尖端撕開位移及其所引起的裂紋尖端螺型位錯(cuò)塞積群，以及位錯(cuò)塞積區(qū)等效應(yīng)力強(qiáng)度因子和電位移等效場強(qiáng)度因子的解析表達(dá)式.

1 問題描述

參考文［1］，考慮極化方向沿z軸的無限大雙相壓電復(fù)合材料，設(shè)xOy平面為橫觀各向同性平面，遠(yuǎn)端無荷載作用，在界面殘余應(yīng)力和面內(nèi)電場共同作用下，反平面位移僅與面內(nèi)電場耦合，只產(chǎn)生沿z軸方向的位移w，應(yīng)力分量τxz和τyz，電勢φ，電位移Dx和Dy，并且所有變量均為x和y的函數(shù).

反平面位移與電場耦合的本構(gòu)關(guān)系是

ΣiJ=∑3K=1MJKUK，i，J=1，2，3;i=x，y .(1)

式中:廣義應(yīng)力、剛性系數(shù)、廣義位移分別為

ΣiJ=τxz τyzDx Dy，MJK=c44 e15e15 -d11，

UK={wφ}T.

廣義位移U， 廣義應(yīng)力{Σi}={τiz Di}T可分別用復(fù)變函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)表達(dá)為:

U=Re fz ， (2)

Σx-iΣy=Mf′(z)=MF(z).(3)

考慮如下問題：如圖1所示，設(shè)壓電材料電彈性模量為M1的介質(zhì)Ⅰ占有上半平面S+，電彈性模量為M2的介質(zhì)Ⅱ占有下半平面S－.廣義殘余應(yīng)力τ=Σ0=τ0yz D0yT作用在界面裂紋從－(g+h)到－g和從g到g+h區(qū)段上，設(shè)無窮遠(yuǎn)處受力為零.約定相應(yīng)于這兩種介質(zhì)的量以下標(biāo)1和2標(biāo)記.沿實(shí)軸上有一長度為2f的絕緣裂紋L′，界面的剩余部分用L表示，rb為裂紋擴(kuò)展區(qū)的長度，在裂紋擴(kuò)展區(qū)產(chǎn)生螺型位錯(cuò)塞積，單個(gè)螺型位錯(cuò)大小用b={bw b}T表示.界面連接條件可以表示為:

Σy1=0， Σy2=0，t∈L′;(4)

Σy1=Σy2，t∈L;(5)

U1=U2，t∈L. (6)

圖1 反平面殘余應(yīng)力作用下壓電體界面裂紋尖端撕開位移

Fig. 1 Interfacial cracktip tearing displacement of piezoelectric materials under antiplane residual stress

2 一般解答

當(dāng)一對反平面廣義集中力P位于裂紋面上時(shí)，其復(fù)勢函數(shù)按文獻(xiàn)［1］作簡化處理，得:

F1(z)=f′1(z)=-M-11P2π（z-t)+f10(z)，z∈S+;(7)

F2(z)=f′2(z)=-M-12P2π（z-)+f20(z)，z∈S-．(8)

式中：f10z，f20z分別在區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ中全純.

因裂紋面上應(yīng)力為零，故據(jù)Schwarz對稱原理，可將f'1z和f'2z沿L解析開拓到各自對稱的區(qū)域:

Ω1(z)=ω'1(z)=f'1(z)=f'1(）， z∈S－；(9)

Ω2(z)=ω'2(z)=f'2(z)=f'2（)， z∈S+. (10)

由界面連接條件(4)~(6)可得到如下邊值問題:

［M1F1(t)+M2Ω2(t)］+=［M2F2(t)+

M1Ω1(t)］-，t∈L+L′;(11)

［F1(t)-Ω2(t)］+=［F2(t)-Ω1(t)］-，t∈L.(12)

考慮式(7)~(10)，對式(11)由Liouville定理可得:

M1f'1z+M2ω'2z=0， z∈S+; (13)

M2f'2z+M1ω'1z=0， z∈S－. (14)

由式(12)可設(shè)

gz=f'1z－ω'2z， z∈S+;(15)

gz=f'2z－ω'1z， z∈S－. (16)

對g(z)進(jìn)行奇性分析可得



g(z)=(M-11+M-12)P2π-1z-t+1z-+g0(z).(17)

式中:g0(z)在沿L′割開的全平面內(nèi)全純，在無窮遠(yuǎn)處為零.

綜合以上式(13)，(14)，(16)和(17)可得:

f'1z=M1+M2－1M2gz， z∈S+; (18)

ω'2z=－M1+M2－1M1gz，z∈S+;(19)

ω'1z=－M1+M2－1M2gz，z∈S－;(20)

f'2z=M1+M2－1M1gz， z∈S－. (21)

將式(4)代入式(11)，并注意到式(18)~(21)，得

g+t+g－t=0，t∈L′. (22)

根據(jù)文獻(xiàn)［7］中Muskelishvili理論，應(yīng)用=t=x，得上述邊值問題的解答

g(z)=-(M-11+M-12)Pπ X0(z)X0(t) 1z-t+C0X0(z).(23)

式中：

X0(z)=(z2－f2)－1/2.(24)

系數(shù)C0由裂紋表面應(yīng)力為零條件式(4)決定.將式(4)代入式(15)，(16)，并考慮式(18)～(21)，得∮∧g(z)dz=0，式中∧為包圍L′的圍道，將式(23)代入此式可求得

C0=2πf2(M-11+M-12)P，(25)

從而求得兩個(gè)區(qū)域中的復(fù)勢函數(shù)

f′1(z)=M-11PπX0(z)1X0(t)#8226;1t-z+2f2，

z∈S+; (26)

f′2(z)=M-12PπX0(z)1X0(t)#8226;1t-z+2f2，

z∈S-． (27)

將式(26)和(27)對t從－g+h到－g和g到g+h積分，根據(jù)文［8］可得

f′1z=2M－11τπz2－f2－izsin －1g+hf－sin －1gf－f2－z2×

tan－1zf2－g+h2g+hz2－f2－tan－1zf2－g2gz2－f2+2hf2，(28)

f′2z=2M－12τπz2－f2－izsin －1g+hf－sin －1gf－f2－z2×

tan－1zf2－g+h2g+hz2－f2－tan－1zf2－g2gz2－f2+2hf2.(29)

強(qiáng)度因子

K3=KwKφ=lim z→f2π(z－f)τ1z=

－I(xiàn)m lim z→f2π(z－f)M1f'1z. (30)

將式(28)代入式(30)得到

K3=KwKφ=2fπτsin －1g+hf－sin －1gf.(31)

將式(28)和式(29)分別對z積分，得到

f1(z)=∫f′1zdz=2iπM－11τ#8226;

2hf2tan－1zf2－z2－sin －1g+hf－sin －1gfz2－f2－

ztan－1zf2－g+h2g+hz2－f2－g+htan－1z2－f2f2－g+h2+

ztan－1zf2－g2gz2－f2+gtan－1z2－f2f2－g2，(32)

f2(z)=∫f′2zdz=2iπM－12τ#8226;

2hf2tan－1zf2－z2－sin －1g+hf－sin －1gfz2－f2－

ztan－1zf2－g+h2g+hz2－f2－g+htan－1z2－f2f2－g+h2+

ztan－1zf2－g2gz2－f2+gtan－1z2－f2f2－g2.(33)

3 裂紋尖端撕開位移

裂紋尖端撕開位移

COD3=w+1-w-2=［f1(z)+ω1()-f2()-ω2(z)］/2.

將式(32)和(33) 代入上式得

COD3=Re 1πM－1 1+M－12τ2sin －1g+hf－

sin －1gff2－x2-

xYg+h+g+hXg+h+xYg－gXg+4hf2tan－1xf2－x2，

x≠g，x≠g+h.(34)

式中:

Yg+h=ln g+hf2－x2+xf2－g+h2g+hf2－x2－xf2－g+h2，(35)

Xg+h=ln f2－x2+f2－g+h2f2－x2－f2－g+h2，(36)

Yg=ln gf2－x2+xf2－g2gf2－x2－xf2－g2，(37)

Xg=ln f2－x2+f2－g2f2－x2－f2－g2.(38)

式(34)為裂紋尖端撕開位移的一般解答式，我們要對裂紋尖端點(diǎn)進(jìn)行分析，所以要求得裂紋尖端點(diǎn)的撕開位移，即取x=g+h，代入式(34) ～(38)得到

COD3x=g+h=Re1π(M-11+M-12)τ2sin-1g+hf-sin-1gf×

f2-(g+h)2-glnf2-(g+h)2f2-(g+h)2-f2-g2+

(g+h)lngf2-(g+h)2+(g+h)f2-g2gf2-(g+h)2-(g+h)f2-g2+

4πf2(M-11-M-12)τ htan-1g+hf2-(g+h)2.

4 裂紋尖端位錯(cuò)塞積區(qū)位錯(cuò)數(shù)量

假定在位錯(cuò)塞積區(qū)rb力荷載殘余應(yīng)力和場殘余應(yīng)力分別產(chǎn)生了nw和nφ個(gè)螺型位錯(cuò)，那么其總的位移量應(yīng)該和裂紋尖端撕開位移相等，即

nwbw=COD3wx=g+h，nb=COD3x=g+h.

由于一個(gè)螺型位錯(cuò)的解答可以得到多個(gè)反平面位移場，而當(dāng)θ=2π時(shí)，反平面位移量恰好等于nwbw和nb，因此可得位錯(cuò)塞積區(qū)等效位移和等效應(yīng)力強(qiáng)度因子如下:

wdz=nwbzθ2π ，wd=nbφθ2π；

Kd3w=12πc441COD3w+e151COD3φ，

Kd3φ=12πe151COD3w－d111COD3φ.

式中:wdz表示力荷載作用下位錯(cuò)塞積區(qū)產(chǎn)生的等效位移;wdφ表示場荷載作用下位錯(cuò)塞積區(qū)產(chǎn)生的等效位移;Kd3w表示力荷載作用下位錯(cuò)塞積區(qū)產(chǎn)生的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子;Kd3φ表示場荷載作用下位錯(cuò)塞積區(qū)產(chǎn)生的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子.

位錯(cuò)塞積區(qū)的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子和裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系為：Kd3w=αhK3w，Kd3φ=αhK3φ.

其中α為二者之間的一個(gè)比例常數(shù)，可通過應(yīng)力強(qiáng)度因子和等效應(yīng)力強(qiáng)度因子求得.

5 數(shù)值分析

為了方便，取螺型位錯(cuò)為

b=bzbφ=1.0×10－10 m1.0 v.

假設(shè)壓電材料為PZT6B壓電陶瓷，其剛性矩陣為

M2=2.8×1010 N/m218 C/m218 C/m2－1.51×10－8 C/Vm，

取g=0.01 m，h/g=0.01，rb/h=β，f=g+h+β h， ζ=c441/c442，η=e151/e152，λ=0.1，μ=0.1，τ=λ×c442 μ×e152T，d111=d112.

結(jié)合公式和已給定的數(shù)值，可得到如圖2~圖9的結(jié)論，下面對各個(gè)圖進(jìn)行分析.

如圖2 和圖3所示，當(dāng)ζ和η取上面給定的值時(shí)，力荷載作用下的裂紋尖端撕開位移(COD3w)和裂紋尖端螺型位錯(cuò)塞積群的數(shù)量(n3w)隨著β的增加先變大達(dá)到峰值然后逐漸變小為零，而電荷載作用下的裂紋尖端撕開位移(COD3w)和裂紋尖端螺型位錯(cuò)塞積群的數(shù)量(n3w)達(dá)到了10-12，幾乎為零，不予考慮，此處只做力荷載作用下的分析.另外，隨著β的變化，當(dāng)ζ=1，η=1時(shí)， 模型退化為一種壓電材料的情況，在rb=1.4的時(shí)候，裂紋尖端撕開位移變?yōu)榱悖奢d作用下的裂紋尖端螺型位錯(cuò)塞積群的數(shù)量同時(shí)也變?yōu)榱?，跟已有文獻(xiàn)［2］相符.當(dāng)η=2不變，ζ從2變化到5時(shí)，裂紋尖端撕開位移(COD3w)和裂紋尖端螺型位錯(cuò)塞積群的數(shù)量(n3w)在兩種材料的材料屬性差異變大時(shí)隨著β的增加而增加，并且隨著ζ的變大，裂紋尖端撕開位移增大的幅度越來越小.

如圖4和5所示，當(dāng)β給定時(shí)，力荷載作用下的裂紋尖端撕開位移(COD3w)和裂紋尖端螺型位錯(cuò)

塞積群的數(shù)量(n3w)隨著λ的增加而線性增加.從圖中還可以看出，當(dāng)β增加時(shí)，力荷載作用下的裂紋尖端撕開位移(COD3w)和裂紋尖端螺型位錯(cuò)塞積群的數(shù)量(n3w)隨著λ的增加而減小，說明在λ一定時(shí)，β越大，在力荷載作用下的裂紋尖端撕開位移(COD3w)和裂紋尖端螺型位錯(cuò)塞積群的數(shù)量(n3w)反而越小.

如圖7所示，裂紋尖端的電位移場強(qiáng)度因子K3φ的絕對值隨著β的增大而逐漸變小，說明在裂紋尖端，電荷載產(chǎn)生的螺型位錯(cuò)塞積群的屏蔽效應(yīng)越來越小.

圖8所示為位錯(cuò)塞積區(qū)的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子Kd3w的變化圖，從圖中可以看出，隨著β的增加，位錯(cuò)塞積區(qū)的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子Kd3w的變化類似于荷載作用下的裂紋尖端撕開位移(COD3w)和裂紋尖端螺型位錯(cuò)塞積群的數(shù)量(n3w)的變化曲線.

圖9所示為位錯(cuò)塞積區(qū)的電位移等效應(yīng)力強(qiáng)度因子Kd3φ的變化圖，從圖中可以看出，隨著β的增加，位錯(cuò)塞積區(qū)的電位移等效場強(qiáng)度因子Kd3φ隨著β的增加先變大達(dá)到峰值然后逐漸變小為零.且當(dāng)η=2不變，ζ從2變化到5時(shí)，位錯(cuò)塞積區(qū)的電位移等效場強(qiáng)度因子Kd3φ不再變化，為一條曲線.比較圖8和圖9可知，在已給定的數(shù)值的情況下，位錯(cuò)塞積區(qū)的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子比電位移等效應(yīng)力強(qiáng)度因子大得多，相比較而言，后者的反屏蔽效應(yīng)極小，可知電位移等效場強(qiáng)度因子對裂紋的影響不大.

圖9 位錯(cuò)塞積區(qū)電位移等效場強(qiáng)度

因子Kd3φ隨著β的變化

Fig. 9 Variation of equivalent electric displacement

intensity factor Kd3φ of dislocation pileup area versusβ 

6結(jié) 論

數(shù)值結(jié)果表明，反平面殘余應(yīng)力對裂紋尖端撕開位移及其所引起的裂紋尖端螺型位錯(cuò)塞積群具有

強(qiáng)烈的擾動(dòng)效應(yīng)，裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子對基體產(chǎn)生極強(qiáng)的反屏蔽效應(yīng).本文解答不但可用于研究殘余應(yīng)力對基體裂紋尖端的影響，而且可以用于研究界面裂紋和基體中任意形狀裂紋的裂紋尖端撕開位移及其所引起的裂紋尖端螺型位錯(cuò)塞積群問題.

參考文獻(xiàn)

［1］ 劉又文，方棋洪.壓電螺型位錯(cuò)和含界面裂紋圓形夾雜的電彈干涉效應(yīng)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2004， 25(12): 1305-1312.

LIU Youwen， FANG Qihong. Electroelastic interaction between a piezoelectric screw dislocation and a circular inhomogeneity with interfacial cracks［J］. Applied Mathematics and Mechanics， 2004，25(12):1305-1312.（In Chinese)

［2］ SIH G C， TANG X S. Screw dislocations generated from crack tip of selfconsistent and selfequilibrated systems of residual stresses：atomic，meso and micro［J］. Theoretical and Applied Fracture Mechanics，2005，43(3):261-307.

［3］ TANG X S，SIH G C. Edge dislocations generated from a microcrack under initial residual stress of nonuniform distribution［J］. Theoretical and Applied Fracture Mechanics， 2005，44 (3):208-233.

［4］ LI L X ， TANG X S， WANG Z D. A micromechanical cracking imperfection model of edge dislocations generated by residual stresses［J］. Journal of the Chinese Institute of Engineers， 2008， 31(3): 427-435.

［5］ WU X F， STEVE C， YURIS A D. Screw dislocation interacting with interfacial and interface cracks in piezoelectric bimaterials［J］. International Journal of Engineering Science，2003， 41(7): 667-682.

［6］ CHEN B J， XIAO Z M， LIEW K M. A screw dislocation interacting with a finite crack in a piezoelectric medium［J］. International Journal of Engineering Science， 2004， 42(13/14): 1325-1345.

［7］ MUSKHELISHVILI N L. Some basic problems of mathematical theory of elasticity［M］. Leyden:Noordhoff ， 1975.

［8］ GRADSHTEYN I S， RYZHIK I M. Table of integrals， series， and products［M］.7th ed. New York:Academic Press， 1980.